Конспект урока-лекции по теме «Показательная функция, ее свойства и график».
Цель урока:
образовательная: Ввести новый вид функций – показательную, вывести ее свойства, построить график.
развивающая: развитие познавательного интереса учащихся; развитие наблюдательности, внимания; формировать потребность приобретения знаний;
воспитательная: формирование таких качеств личности, как организованность, ответственность, аккуратность, осознание общечеловеческих ценностей.
Учащиеся должны знать:
определение показательной функции;
свойства показательной функции;
способ построения графика показательной функции;
Учащиеся должны уметь:
использовать определение и свойства показательной функции при решении задач;
строить график показательной функции;
выполнять задания на чтение графика показательной функции;
Метод обучения: метод проблемного изложения.
Средства обучения: учебник, мел, доска, канва-таблица.
Форма работы: фронтальная.
Литература:
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. Для общеобразоват. Учреждений: базовый и профил. уровни/ [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. –4–е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 368с.
Алгебра и начала анализа. 10 класс : поурочные планы по учебнику Ш. А. Алимова и др. 1 полугодие / авт.–сост. Г. И. Григорьева. –Волгоград: Учитель, 2008. –150 с.
Структура урока:
Организационный момент(1 мин)
Актуализация знаний (10 мин)
Содержательная часть (30 мин)
Рефлексивно – оценочная часть (5 мин)
Ход урока.
Организационный момент
Включает в себя приветствие учителем учащихся, проверку отсутствующих, готовность помещения к уроку. Тема урока: «Показательная функция, ее свойства и график». Целью урока является изучение показательной функции, ее свойств, построение графика. Урок будет проходить в форме лекции.
Актуализация знаний
Деятельность учителя:
Вы ранее изучили степень с действительным показателем. Домашним заданием было повторить основные свойства степени.
Деятельность ученика:
Пусть a0, b0, х, х1 и х2 – любые действительные числа, тогда
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
Деятельность учителя:
Сегодня мы переходим к изучению нового вида функций – показательной, которая связана с понятием степени с действительным показателем.
Показательная функция часто используется при описании различных физических процессов. С ее помощью описывается формула радиоактивного распада, выражается давление воздуха в зависимости от высоты подъема, ток самоиндукции в катушке после включения постоянного напряжения и т.д.
- Но для начала определим план, по которому мы будем изучать показательную функцию. Для этого вспомним, по какой схеме мы ранее исследовали степенную функцию.
Деятельность ученика:
1) определение функции;
2) исследование свойств функции;
3) построение графика функции;
4) рассмотрение задач на применение изученных свойств функции, на построение графиков.
Деятельность учителя:
По аналогичному плану пройдет сегодняшний урок.
План:
Определение показательной функции.
Свойства показательной функции.
График показательной функции.
Применение изученного материала при решении задач.
Деятельность учителя:
Для удобства конспектирования вам розданы рабочие листы, которые вы будете заполнять по ходу лекции (Приложение1).
Содержательная часть.
Деятельность учителя:
В практике часто используются функции y = 2x , y = 10x , y = (½)x , y = (0,1)x ,
графики которых вы видите на экране. Данные графики построены с помощью программы Mathcad, которой вы в дальнейшем можете воспользоваться для проверки верности выполнения ваших построений.
y = 2x
y = 10x ,
y = (½)x ,
y = (0,1)x
То есть функции вида y = аx , где а – заданное число, х – переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени – заданное число.
- Запишите определение показательной функции в канву-таблицу:
Показательной функцией называется функция вида y = аx , где а – заданное число, а 0, а ≠ 1.
- Какие вы помните свойства функций?
Деятельность ученика:
Область определения – это множество всех значений, которые может принимать аргумент.
Множество значений – это множество всех значений, которые может принимать функция.
Деятельность учителя:
Вспомните определение возрастающей (убывающей) функции.
Деятельность ученика:
функция y=f(х) называется возрастающей (убывающей) на промежутке, если для любых двух значений х1 и х2 из этого промежутка, таких что х1 2 , выполняется неравенство f(х1)f(х2) (f(х1)f(х2)).
Деятельность учителя:
Рассмотрим свойства показательной функции.
Свойство1. Областью определения показательной функции является множество всех действительных чисел.
Свойство2. Множеством значений показательной функции является множество всех положительных чисел.
- Как обосновать эти свойства?
Деятельность ученика:
Свойство1 следует из того, что степень аx , где а0 определена для всех действительных чисел.
Деятельность учителя:
А свойство2 следует из того, что число а такое, что а0, а ≠ 1, в любой степени – положительное число.
Свойство3. Показательная функция y = аx является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a1, и убывающей, если 0a
- Далее переходим к пункту плана «График показательной функции». Рассмотрим графики функций y = 2x и y = (½) x , вы их видите на экране.
Отметим, что график функции y = 2x проходит через точку (0,1) и расположен выше оси Ох.Если х0 и возрастает, то график быстро поднимается вверх. Такой же вид имеет любой график функции y = аx ,если a1. - График функции y = (½) x также проходит через точку (0,1) и расположен выше оси Ох. Если х0 и возрастает, то график быстро приближается к оси Ох(но не пересекает ее). Такой же вид имеет любой график функции y = аx , если 0a
Показательная функция y = аx , где a 0, а ≠ 1 . |
а 1 | 0 a 1 |
1) О.О.Ф.: R |
2) Множество значений: _R+__ |
3) возрастающая при х0 | 3) убывающая при х0 |
График функции проходит через точку (0 , 1) |
| |
Деятельность учителя:
Итак, мы рассмотрели понятие показательной функции, ее свойства и график.
- Теперь посмотрите на построенный график функции y= 2x и скажите, какое значение принимает эта функция при х=2 и х= - 1.
Деятельность ученика:
эта функция принимает значения y=4 и y= ½ соответственно.
Деятельность учителя:
Посмотрите на график функции y= (½)x и скажите, какое она принимает значение при х= - 3 и х=1.
Деятельность ученика:
эта функция принимает значения y=8 и y= ½ соответственно.
Деятельность учителя:
Теперь выполните обратное задание. Скажите, при каких значениях х функция y= 2x принимает значения y=2 и y=8.
Деятельность ученика:
при х= 1 и х=3.
Деятельность учителя:
При каких значениях х функция y= (½ )x принимает значения y=4, y=1 и y=2.
Деятельность ученика:
при х= -2, х=0 и х= - 1.
Деятельность учителя:
№ 194. Изобразить схематически график функции
Деятельность ученика:
y= 0,4x 0
А теперь давайте посмотрим, верно ли вы построили график.
y= (√2)x √21, следовательно, показательная функция является возрастающей
А теперь давайте посмотрим, верно ли вы построили график.
№ 195. Сравнить числа: 1) 1,73 и 1
Решение: 1) 1 = 1,70 . Так как 1,7 1, то функция y= 1,7x является возрастающей; 30, следовательно, 1,73 1,70 , значит 1,73 1.
№ 199 Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция:
1) y= 0,3-х, 3) y= 1,3-2х.
1) y= 0,3-х ↔ y= (1/0,3)х , 1/0,3 1, следовательно функция y= 0,3-х является возрастающей.
3) y= 1,3-2х ↔ y= (1/1,3)2х , 01/1,3y= 1,3-2х является убывающей.
Деятельность учителя:
Какова была цель нашего урока?
Деятельность ученика:
Изучить показательную функцию, ее свойства и график.
Деятельность учителя:
Достигли мы ее?
Деятельность ученика:
Да, достигли.
Деятельность учителя:
Как мы ее достигли?
Деятельность ученика:
Мы узнали о существовании нового вида функций – показательной. Мы изучили определение показательной функции, ее свойства и график, увидели, где и как можно применить полученные знания.
Деятельность учителя:
Домашним заданием будет: 1) выучить §11
2) Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция: 2) y= (1/7)-х , 4) y= 0,7-3х .
3) Изобразить схематически график функции
3) y= (1/√2)x ; 4) y= (√3)x ,
4) Сравнить числа: 2) 0,32 и 1, 3) 3,21,5 и 3,21,6 .