Урок по алгебре в 11 классе "Решение логарифмических уравнений и неравенств"

Алгебра и начала анализа, 11класс

Тема: "Логарифмические уравнения и неравенства»

«Что есть больше всего на свете?
Пространство.
Что мудрее всего?
Время.
Что приятнее всего?
Достичь желаемого».
Фалес

Вид урока: обобщение и систематизация знаний.

Тип урока: Комбинированный

Форма проведения урока: Индивидуальная и фронтальная. Решение примеров.

Цели урока:

Образовательные:

• обобщение и систематизация теоретического материала по данной теме;

• отработка умений и навыков применения формул для преобразования логарифмических выражений и решения уравнений и неравенств;

• контроль и самоконтроль знаний, умений и навыков.

Развивающие:

• развитие логического мышления, умения работать в проблемной ситуации;

• развитие умений применять знания, умения и навыки в нестандартной ситуации;

• развитие умений сравнивать, обобщать, правильно переформулировать условие задачи, излагать мысли, делать выводы;

• развитие самостоятельной деятельности учащихся.

Воспитательные:

• воспитание интереса и любви к предмету через содержание учебного материала урока, методов обучения;

• совершенствование умения взаимопомощи, культуры общения, умения применять преемственность тем математики;

• воспитание таких качеств характера, как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в сложной ситуации, умение анализировать результат и работу по его достижению, делать выводы.

Оборудование: мультимедийный проектор, презентация, доска, учебная литература.

Ход урока:

1. Орг. момент

Французский писатель Анатоль Франс (1844–1924) заметил: «Что учиться можно только весело... Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом».
Последуем совету писателя: будем на уроке активны, внимательны, будем «поглощать» знания с большим желанием, ведь они скоро нам понадобятся для успешной сдачи экзамена.
Цель нашего сегодняшнего урока – совершенствование навыков решения логарифмических уравнений и неравенств. Мы знаем, что правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные методы всегда нужно держать в зоне своего внимания, но для этого нужно хорошо знать свойства логарифмической функции.

2. Актуализация опорных знаний.

2) Совпадают ли графики функций?

а) y = x и 

б) y = x² + 2  и

3) Вычислите: .

4) Решите уравнение: log₇ log₂ log₃ x = 0

5) "Мышление начинается с удивления", - заметил 2500 лет назад Аристотель.

Наш соотечественник Сухомлинский считал, что "чувство удивления - могучий источник желания знать; от удивления к знаниям - один шаг". А математика замечательный предмет для удивления.

Софизм «23»

3. Основная часть урока (решение логарифмических уравнений и неравенств из тестов ЕГЭ).

1) Решить уравнение: log ₂ (x – 6) = 0,5 log ₂ x

Решение:

ОДЗ: x – 6 0, x 6.

Ответ: 9

2) Решить уравнение log³ ₂ x – 3 log²₂ x = и в ответе указать сумму корней.

Решение:

ОДЗ: x 0, x ≠ 1.

Ответ: 32,25

3) Решить уравнение: log ₃ (5 – x) = .

Решение:

ОДЗ: 5 – x 0, x – 1 ≥ 0.

Ответ: 2

4) Решить неравенство: log ₃ (x + 7) log ₃ (5 – x) – log _⅓ (3 – x) и указать число целых решений.

Решение:

Часть 2.

Решение: Сумма двух неотрицательных  выражений равна нулю, если каждое из выражений равно нулю. Приравняем первое выражение к нулю, решим логарифмическое уравнение и его корни подставим во второе выражение для проверки.

Решение:

3) log _sinx (2sin2x + 4sin² x + 1) = 0.

Решение:

4) = 5,5

Решение:

log₁₀x + 2log₁₀x + 3 log₁₀x + …+ 10 log₁₀x = 5,5

log₁₀x (1 + 2 + 3 + …+ 10) = 5,5

= = 55,

55 log₁₀x = 5,5

log₁₀x = 0,1

х = =

Ответ:

5) Решите неравенство: log ₉ x² + log²₃ (-x)

Решение: ОДЗ: - х 0, x

log₃ |x| + log²₃ (-x) – 2

log₃ (-x) + log²₃ (-x) – 2

Пусть log ₃ (-x) = t,

t² + t – 2

t₁ = - 2, t₂ = 1,

-2 t

-2 log₃ (-x)

, .

Ответ: (-3; -)

Индивидуальная работа со слабыми учащимися: решение по образцу (карточки).

1) Решить уравнение: log₂ x = 3. Решение: ОДЗ: х 0, х = 2³; х = 8. Ответ: 8

а) log₅ x = 2; б) log₃ (x – 2) = 2.

2) Решить уравнение: log₂ 5x = log₂ (x + 8). Решение: ОДЗ: х 0, х + 8 0.

5x = x + 8; 5x – x = 8; 4x = 8; x = 8 : 2; x = 4. Ответ: 4

а) log₂ (3x – 2) = log₂ (x + 4); б) log₃ x² = log₃ (10 - 3x).

3) Решить неравенство: log₃ (2x – 4) log₃ (14 – x)

Решение: 2х – 4 0, 2x 4, x 2,

14 – x 0, - x - 14, x

x – 4 14 – x; x + x 14 + 4; x 9.

а) log₂ (8x – 16) log₂ (3x – 1).

4. Заключительная часть урока.

а) подведение итогов.

б) д/з: §51 – §53, № 1605 (в, г), № 1612

6

Логарифмические уравнения и неравенства

«Что есть больше всего на свете? Пространство. Что мудрее всего? Время. Что приятнее всего? Достичь желаемого». Фалес

Понятия

Формулы

1.Определение логарифма числа по заданному основанию

2. Основное логарифмическое тождество.

1.

3. Формула «Логарифм произведения».

2.

3.

4. Формула «Логарифм частного».

5. Формула «Логарифм степени».

4.  

6. Формула логарифмического перехода от одного основания к другому основанию.

5 .

7. Логарифм, значение которого равно единице

6.

8. Логарифм, значение которого равно нулю

7.

8.

9. Запись числа через логарифм

9.

Уравнения

Методы решения

1 ) Совпадают ли графики функций?

а ) y = x и 

б) y = x 2 + 2  и

2 ) Вычислите:

Ответ: 2

3 ) Решите уравнение: log 7 log 2 log 3 x = 0

Решение:

log 2 log 3 x = 7 0

log 2 log 3 x = 1

log 3 x = 2 1

log 3 x = 2

x = 3 2

x = 9

Ответ: 9

2lg 3lg 2 3 " width="640"

«Мышление начинается с удивления»

Аристотель.

«Чувство удивления - могучий источник желания знать;

от удивления к знаниям - один шаг".

Сухомлинский

lg

lg

2lg

3lg

2 3

1) Решить уравнение: log 2 ( x – 6) = 0,5 log 2 x

2) Решить уравнение log 3 2 x – 3 log 2 2 x =

и в ответе указать сумму корней.

3 ) Решить уравнение: log 3 (5 – x ) =

4) Решить неравенство: log 3 ( x + 7) log 3 (5 – x ) – log ⅓ (3 – x )

и указать число целых решений.

Решить уравнение:

• lg 2 ( x 2 + 3 x + 3) +
• lg 2 ( x 2 + 3 x + 3) +

2) log 2 x – 1 ( x 2 + 3 x – 1) = 2

• 2) log 2 x – 1 ( x 2 + 3 x – 1) = 2

3) log sinx (2sin2 x + 4sin 2 x + 1) = 0.

4 )

Решить неравенство:

log 9 x 2 + log 2 3 (- x )

§51 – §53, № 1605 (в, г), № 1612