Урок геометрии в 10 классе "Построение сечений многогранников"

Тема: «Построение сечений многогранников».

Учитель математики МКОУ «Урахинская СОШ» Аликадиева М. Л.

Предмет: геометрия

Класс: 10

Используемые педагогические технологии:

технология проектного обучения, информационные технологии.

Тема урока: Построение сечений многогранников.

Тип урока: урок закрепления и развития знаний.

Формы работы на уроке: фронтальная, индивидуальная

Цели:

Образовательные:

Проверить знание теоретического материала о многогранниках .

Продолжить формирование умения анализировать чертеж, выделять главные элементы при работе с моделью многогранника, строить сечения, намечать ход решения задачи, предвидеть конечный результат.

Отработать навыки решения задач на построение сечений многогранников в программе GeoGebra. Развивать графическую культуру и математическую речь.

Формировать навыки использования компьютерных технологий на уроках геометрии.

Развивающие:

Развивать познавательный интерес учащихся.

Формировать и развивать у учащихся пространственное воображение.

Воспитательные:

Воспитывать самостоятельность, аккуратность, трудолюбие.

Воспитывать умения работать индивидуально над задачей.

Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

Техническое обеспечение:

Компьютерный класс, программное обеспечение динамической математики GeoGebra, проектор.

Раздаточный материал:

Инструкция по построению многогранников и их сечений.

Бланки-карточки с заданиями для практической работы, бланки-карточки с ответами.

Структура урока.

ХОД УРОКА

1-2. Организационный момент. Постановка цели и задач.

Учитель: Здравствуйте, ребята! Тема нашего урока «Построение сечений многогранников». На уроке мы обобщим и систематизируем пройденный теоретический материал, и применим его к практическим задачам на построение сечений в программе GeoGebra.

- Задачи на построение сечений в многогранниках занимают заметное место в курсе стереометрии. При решении многих стереометрических задач используют сечения многогранников плоскостью.

На предыдущих уроках мы с вами рассмотрели алгоритмы построения несложных сечений куба, тетраэдра и параллелепипеда. Эти сечения, как правило, задавались точками, расположенными на ребрах или гранях многогранника. Сегодня на уроке мы с вами продолжим строить сечения пирамиды плоскостью, проходящей через три данные точки, такие, что никакие три из этих точек не лежат в одной грани. Построим сечение куба и наклонной призмы. Для этого мы будем использовать программу GeoGebra.

3. Исторические сведения.

В качестве домашнего задания вам было предложено написание рефератов или небольших выступлений об истории развития геометрии, о жизни великих математиков, об их знаменитых открытиях и теоремах. Доклады и рефераты получились очень интересные, но на уроке мы заслушаем только три мини-выступления, отвечающие на вопрос, что изучает стереометрия, как возникла и развивалась и где находит своё применение?

1 ученик. Понятие стереометрии, что изучает.

2 ученик. Евклид – основоположник геометрии, греческая архитектура.

3 ученик. Математическая теория живописи. «Золотое сечение» - формула совершенного человеческого тела по Леонардо да Винчи.

В стереометрии изучаются красивые математические объекты. Их формы находят своё применение в искусстве, архитектуре, строительстве. « Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии, а греческая архитектура – внешнее выражение геометрии Евклида», - писал архитектор Корбюзье.

Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по прежнему остается «грамматикой архитектора». Геометрические формы находят своё применение в искусстве, архитектуре, строительстве.

Математическая теория живописи – это теория перспективы, представляющая, по словам Леонардо да Винчи, «тончайшее исследование и изобретение, основанное на изучении математики, которое силой линий заставляло казаться отдаленным то, что близко, и большим то, что невелико». Развернувшееся в эпоху Возрождения строительство инженерных сооружений возродило и расширило применявшиеся в античном мире приёмы проекционных изображений. Архитекторы и скульпторы встали перед необходимостью создания учения о живописной перспективе на геометрической основе. Многочисленные примеры построения перспективных изображений имеются в работах гениального итальянского художника и выдающегося ученого Леонардо да Винчи. Он впервые говорит о сокращении масштаба разных отрезков удаляющихся в глубь картины, кладет начало панорамной перспективе, указывает правила распределения теней, высказывает уверенность в существовании некой математической формулы красоты отношения размеров человеческого тела – формулы «золотого сечения».

Таким образом мы плавно подошли к теме нашего урока, в его следующий этап будут слова Леонардо да Винчи :

"Те, кто влюбляются в практику без теории, уподобляются мореплавателю, садящемуся на корабль без руля и компаса и потому никогда не знающему, куда он плывет".

Это высказывание определяет следующий этап нашего урока: повторение теоретического материала.

4. Повторение изученного материала.

- Давайте повторим некоторые вопросы теории.

• Что такое секущая плоскость?

• Как можно задать секущую плоскость?

• Что такое сечение тетраэдра, куба, (параллелепипеда)?

• Какие многоугольники могут получиться при построении сечений тетраэдра?

• А какие многоугольники мы можем получить при построении сечений параллелепипеда, многогранника ?

Изучение темы «Решение задач на построение сечений» облегчается с помощью различных компьютерных программ. Одной из таких программ является программное обеспечение динамической математики GeoGebra. Она подходит для изучения и обучения на любом из этапов образования, облегчает создание математических построений и моделей обучающимися, которые позволяют проводить интерактивные исследования при перемещении объектов и изменение параметров.

- Сечение призмы и пирамиды плоскостью: как построить сечение многогранника в GeoGebra

( Ответы учащихся)

Для построения сечения любого многогранника плоскостью - необходима плоскость:

-через 3 точки не лежащие на одной прямой,

-через 2 пересекающие прямые,

-через 2 параллельные прямые,

-
через прямую и не лежащую на ней точку.
Выбрать из опций нужный.

5. Построение сечений многогранников в GeoGebra

Открываем Программу GeoGebra. Кликнем «Вид», «Полотно3Д»

(Раздаю учащимся инструкцию для построения сечений призмы и пирамиды)

1. .Выбрать инструмент «Призма» или «Пирамида».

2. Для построения плоскости сечения воспользуемся различными функциями в инструменте «Плоскость через 3 точки» и т д. Чтобы понять, как провести плоскость с помощью той или иной функции выберем ее и наведем на ее обозначение.

3. После добавления плоскости выберем инструмент «Кривая пересечения».
4. Выберем плоскость, которая образует сечение, затем в «Панели объектов» нажмем на призму или же пирамиду.
5. Для того, чтобы лучше увидеть сечение щелкнем правой кнопкой мыши по плоскости, которую мы провели, и выберем режим 2D на эту плоскость.
6. В 2D режиме мы увидим сечение. Щелкнув правой кнопкой мыши по сечению выберем «Свойства», «Цвет» (сверху) затем выберем яркий цвет и ползунок заливки передвинем на большее число процентов. При таком цвете лучше видна плоскость сечения.
7. Переходим на «Панель объектов» и скроем плоскость, щелкнув по его значку.

- Ребята, мы же построим сначала еще один вид построения сечения куба плоскостью, инструментом «Перпендикулярная плоскость»

Построение сечения куба плоскостью

Построить сечение куба плоскостью перпендикулярной его диагонали.

В настройках выберем шрифт, «Обозначение», выбрать «Только для точек».

1. Кликнуть «Вид», «Пирамида»,

2. Кликнем «Куб». На плоскости ставим две точки. Куб построен.

3. На панели инструментов кликнем «Прямая»

4. Щелкнем две диагональные вершины куба. Прямая, содержащая диагональ построена.

5. Кликнем инструмент «Точка». Построим точку на прямой.

6. Кликнем инструмент «Перпендикулярная плоскость»

7. Кликнем по точке, потом по прямой, получим плоскость. Левой кнопкой мыши, передвинем до середины. Плоскость является секущей.

Выделим сечение.

1. Кликнем инструмент «Кривая пересечения». Переходим на «Панель объектов», щелкнем по объекту куб, и по плоскости (на их именах). Сечение

1. построено. Можно выбрать другой цвет. Саму плоскость можно отключить и оставить сечение.

Полезна возможность «GeoGebra» строить выносной чертеж сечения.

Для этого достаточно щелкнуть по нему на «Панели объектов» правой кнопкой мыши на многоугольник. Из контекстного меню выбрать

«Создать 2Д вид на многоугольник». Выносной чертеж будет меняться по мере того, как будет меняться сечение.

Точно также можно построить сечение параллелепипеда, например,

его сечение плоскостью, проходящее через три точки на ребрах:, выбрав инструмент «Плоскость через 3 точки». Это вы сможете сделать дома.

Рассмотрим применение программы GeoGebra на примере задач.

Задача 1

На ребрах AB, BC, CD тетраэдра DABC отмечены точки M, N, P. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.

1. Программу GeoGebra открыта.

2. В меню Вид выберем «Полотно 3D» (Полотно 2D можно закрыть)

3. Кликнем инструмента «Призма», Выбрать «Тетраэдр», создадим тетраэдр DABC.

4. С помощью инструмента «Точка» на ребрах AB, BC, CD тетраэдра DABC отметим точки M, N, P (переименовать точку можно выделив ее и вызывая контекстное меню правой кнопкой мыши, выбрать соответствующий пункт).

5. Построим прямую инструментом «Прямая», по которой плоскость MNP пересекается с плоскостью грани ABC. Точка M является общей точкой этих плоскостей. Для построения еще одной общей точки продолжим отрезки NP и BC до их пересечения в точке E, которая и будет второй общей точкой плоскостей MNP и ABC Для этого выбрав инструмент «Прямая», нужно щелкнуть поочерёдно по точкам N, P и B, C и с помощью инструмента «Пересечение», отметить точку E – точку пересечения прямых NP и BC.Ребята, посмотрите, эти плоскости пересекаются по прямой ME.

6. Прямая ME пересекает ребро AC в некоторой точке Q.

7. Выбрать прямую ME , выбрав инструмент «Прямая» и щелкнув поочерёдно по точкам M, E. С помощью инструмента «Пересечение» отметим точку Q – точку пересечения прямой ME и ребра AC.

8. Четырёхугольник МNPQ – искомое сечение.

Выделим его используя инструмент «Многоугольник», поочерёдно щелкая по точками M, N, P, Q, M.

1. Дважды щелкнув по объектам «Tetrahedron» и «Четырёхугольник», можно вызвать контекстное меню с настройками, в которых можно выбрать цвет заливки и прозрачность соответствующего объекта.

Также при построении сечений необходим инструмент «Параллельная прямая», позволяющий строить прямую параллельную данной через заданную точку. Для построения достаточно выбрать соответствующий инструмент и щелкнуть по прямой и точке, через которую требуется провести прямую.

Задача 2.

Построить сечение наклонной призмы плоскостью (ABC), проходящее через точку на боковом ребре параллельно основанию.

Строим наклонную произвольную пятиугольную призму.

1. Кликнем «Вид». «Полотно». «Многоугольник».

2. Инструмент «Точка». Ставим точку на боковом ребре призмы.

3. Кликнем инструмент «Параллельная плоскость». Щелкнем по точке на ребре и по плоскости основания. Плоскость сечения построена.

4. «Кривая пересечения». Выделяем сечение.

При построении можно использовать ползунки.

6. Практическая работа в программной среде GeoGebra на построение сечений.

Ученики получают бланки-карточки для практической работы и садятся за компьютеры для выполнения практической работы. На бланках также расположено несколько различных примеров построения сечений. Практическая работа состоит из 2 заданий на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда. Учитель контролирует выполнение работы и помогает учащимся в случае затруднений.

Проверка выполнения работы.

Ученики получают бланки с ответами. Проверяют работы друг друга, отмечая правильно построенные сечения. Учитель оценивает работы учащихся.

7. Домашнее задание.

- В качестве домашнего задания я попрошу вас решить задачи, аналогичные задачам в практической работе. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящее через три точки.

8. Рефлексия. Заключение.

В данной работе:

• Мы ознакомились с возможностями применения среды GeoGebra в геометрических построениях.

• Рассмотрели примеры использования инструментов.

• Подробно описали команды для геометрических построений, рассмотрели примеры использования таких команд.

• Приведены примеры решения заданий с подробным пошаговым описанием действий на примерах задач из школьного курса.

На этапе рефлексии деятельности учащиеся анализируют, где и почему были допущены ошибки, каким способом они были исправлены, повторяют алгоритмы, вызвавшие затруднения, оценивают свою деятельность на уроке.

Список используемых источников и программно-педагогических средств:

1. https://ru.wikipedia.org/wiki/GeoGebra

2. http://3d-geometry.ru/pages/geogebra.html

3. Л.С. Атанасян. Геометрия. 10-11 классы,- М: Просвещение, 2015г.

4. Программное обеспечение динамической математики GeoGebra