Урок обобщения по теме"Объем конуса"( задачи практического содержания)

Тема: Объем конуса.

Цель: отработка навыков решения задач с применением формулы объема конуса, рассмотреть решение практических задач на нахождение объема конуса и его элементов, познакомить с использованием понятия конуса в природе в физике, составление математических моделей задач.

План проведения занятия:

1. Повторение теоретического материала.

2. Самостоятельная работа.

3. Историческая справка.

4. Решение задач практического содержания.

5. Задание на самоподготовку.

6. Подведение итогов.

Ход занятия.

1. Организационный момент.

Объявить тему и план проведения урока.

1. Повторение изученного материала.

1. Устная работа. Теоретический опрос.

2. Устная работа. Назвать элементы конуса; теорему, с которой связаны высота, радиус и образующая; формулу нахождения объема конуса.

1. Самостоятельная работа – 10 мин.

2. Историческая справка.

Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. В книге Архимеда (287–212 гг. до н. э.) «О методе» дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470–380 гг. до н. э.) – древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

1. Решение задач практического содержания.

1. Найти объем конуса, макет которого учащиеся сделали самостоятельно. Один из учащихся рассказывает ход измерений и вычислений. Результаты вычислений учащиеся записывают в тетрадь.

2. Задача о кургане.”… Читал я где-то,
   Что царь однажды воинам своим
   Велел снести земли по горсти в кучу,
   И гордый холм возвысился — и царь
   Мог с вышины с весельем озирать
   И дол, покрытый белыми шатрами,
   И море, где бежали корабли. “

А.С. Пушкин, Скупой рыцарь

Докажем или опровергнем эту легенду о древнем владыке. Найдем высоту получившегося холма.

Решение задачи

Составим математическую модель задачи.

45

У Аттилы было самое многочисленное войско, которое знал древний мир. Историки оценивают его в 700 000 человек.

1горсть земли

Объем конуса равен

700 000 0,2=140 000 =140

Чтобы земля не осыпалась, угол откоса составляет 45 .

Значит,

=

Ответ: 5,1 м.

1. Авиационная бомбасреднего калибра дает при взрыве воронку диаметром 6 м и глубиной 2 м. Какое количество земли (по массе) выбрасывает эта бомба, если 1 м³ земли имеет массу 1650 кг?

Решение.

Так как диаметр воронки 6 м и глубина 2 м, то радиус полученного конуса составляет 3 м, а высота – 2 м.

С

3

2

Найдем объем конуса:

Масса выброшенной земли составляет кг 31 т. Ответ: 31 т

1. По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1 000 000 жителей (чаще в южных странах). Громоотвод образует конус безопасности.

Будет ли защищен во время грозы дом высотой 6 м, шириной 8 м и длиной 10 м, если высота громоотвода 7 м, а угол между громоотводом и образующей конуса безопасности равен 60 ?

Решение задачи.

Составим математическую модель задачи.

П

60

7

R

Объем дома 480

Ответ: дом будет защищен от грозы.

Дополнительная информация о конусе.

Где еще встречается понятие конуса?

• В геологии существует понятие «конус выноса». Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенными горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину.

• В биологии есть понятие «конус нарастания». Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.

• «Конусами» называется семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных. Раковина коническая (2–16 см), ярко окрашенная. Конусов свыше 500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются хищниками, имеют ядовитую железу. Укус конусов очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используются как украшения, сувениры.

• В физике встречается понятие «телесный угол». Это конусообразный угол, вырезанный в шаре. Единица измерения телесного угла – 1 стерадиан. 1 стерадиан – это телесный угол, квадрат радиуса которого равен площади части сферы, которую он вырезает. Если в этот угол поместить источник света в 1 канделу (1 свечу), то получим световой поток в 1 люмен. Свет от киноаппарата, прожектора распространяется в виде конуса.

1. Задание на самоподготовку.

1. Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 3 см и прилежащим углом 30 вокруг меньшего катета.

2. Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Вычислите объем конуса, если объем цилиндра равен 60.

3. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если диаметр его основания уменьшится в 2,5 раза?

4. Объем конуса равен 20. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

1. Подведение итогов урока.

1. Какое геометрическое тело называется конусом?

2. Что нужно знать, чтобы найти объем конуса?

3. Как вычислить объем конуса?

4. Объявить оценки, полученные суворовцами за урок.

Объем конуса.

Решение задач практического содержания.

Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. В книге Архимеда (287–212 гг. до н. э.) «О методе» дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470–380 гг. до н. э.) – древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

1.Задача о кургане.”… Читал я где-то,
Что царь однажды воинам своим
Велел снести земли по горсти в кучу,
И гордый холм возвысился — и царь
Мог с вышины с весельем озирать
И дол, покрытый белыми шатрами,
И море, где бежали корабли. “

А.С. Пушкин, Скупой рыцарь

Докажем или опровергнем эту легенду о древнем владыке. Найдем высоту получившегося холма.

Решение задачи

Составим математическую модель задачи.

45

У Аттилы было самое многочисленное войско, которое знал древний мир. Историки оценивают его в 700 000 человек.

1горсть земли

Объем конуса равен

700 000 0,2= ….. = ……

Чтобы земля не осыпалась, угол откоса составляет 45 .

Значит,

=……

Ответ: …..

1. Авиационная бомба среднего калибра дает при взрыве воронку диаметром 6 м и глубиной 2 м. Какое количество земли (по массе) выбрасывает эта бомба, если 1 м³ земли имеет массу 1650 кг

Решение.

Так как диаметр воронки 6 м и глубина 2 м, то радиус полученного конуса составляет .… м, а высота –…. м.

С

3

2

Найдем объем конуса:

Масса выброшенной земли составляет

кг т.

Ответ:….. т

1. По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1 000 000 жителей (чаще в южных странах). Громоотвод образует конус безопасности.

Будет ли защищен во время грозы дом высотой 6 м, шириной 8 м и длиной 10 м, если высота громоотвода 7 м, а угол между громоотводом и образующей конуса безопасности равен 60 ?

Решение задачи.

Составим математическую модель задачи.

П

60

7

R

1. Дополнительная информация о конусе.

Где еще встречается понятие конуса?

• В геологии существует понятие «конус выноса». Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенными горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину.

• В биологии есть понятие «конус нарастания». Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.

• «Конусами» называется семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных. Раковина коническая (2–16 см), ярко окрашенная. Конусов свыше 500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются хищниками, имеют ядовитую железу. Укус конусов очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используются как украшения, сувениры.

• В физике встречается понятие «телесный угол». Это конусообразный угол, вырезанный в шаре. Единица измерения телесного угла – 1 стерадиан. 1 стерадиан – это телесный угол, квадрат радиуса которого равен площади части сферы, которую он вырезает. Если в этот угол поместить источник света в 1 канделу (1 свечу), то получим световой поток в 1 люмен. Свет от киноаппарата, прожектора распространяется в виде конуса.

1. Задание на самоподготовку.

1. Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 3 см и прилежащим углом 30 вокруг меньшего катета.

2. Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Вычислите объем конуса, если объем цилиндра равен 60.

3. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если диаметр его основания уменьшится в 2,5 раза?

4. Объем конуса равен 20. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.