Урок по теме «Решение простейших тригометрических уравнений и неравенств

Урок по теме «Решение простейших тригометрических уравнений и неравенств

Тип урока: урок обобщение и систематизации знаний.

Обязательные структурные элементы урока:

- постановка цели урока и мотивация учебной деятельности учащихся;

- воспроизведение и коррекция опорных знаний;

- повторение и анализ основных фактов, событий явлений;

- обобщение и систематизация, усвоение системы знаний и их применение для объяснения и выполнения практических заданий;

- усвоение основных теорий на основе широкой систематизации знаний;

- подведение итогов урока.

Цели: формирование логического, абстрактного, системного мышления; владения интеллектуальными умениями и мыслительными операциями: анализом, синтезом, обобщением. Формировать ответственность, организованность, дисциплинированность.

Формировать инициативу и творчество во время выполнения заданий.

Обучающие цели: усвоить основные приемы решения простейших тригометрических уравнений и неравенств, получить начальные представления о решении уравнения тригометрического с параметром. Научится использовать для описания математических ситуаций графический и аналитический языки, применять геометрические представления для решения тригометрических неравенств и исследования тригометрических уравнений.

Структура урока

1. Организационный момент, устный счет 3 мин.

2. Проверка домашнего задания 3 мин.

3. Задание на дом 1 мин.

4. Работа по перфокартам 4 мин.

5. Слайды на ПК по решению простейших тригометрических уравнений 4 мин.

6. Решение уравнений по тестам 10 мин.

А) фронтальная работа у доски (3 ученика одновременно)

Б) ответы по теории решения тригометрических уравнений

В) тестирование на ПК по решению простейших уравнений. 3 мин.

1. Теория по решению тригометрических неравенств. Работа на компьютере 5 мин.

2. закрепление решение неравенств. Анимация на ПК (подсчет углов) 5 мин.

3. Проверочная работа 5 мин.

4. Итог урока 2 мин.

Устный счет

arcsin arcsin (cos )

arccos (- ) arcsin (sin )

arcctg cos (arccos )

arccos 0 sin (arsin )

arcsin 1

arctg

arcctg 0

Вычислить:

sin (arcsin + arccos )

cos (arccos + arcsin )

tg (arcsin +arctg )

Проверка домашнего задания

1. Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку .

a) sin x = 0 г) ctg (x - ) – 1 = 0

б) 3tg x + = 0 д) 2sin ( - x) = 1

в) cos x = -1 е) 2cos (x - ) + =0

2. Решить уравнение на промежутке

а) 2sin ( + x) = в) tg ( + x) = 1

б) 2cos ( - x) + 1 = 0 г) 3tg (2 - x) =

Решение: 1).

а) sin x = 0

x = n

если n = 0, то х₁ = 0

е сли n = 1, то х₂ =

е сли n = 2, то х₃ = 2

б) 3tg x + = 0

3tg x = -

tg x = -

x = arctg (- ) + n

x = - + n

е сли n = 0, то х₁ = - + =

е сли n = 1, то х₂ = - + 2 =

в) cos x = -1

x = + 2 n

если n = 0, то х₁ =

е сли n = 1, то х₂ = 3

г) ctg (x - ) – 1 = 0

ctg (-( - x)) = 1

- ctg ( - x) = 1

ctg ( - x) = -1

-ctg x = -1

ctg x = 1

x = + n

е сли n = 0, то х₁ =

е сли n = 1, то х₂ =

д) 2sin ( - x) = 1

sin ( - x) =

- x = (-1)^k arcsin + k

-x = (-1)^k - + k

x = (-1)(-1)^k + - k

если k = 0, то х₁ = - + =

е сли k = 1, то х₂ = + - = -

если k = -1, то х = + + = + =

е ) 2cos (x - ) + =0

2cos (-( - x)) = -

2cos ( - x) = -

cos ( - x) = -

sin x = -

x = (-1)^k arcsin (- ) + k

x = (-1)^k (- ) + k

x = (-1)^k+1 + k

если k = 0, то х₁ = -

если k = 1, то х₂ = + =

2 . а) 2sin ( + x) =

cos x =

x = + 2 n

е сли n = 0, то х₁ = ; x₂ = -

если n = 1, то х₃ = - + 2 =

x = + 2 =

б) 2cos ( - x) + 1 = 0

2cos ( - x) = -1

-sin x = -

x = (-1) + k

если k = 0, то х₁ =

е сли k = 1, то х₂ = - + =

если k = 2, то х₃ = + 2 =

в) tg ( + x) = 1

tg x = 1

x = + k

если k = 0, то х₁ =

е сли k = 1, то х₂ =

г) 3tg (2 - x) =

-ctg x =

ctg x = -

x = + k

е сли k = 0, то х₁ =

если k = 1, то х₂ = - = -

Задание на дом: дидактические материалы страница 8-14 В2-В11 задание 3

Работа по перфокартам

Вариант 1

arcsin 0

arcsin

arccos

arccos

arctg 0

arctg (-1)

arcctg 0

arcctg (- )

Вариант 2

arcsin 1

arcsin

arccos

arccos

arctg 1

arctg (- )

arcctg 1

arcctg (- )

Вариант 3

arcsin (-1)

arcsin

arccos

arccos

arctg

arctg (- )

arcctg

arcctg (-1)

Вариант 4

arcsin

arcsin

arccos 0

arccos

arctg

arctg (-1)

arcctg

arcctg (- )

Вариант 5

arcsin

arcsin

arccos 1

arccos

arctg

arctg (- )

arcctg 1

arcctg (- )

Вариант 6

arcsin

arcsin

arccos 0,5

arccos

arctg

arctg (- )

arcctg

arcctg (-1)

Слайды на компьютере по решению простейших тригометрических уравнений

Решение уравнений по тесту

1. Найдите сумму двух наименьших положительных корней

sin x = 1

2. Укажите наибольший отрицательный корень уравнения

3. Решите уравнение

ctg (3x - ) = 1

4. Решите уравнение

sin 5x cos x – cos 5x sin x = 0,5

5. Решите уравнение

cos (2x + ) cos x + sin (2x + ) sin x =

6. Решите уравнение

2sin (x + ) + = 0

7. Решите уравнение

cos (2 - x) + sin ( + x) =

8. Решите уравнение

3tg (2x - ) - = 0

9. Решите уравнение

arcsin (4x³ – 3x² – 1) = arcsin (x – 1)

Решите неравенства:

1). cos x -

2). 2 sin x - 1

3). 2sin (3x + ) - 1

4). – 2 cos x (2x - )

5). При каких значениях определено выражение

Решение:

1. Найдите сумму двух наименьших положительных корней

sin x = 1

x = +2 , п Z

если п = 0, то х₁ =

если п = 1, то х₂ = + 2 =

х₁ + х₂ = + =3

2. Укажите наибольший отрицательный корень уравнения

=2

х = 4 , п Z

если п = - 1, то х = - 4

3. Решите уравнение

ctg (3x - ) = 1

ctg (-( - 3х)) = 1

- ctg ( - 3х) = 1

- tg 3х = 1

tg 3х = - 1

3х = arctg (-1) +

x= - +

4. Решите уравнение

sin 5x cos x – cos 5x sin x = 0,5

sin (5x-x)=0,5

sin 4x=0,5

4x=(-1)ⁿarcsin 0,5+

4x=(-1) +

x=(-1)ⁿ +

5. Решите уравнение

cos (2x + ) cos x + sin (2x + ) sin x =

cos (2x+ - x) =

cos (x + ) =

x + = arccos +2

x = - +2

6. Решите уравнение

2sin (x + ) + = 0

2sin ( + x) = -

cos x = -

x = ( - arccos (- )) + 2

x = +2

7. Решите уравнение

cos (2 - x) + sin ( + x) =

cos x + cos x =

2 cos x =

cos x =

x = arccos + 2

x = + 2

8. Решите уравнение

3tg (2x - ) - = 0

3tg (-( -2x)) =

-tg ( -2x) =

tg ( -2x) = -

ctg 2x = -

2x = arcctg (- ) +

x = +

9. Решите уравнение

arcsin (4x³ – 3x² – 1) = arcsin (x – 1)

sin (arcsin (x-1))=4x³ -3x² -1

x – 1 = 4x³ -3x² -1

4x³ -3x² -1 – x +1 = 0

4x³ -3x² –x = 0

x(4x² -3x -1)=0

x₃ = 0 или 4x² -3x -1 = 0

x₁ = 1

x₂ = -

Если х₁ = 1 то 4x³ – 3x² – 1= 0

Если х₂ = - то 4x³ – 3x² – 1= 1

x₂ = - - посторонний корень

Если х₁ = 1, то х-1 =0

Ответ:

Проверочная работа

Вариант №1

А) tg 3x 1

Б) cos x

Вариант №2

А) tg 3x -

Б) sin x

Теоретические вопросы

1. Что называется уравнением?

2. Что значит решить уравнение?

3. Что называется корнем уравнения?

4. Какие уравнения называются равносильными?

5. Равносильны ли все уравнения, не имеющие корней?

6. Имеет ли уравнение вида sin x = a корни при а 1?

7. Формула корней уравнения sin x = a.

8. Частные виды уравнения sin x = a.

9. Имеет ли уравнение вида cos x = a корни при а 1? а - 1?

10. Назовите формулу корней уравнения cos x = a.

11. Назовите частные виды уравнения cos x = a и их корни.

12. Каким должно быть а, чтобы уравнение tg x = a.

13. Назовите формулу корней.

Комментарий при решении тригометрических неравенств

cos x 0,5

Чтобы решить это неравенство, вспомним, что cos – это абсцисса точки единичной окружности. Значит, мы должны найти на единичной окружности точки, абсциссы которых больше или равны 0,5.

Все эти точки находятся на дуге М₁М₂. Каждая из точек дуги М₁М₂ может быть получена поворотом точки Р (1; 0) на углы, для которых выполнено неравенство:

Если при этом сделать несколько поворотов вокруг нуля по окружности, то ответ не изменится. Поэтому получаем бесконечное множество интервалов:

sin x

Нужно найти на единичной окружности точки, ординаты которых больше или равны . Эти точки находятся на дуге М₁ММ₂. Каждая из точек может быть получена поворотом точки Р (1; 0) на углы, для которых выполнено неравенство:

Все решение – множество, описываемое неравенством:

Итог урока: объявить оценки