Урок комплексного применения знаний: Тригонометрические функции углового аргумента

Математика; урок комплексного применения знаний

Тема урока: Тригонометрические функции углового аргумента в геометрии.

Продолжительность: 45 минут

Класс: 10

Тема урока (Слайды 1,2, 3).

Цель урока (педагогическая): расширить знания учащихся о применении тригонометрических функций в практической деятельности, повысить интерес учащихся к изучению тригонометрии на основе геометрического материала, внедрения современных информационных технологий, позволяющих наглядно применять теоретические знания учащихся в практической деятельности.

Задачи:

Обучающие: научить применять теоретические знания при решении геометрических задач на нахождение неизвестных элементов треугольника без помощи таблиц и калькулятора

Развивающие: развивать умение применять все имеющиеся знания, умения и навыки при самостоятельном решении задач, познавательный интерес и интерес к поисково – исследовательской деятельности; самостоятельность учащихся;

Воспитательные: воспитывать способность признавать отличные от своих собственных идей мнения, умение слушать и слышать.

Тип урока: Урок - исследование.

Оборудование урока:

Мультимедийный проектор; экран; ПК.

Ожидаемый результат: Каждый учащийся должен знать, как с помощью геометрических соображений можно находить тригонометрические функции углов, отличных от углов в 30⁰, 45⁰, 60⁰ и уметь применять полученные знания при решении задач.

Ход проведения урока.

I. Организационный момент.

II. Актуализация опорных знаний.

Работа с классом. Повторение основных формул геометрии для прямоугольного и произвольного треугольника (Слайды 4, 5, 6), а также известных из курса геометрии формул приведения (Слайд 7).

III. Создание проблемной ситуации.

Вступительное слово учителя: Еще древние греки, изучая связи математики с природой, стремились найти во всех ее проявлениях порядок, гармонию и совершенство. Труды многих античных ученых только укрепляли веру людей в то, что в основе построения Вселенной лежат математические принципы и что законы математики – ключ к пониманию природы. « Еще задолго до новой эры вавилонские ученые умели предсказывать солнечные и лунные затмения. Это позволяет сделать вывод о том, что им были известны некоторые простейшие сведения из тригонометрии. Как и любая научная дисциплина, тригонометрия возникла из потребностей практической деятельности человека». (Н.Н. Решетников).

Тригонометрические функции возникли впервые в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, встречаются уже в 3 в. до н. э. в работах математиков Древней Греции — Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского и др. Греческие астрономы не знали синусов, косинусов и тангенсов. Вместо таблиц этих величин они употребляли таблицы, позволяющие отыскать хорду окружности по стягиваемой дуге. Тригонометрические функции рассматривались первоначально как отрезки и в такой форме применялись при решении сферических треугольников Аристархом (конец 4 — 2-я половина 3 вв. до н. э.), Гиппархом (2 в. до н. э.), Менелаем (1 в. н. э.) и Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями. Тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях. В наше время тригонометрические функции нашли применение в математическом анализе, физике, химии, технике – везде, где приходится иметь дело с периодическими процессами и колебаниями – будь то акустика, оптика или качание маятника. (Слайд 8)

Сегодня мы проводим урок, на котором рассмотрим примеры применения тригонометрических функций при решении планиметрических задач.

1. Задание учащимся.

Решите устно следующую задачу (Слайды 9, 10):

Задача 1. Сейсмической станцией С зафиксированы сильные подземные толчки на расстоянии 100 км от станции под углом 60⁰ к поверхности земли. Определите глубину эпицентра землетрясения h.

Решите текстовую задачу 2 без применения таблиц и калькуляторов.

Задача 2. Прямо по курсу ледокола В обнаружен айсберг. С помощью ультразвукового эхолота под максимальным углом 15 градусов определена подводная точка С айсберга на расстоянии 200 м. Определите глубину h подводной части айсберга (Слайд 11). Решение задачи 2, предложенное учащимися, на слайде 12.

2. Проблемный вопрос: Можно ли решить задачу 2 также просто, как и задачу 1?

Учащиеся приходят к мнению, что для этого нужны формулы, позволяющие находить sin 15⁰ и cos 15⁰.

IV. Постановка целей и задач урока. Учебная цель (Слайд 13).

Учитель. На уроке вы должны вывести формулы sin 15⁰ и cos 15⁰ , используя геометрические соображения.

В результате обсуждения учащиеся предложили рассмотреть прямоугольные треугольники с разными дополнительными построениями и равнобедренный тупоугольный треугольник с углом 150⁰.

V. Работа в группах.

Участники первой группы рассмотрели прямоугольный треугольник с острым углом в 15⁰, выполнили дополнительное построение, отложив на продолжении одного из катетов отрезок, равный по длине гипотенузе, и решили задачу (Слайд 14).

Решение:

Пусть в прямоугольном Δ АВС ( С = 90⁰) ВС = а, тогда ВD = 2а. По построению АС = АD = 2а. ΔABD – равнобедренный, DAB = 150⁰, следовательно ADB = ABD = 15⁰. Из Δ АВС по теореме Пифагора находим АС. АС = , тогда DC = По теореме Пифагора в Δ DBC выразим DB² = DB =

cos 15⁰ =

Участники второй группы рассмотрели прямоугольный треугольник с острым углом в 15⁰, выполнили дополнительное построение, отложив на продолжении одного из катетов отрезок, равный по длине данному катету, и решили задачу (Слайд 15).

Решение: Построим на продолжении катета AD отрезок DC, равный по длине данному катету. Соединим точки В и С. Получим равнобедренный треугольник АВС с острым углом при вершине В, равном 30⁰. Пусть АВ = ВС = а. По теореме косинусов найдем АС.

Найдем

Из Δ ABD найдем

.

Участники третьей группы решали тупоугольный треугольник с углом при вершине, равным 150⁰ (Слайд 16).

Решение: Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС. Пусть АС = ВС = а. По теореме косинусов найдем АВ: АВ² = а² + а² – 2 ∙ а² cos150⁰. АВ = По теореме синусов:

cos15⁰ = .

VI. Закрепление.

Вернувшись к задаче 2, с помощью полученных формул решили задачу (Слайд 17).

Задание учащимся. Решить задачу с применением полученных формул (Слайд 18).

Задача. В Δ АВС известно, что АВ = см, А = 45⁰, С = 30⁰. Найдите ВС, АС и площадь Δ АВС.

Решение. Найдем В = 180⁰ - (45⁰ + 30⁰) = 105⁰. По теореме синусов

По теореме синусов

sin105⁰ = sin(90⁰ + 15⁰) = cos15⁰.

Ответ: ВС = 8 см, АС = .

VII. Дополнительная информация (Слайд 19).

VIII. Домашнее задание.

IX. Итог урока.

2