Урок по алебре 8 класс

Тема: Графическое решение квадратных уравнений.

Цели урока:

1. Образовательные: познакомить учащихся с графическим способом решения квадратных уравнений, повторить ранее изученные методы решения квадратных уравнений, виды графиков, закрепить навыки построения графиков функций.

2. Развивающие: развивать навыки творческой, познавательной, мыслительной деятельности, логическое мышление, вырабатывать умение анализировать и сравнивать.

3. Воспитательные: воспитывать сознательное отношение к учебному труду, развивать интерес к математике, самостоятельность, прививать аккуратность и трудолюбие.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, карточки с заданиями.

Тип урока: урок формирования знаний. 
Методы урока: словесные, наглядные, практические.
Организационные формы общения: индивидуальная, парная, коллективная.
Презентация к уроку.

Ход урока

I. Мотивационная беседа.

Учитель:

 “Математика” в переводе с греческого означает – знание, науку (в 1724 году был установлен день Российской науки, который отмечается 8 февраля). Если человек был умен в математике, то это всегда означало высшую ступень учености. А умение правильно видеть и слышать – первый шаг к мудрости. Вот поэтому, мне сегодня очень хочется, чтобы вы стали немного мудрее и расширили свои математические познания.

Итак, запишите в тетрадь число и тему урока.

Цель урока: познакомить вас с графическим способом решения квадратных уравнений.

II. Актуализация опорных знаний.

 Напомню, что сначала мы изучали квадратный трехчлен, затем ввели квадратичную функцию, строили ее график и описывали свойства, теперь настало время поближе познакомиться с квадратным уравнением.

III. Историческая справка. Необходимость решать квадратные уравнения еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Еще около 2000 лет до н.э. в древнем Вавилоне могли решить некоторые виды квадратных уравнений.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.

Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений

Диофант Александрийский и Евклид, Аль-Хорезми и Омар Хайям решали уравнения геометрическими и графическими способами.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математикомЛеонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы.

Но общее правило решения квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов b и c было сформулировано в Европе лишь в 1544 году немецким математиком Михаэлем Штифелем.

В 1591 году Франсуа Виет ввел формулы для решения квадратных уравнений.

1.Для решения поставленных задач вспомним свойства квадратичной и линейной функций. 

-Какая функция называется квадратичной?

-Укажите те функции, которые являются квадратичными.

-График квадратичной функции это? …… (парабола).

-Как называются функции под №1; №2?

-Графиком линейной функции является? …….(прямая).

--Сколько точек нужно для построения прямой?

-От чего зависит направление ветвей параболы?

-Определите знак коэффициента а?

-Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле?

-Как определить ординату вершины?

-Назвать координату вершины параболы.

-Назвать абсциссу вершины параболы.

2 Какие из данных уравнений являются квадратными?

а) 5х – 1 = 0;

б) х² – 6 : х – 3 = 0;

в) х³ + 4х + 1 = 0;

г) 6: х² +4х – 2 = 0;

д) х² + х +3 = 0;

е) 5 – 7х² + х = 0.

Для решения любых уравнений, в том числе и квадратных, есть два способа: аналитический и графический.

Аналитически решить квадратное уравнение, на сегодняшний день, можно известным нам методом разложения на множители, который включает в себя и выделение полного квадрата двучлена.

Учитель: Решите квадратное уравнение х² – 2х – 3 = 0 аналитически (вызываются к доске два ученика). Предлагается изменить условие а) х² – 2х + 5 = 0, то можно ли разложить на множители?

б) х² – 1,5х – 3 = 0 удобно ли выделять полный квадрат двучлена?

Обсуждение решений уравнений х² – 2х + 5 = 0; х² – 1,5х – 3 = 0 приводит к другому способу решения – графическому.

Вспомним алгоритм решения уравнений графическим способом.

1. Переписать уравнение в виде равенства, в правой и в левой частях которого стоят выражения более простого вида. Ввести функции у = f(x) и у = g(x), соответствующие левой и правой частям полученного уравнения.

2. Построить графики этих функций в одной системе координат.

3. Отметить точки пересечения графиков функций. Количество точек пересечения дает число корней уравнения.

4. Найти абсциссы точек пересечения, которые и есть решения данного уравнения.

5. Обратить внимание: значения корней получаются приближенными. Точность корней нужно подтвердить проверкой.(слайд 3)

IV. Изучение нового материала.

Графический способ решения квадратных уравнений основан на том же самом алгоритме. Рассмотрим различны способы на примере того же самого уравнения х² – 2х – 3 = 0.

(слайд 12-13) I способ. х² – 2х – 3 = 0

у = х² – 2х – 3 и у = 0.

Корни х₁ = -1; х₂ = 3

II способ. х² – 2х – 3 = 0

х² = 2х + 3

у = х² и у = 2х + 3

Корни: х₁ = -1; х₂ = 3

III способ. х² – 2х – 3 = 0

х² – 3 = 2х

у = х² – 3 и у = 2х

Корни: х₁ = -1; х₂ = 3

IV способ. х² – 2х – 3 = 0

х² – 2х +1 = 3+1

(х – 1)² = 4

у = (х – 1)² и у = 4

Корни: х₁ = -1; х₂ = 3

V способ. х² – 2х – 3 = 0

х² – 2х = 3

(х² – 2х +1) – 1 = 3

(х – 1)² – 1 = 3

у = (х – 1)² – 1 и у = 3

VI способ. х² – 2х – 3 = 0

х (х – 2) = 3|: х, х ≠ 0

х – 2 = 

у = х – 2 и у = 

Корни: х₁ = -1; х₂ = 3

Квадратное уравнение может иметь два корня, один корень или вообще их не иметь.

На практике из обилия способов выбирают тот, который больше нравится или более понятен. Графические способы решения уравнений понятны, но они не дают стопроцентной гарантии решения любого уравнения. Это нужно учитывать.

- Возможен вариант, что корень уравнения – это дробное или иррациональное число, т.е. мы сможем найти только приближенное значение корня.

- Либо уравнение таково, что ограниченные размеры листа не позволяют построить графики х² – 22х – 103 = 0

Физкультминутка.

Отвели свой взгляд направо,
Отвели свой взгляд налево,
Оглядели потолок,
Посмотрели все вперёд.
Раз – согнуться – разогнуться,
Два ─ немного потянуться, 
Три – в ладоши три хлопка,
Головою три кивка.
Пять и шесть тихо сесть.

V. Закрепление изученного материала.

VI. Самостоятельная работа

Решить уравнение: (поменяться работами и поставить отметку)

1 вариант.

а) х² + х – 6 = 0

Ответ: -3; 2

2 вариант.

- х² + х + 2 = 0

Ответ: -1; 2

VII. Подведение итогов урока. Вы замечательно поработали. Каждый ученик класса принимал участие в уроке. (Выставление отметок)

(слайд 17) Французский инженер-физик Лауэ сказал: “Образование есть то, что остается, когда все выученное уже забыто”. Думаю, что образование, которое вы получите, будет соответствовать времени, в котором мы живем. А чтобы это случилось на самом деле, предлагаю вам выполнить следующую домашнюю работу.

VIII. Домашнее задание. п. 23, № 22.8(б), 22.12(б), 23.13(б), и творческое задание – карточка по следующему образцу:

( слайд 18) Дана графическая интерпретация решения квадратного уравнения. Запишите вид этого уравнения.

( слайд 19) IX. Рефлексия. В конце урока проводится беседа, в которой выясняется:

Сегодня я узнал…

Было интересно…

Было трудно…

Я понял, что…

Теперь я могу…

Я научился…

У меня получилось…

Я попробую…

Меня заинтересовало…

Мне захотелось…

Я не забуду …

Учитель. Я не забуду, что завтра кроме Дня российской науки, есть еще две знаменательные даты.

(Слайд 20-21) 8 февраля - День памяти юных героев антифашистов.

Особого внимания заслуживают пионеры-герои Великой Отечественной.

До войны это были самые обыкновенные мальчишки и девчонки. Учились, помогали старшим, играли, бегали-прыгали, разбивали носы и коленки. Их имена знали только родные, одноклассники и друзья. Пришел час – они показали, каким огромным может стать маленькое детское сердце, когда разгорается в нем священная любовь к Родине и ненависть к ее врагам.

(слайд 22) И вторая дата – 69 годовщина освобождения города Курска от немецко-фашистских захватчиков.

Спасибо. Урок закончен.