Урок "открытия" нового знания "Свойства степени с натуральным показателем"(алгебра 7 класс)

Свойства степени с натуральным показателем

Коростина Ирина Сергеевна, учитель математики МБОУ « Гимназия №7»

г. Брянска

Статья отнесена к разделу: Преподавание математики

Образовательные технологии: технология деятельностного метода, ИКТ.

Оборудование: интерактивная доска, презентация: «Свойства степени с натуральным показателем».

Цели урока:

 Предметные:   умеем применять свойства степени с натуральным показателем, грамотно оформлять решение заданий.                                           Регулятивные: самостоятельно ставим новые учебные задачи путем задавания вопросов , планируем собственную деятельность, определяем средства для ее осуществления.

Познавательные: умеем применять свойства степени с натуральным показателем, систематизируем, обобщаем и углубляем знания при решении заданий.

Коммуникативные: умеем слушать и вступать в диалог;

помогаем одноклассникам и принимаем помощь от них; уважительно относимся к чужому мнению.

Личностные:  мы внимательны и аккуратны в вычислениях; требовательно отношение к себе и своей работе.

Задачи урока:

Образоватеьные: знаем свойства степени с натуральным показателем; записываем их с помощью тождеств, проговариваем алгоритм действий во внешней речи, применяем для упрощения выражений.

Развивающие: развиваем математический и общий кругозор, мышление и речь, внимание и память; умеем применять приемы наблюдения, сравнения, анализа, обобщения.

Воспитательные: мы активны, уважительны к мнению одноклассников, способны к позитивному сотрудничеству, умеем высказывать свое мнение, участвуем в диалоге, нам интересно.

Планируемые результаты:

Предметные: закрепить знания по теме “ Свойства степени с натуральным показателем ”; отрабатывать умение применять полученные знания на практике, в самостоятельной работе.

Метапредметные:

Личностные УУД: содействовать формированию интереса к изучаемому материалу на уроке; развивать самостоятельность мышления в учебной деятельности; формировать доброжелательное отношение к иному мнению.

Регулятивные УУД: принимать и сохранять учебную задачу; находить вариант решения учебной задачи; уметь определять цель и задачи учебной деятельности; планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей; понимать сущности алгоритмических предписаний и уметь действовать в соответствии с предложенным алгоритмом; оценивать правильность выполнения действий на уровне адекватной оценки;

Познавательные УУД: владеть смысловым чтением; осуществлять поиск нужной информации, используя предоставленные источники; осуществлять анализ объекта, делать выводы, строить логически обоснованные рассуждения; 

Коммуникативные УУД: инициативное сотрудничество в группе; умение точно выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации; планирование учебного сотрудничества.

Формы работы: групповая, индивидуальная, фронтальная.

Методы: словесный, наглядный, практический.

Тип урока: урок «открытия» нового знания.

Учебник (УМК): алгебра 7 класс, учебник для общеобразовательных учреждений под редакцией С.А.Теляковского, авторы Ю.Н.Макарычев и др., 7-е издание, Москва, «Просвещение», 2018

Ход урока.

1.Самоопределение к деятельности (организационный момент).

а) Включение детей в деятельность («хочу») (Слайд 1):

- Здравствуйте ребята, сегодня на уроке мы продолжим изучение степеней с натуральным показателем. Как вы думаете, почему к этому уроку я выбрала такой эпиграф?

«Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь» М.В.Ломоносов

б) Выделение содержательной области («могу») (Слайд 2):

Степени используют для:

1.Записи произведения одинаковых множителей (приведите примеры»;

2.Записи формул

площади квадрата, объема куба,

площади полной поверхности куба(назовите формулы);

3.Запись больших чисел (используют степень числа 10):

• Расстояние от Земли до Солнца – 150 млн. км = 1,5·10⁶км.

• Расстояние от Земли до ближайшей звезды Альфа Центавра – 4·10¹³км.

• Радиус земного шара – 6,37·10⁶м.

• В одном грамме воды – 3,35·10²² молекул.

• ЭВМ за 1 секунду может произвести 10⁹операций (прочитайте числа).

Как видите, мы уже умеем выполнять некоторые операции со степенью, но многому еще предстоит научиться. Давайте посмотрим, как вы к этому готовы.

2.Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.

1) К доске приглашаются три дешифровальщика, им предстоит расшифровать девиз сегодняшнего урока (по желанию, дифференцированное задание).

б) ☺☺☺ - задание сложное

2,7 / (0,3)² = (Р) ((17-12)² – 3³) : 10 + (-0,8) = (О)

1,5•0,8 – 1,2² = (К) (2³ – 11)•(-7) +3² – 1⁴ = (И)

(2³)² = (Я) Найти х, если

Найдите (х-2)²,если х = -4 (!) а) 2^х = 32 (Т)

7•10³ - 8•10² = (Ы) б) х³ = 125 (Т)

2). На интерактивной доске заполнить таблицу (по цепочке, ученик, выполнивший задание, приглашает следующего желающего) (Слайд 3):

Учащиеся дают определение степени, ее основания, показателя. Но при выполнении последнего задания возникает затруднение, учащиеся фиксируют это затруднение, предлагая новые способы действий. Если кто-то из учащихся найдет ответ последнего примера, то учитель просит обосновать его, как полнены действия. Если учащиеся не смогут найти ответ, то обсуждение проводится фронтально под руководством учителя. Затем учитель предлагает учащимся обобщить наблюдаемое свойство.

3.Постановка учебной задачи:

а) Выявление того, где и почему возникло затруднение (нужно умножить степени);

б) Постановка цели урока, связанной с причиной затруднения;

в) Формулировка темы урока (Слайд 4).

Проверяем выполнение дифференцированного задания (взаимопроверка).

Девиз урока: «А давайте делать открытия!»

А как делают открытия в математике? (Слайд 5).

Большая часть математических утверждений проходит в своем становлении три этапа.

На первом этапе человек в ряде конкретных случаев подмечает одну и ту же закономерность.

На втором этапе он пытается сформулировать подмеченную закономерность в общем виде, т.е. предполагает, что эта закономерность действует не только в рассмотренных случаях, но и во всех других аналогичных случаях.

На третьем этапе он пытается доказать, что закономерность, сформулированная в общем виде, на самом деле верна.

4. Построение проекта выхода из затруднения («открытие» учащимися нового знания).

а) Включение учащихся в ситуацию выбора метода решения учебной задачи.

Рассмотрим способ решения примера (Слайд 6) : Вычислить 2³•2⁵.

Решение. 2³•2⁵ = (2•2•2)•(2•2•2•2•2) = 2•2•2 • 2•2•2•2•2 = 2•2•2•2•2•2•2•2 =

3 множителя 5 множителей 8 множителей

= 2⁸=256.

б) По желанию один ученик у доски попробует решить самостоятельно пример:

Вычислить 3¹•3⁴.

3¹•3⁴ = 3•(3•3•3•3) = 3 • 3•3•3•3 = 3⁵ = 243

1 мн. 4 мн.

- Итак, сформулируйте еще раз свойство, которое нам нужно доказать. (При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают).

- Что мы будем использовать, для его доказательства? (Определение степени).

б) Построение нового способа действия.

- Осмелимся предположить, что мы открыли для себя общую закономерность aⁿ• a^m= a^n+m.

- Попробуйте, используя введенные буквенные обозначения, доказать. Что наше предположение верно для любого числа а и любых натуральных чисел n и m. (Один ученик доказывает у доски свойство степени аⁿ•а^m= a^n+m).

aⁿ• a^m= (a• a•_••••a ) • (a• a•_••••a) = a• a•_••••a • a• a•_••••a = a• a•_••••a• a• a•_••••a = a^n+m

n множителей m множителей n множителей m множителей n+m множителей

в) Речевая и знаковая морфологизация нового способа действия в знаках и языке, принятых в культуре (Слайд 7)(Учащиеся проговаривают формулу и формулировку 1 свойства степени).

г) Фиксация разрешения учебной задачи (учащиеся делают записи в тетрадях, подводим итог этого этапа урока).

5. Первичное закрепление во внешней речи. (Слайд 7)

Решение учащимися типовых заданий на новый способ действий.

Упростите выражения (устно, проговаривая способ действия во внешней речи):

1) с³·с² =

2) 4⁵·4⁶ =

3) (-5)²·(-5)³·(-5)⁴=

Аналогично рассматриваются свойство 2 и 3 степеней. (Слайды 9-14).

Открытие второе.

1) Вычислите: 2⁶: 2⁴ (образец).

Запишем частное в виде дроби и сократим ее:

2⁶: 2⁴ = 2⁶/ 2⁴ = (2•2•2•2)•2•2/ (2•2•2•2) = 2•2 = 2² = 4

2) Вычислите: 3⁸: 3⁵ (самостоятельно).

Запишем частное в виде дроби и сократим ее:

3⁸: 3⁵ = 3⁸/ 3⁵ = (3•3•3•3•3)• 3•3•3/(3•3•3•3•3) = 3•3•3= 3³= 27.

3) Построение нового способа действия.

- Осмелимся предположить, что мы открыли для себя общую закономерность aⁿ: a^m= a^n-m.

- Используя введенные буквенные обозначения, докажем, что наше предположение верно для любого числа а ≠ 0 и любых натуральных чисел n и m (n m). (Учитель доказывает у доски свойство степени аⁿ:а^m= a^n-m,).

a^n-m • a^m= aⁿ (свойство 1) = аⁿ:а^m= a^n-m.

4) Упрости выражение и, если можно, найди его значение:

а) у⁷: у³ =

б) (-3)⁵: (-3)² = в) 4⁸: 4⁶ =

Открытие третье.

1) Вычислите: (2⁵)² (образец).

(2⁵)³ = 2⁵•2⁵ = 2⁵⁺⁵ = 2¹⁰ = 1024

2) Вычислите: (3²)³ (самостоятельно).

(3²)³ = 3²•3²•3² = 3²⁺²⁺² = 3⁶ = 729.

3) Доказательство свойства 3 учащимся предлагается провести самостоятельно дома по желанию, опираясь на учебник (стр.84)

4) Примени свойство возведения степени в степень:

а) (z²)³ =

б) ((-3)²)³ =

в) (2³)⁴

Подведем итоги этого этапа урока. (Слайд 15, 16)

Запомните

Правило 1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остается неизменным.

Правило 2. При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя, а основание остается неизменным.

Правило 3. При возведении степени в степень

показатели перемножаются, а основание остается неизменным.

Свойства степеней.

аⁿ•а^m= a^n+m

аⁿ:а^m= a^n-m, где nm, a≠0

(aⁿ)^m = a^nm.

Мозговой штурм. (Эстафета, слайд 17).

1. а²• а² = 7) а⁶: а =

2. а¹⁰• а¹⁵ = 8) а¹¹: а =

3. 3) а⁶• а⁴ = 9) (а²)² =

4. 4) а¹²• а = 10) (а³)³ =

5. 5) а⁶: а⁴ = 11) (а⁴)⁵ =

6. а¹⁰: а³ = 12) (а¹⁰)² =

Результаты за «шторкой» на интердоске, учащиеся сравнивают ответы с эталоном, находят ошибки, исправляют их.

6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

1) Самостоятельное решение учащимися заданий на новый способ действий (Слайд 18). ТЕСТ

Вариант 1. Вариант 2.

1)Вычислить 2⁴•2³

а)12 б)7 в)128

2) Упростить (2⁴)⁶

а) а ²⁴ б) а¹⁰ в) а²²

3) При каком х выполняется

равенство 5⁶• х = 5⁹

а)25 б)125 в)3

2) Самопроверка по эталону, выявление ошибок (Слайд 19).

Проверь себя.

1)2⁴•2³ = 2⁴⁺³ = 2⁷ = 128 1)5¹⁶ •5⁴: 5¹⁸ = 5^16+4-18 = 5²

Ответ: в. Ответ:б

2) (2⁴)⁶ = 2^4•6 = 2²⁴ 2) (х⁴)³: (х³)² = х^4•3:х^3•2 =х¹²:х⁶ = х^12-6 = х⁶

Ответ: а Ответ:б

3) 5⁶• х = 5⁹ 3) 10х:10² = 10

х = 5⁹: 5⁶ 10х = 10•10²

х = 5^9-6 10х = 10¹⁺²

х = 5³ х = 10³:10¹

х = 125 х =10^3-1

Ответ:б. х = 10 ²

х=100

Ответ:а.

3)Самооценка результата усвоения (Слайд 20).

4)Организация ситуации успеха (во время выполнения самостоятельной работы в классе работают учащиеся – консультанты).

5) Опережающее задание для тех, кто быстро справился с заданием (Слайд 21).

Такой квадрат называют магическим.

7.Включение в систему знаний и повторение.

1) Выполнение заданий, где новый способ действий используются как шаг в более общем алгоритме решения. (Слайд 22). Рассматривая это задание, учащиеся понимают, как широко применяются свойства степени в науке и жизни.

а) Сколько весит воздух?

Определим, во сколько раз масса земного шара больше массы окружающего его воздуха, зная, что на каждый квадратный сантиметр земной поверхности воздух давит с силой 1 кг.

1. 5,1 ·10⁸ ·10¹⁰=5,1 ·10¹⁸(кв.см) – во всей поверхности земного шара (столько же кг весит атмосфера Земли)

2)5,1 ·10¹⁸:10³= 5,1 ·10¹⁵ (т) - весит атмосфера Земли

3) (6·10²¹):(5,1 ·10¹⁵)~=10⁶(раз)

б)Земля

Масса земного шара 6·10²¹т, 1т = 10³кг 3

Sповерхности = 5,1·10⁸ кв.км, 1 км = 10⁵ см,

1. кв.км = (10⁵)² = 10¹⁰кв.см

2) Повторение и закрепление учебного материала, имеющего методическую ценность с точки зрения дальнейшего обучения.(Слайд 23, 24).

Найдите в кружках значения числовых выражений, записанных в овалах.

Соедините их линиями. (Задание выполняется на интерактивной доске).

8.Рефлексия деятельности (итог урока).

1)Самооценка детьми собственной деятельности (что нового узнали, какой метод использовали, успешность выполненных шагов).

2)Соотнесение полученных результатов с поставленной целью деятельности (самооценка по индивидуальной таблице, остается у учащихся).

3)Фиксация успешности деятельности и вывод о следующих шагах. (Слайд 29).

- на уроке было интересно, узнал много нового, научился применять свойства степени, все получалось;
 - на уроке было интересно, узнал много нового, учился применять свойства степени, не все получалось; 
- ничего не получалось, ждал звонка.

Выходя из класса учащиеся разным цветом отмечают на интерактивной доске (закрашивают кружочки) результаты своей деятельности на уроке.

9. Постанова домашнего задания. (Слайд 25).

• §17, правила, доказательство 3-го свойства ( по желанию)

• №566(в, г), №579, №593

• Творческое задание: (по желанию). (Слайды 26-28).

10. Литература.

1.УМК: алгебра 7 класс, учебник для общеобразовательных учреждений под редакцией С.А.Теляковского, авторы Ю.Н.Макарычев и др., 7-е издание, Москва, «Просвещение», 2018

2. Лебединцева Е.А., Беленкова Е.Ю. Алгебра 7 класс. Задание для обучения и развития учащихся. – М.: Интеллект-центр, 2015.

3. pptcloud.ru›…svoystva-stepeni-s…pokazatelem-12857

ppt4web.ru›…svojjstva-stepeni-s…pokazatelem3.html

Приложение.