СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Урок алгебры в 8 классе на тему "Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения"

Категория: Алгебра

Нажмите, чтобы узнать подробности

Урок проводится в 8 классе с компьютерной поддержкой и представляет собой изучение и первичное закрепление нового материала.

Просмотр содержимого документа
«Урок алгебры в 8 классе на тему "Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения"»



Урок алгебры в 8 классе.

Тема «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения»



Урок проводится в 8 классе с компьютерной поддержкой и представляет собой изучение и первичное усвоение нового материала.

Цель урока:

  1. сформировать понятия: квадратное уравнение, приведенное квадратное уравнение, полное квадратное уравнение, неполное квадратное уравнение;

  2. научить различать виды неполных квадратных уравнений и решать эти уравнения.

Презентация позволяет более эффективно использовать время на уроке, способствует развитию интереса к учению.

Тема урока: «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения.»

Цели урока:

  1. Образовательные: сформировать понятия: квадратное уравнение, приведенное квадратное уравнение, полное квадратное уравнение, неполное квадратное уравнение; научить различать виды неполных квадратных уравнений и решать эти уравнения.

  2. Развивающие: развивать навыки творческой, познавательной, мыслительной деятельности, логическое мышление; вырабатывать умение анализировать и сравнивать.

  3. Воспитательные: воспитывать сознательное отношение к учебному труду, развивать интерес к математике, самостоятельность, прививать аккуратность и трудолюбие.

Оборудование к уроку: доска, мел, компьютер, проектор, бумажные варианты заданий.

Технологии: ИКТ – технологии, технология проблемного обучения.

План урока:

  1. Организационный момент - «Настроимся на урок!»

  2. Актуализация знаний. Устные упражнения. Тест «Разложите на множители». Самопроверка.

  3. Изучение нового: Определение квадратного уравнения.

  4. Физкультминутка.

  5. Изучение нового: Неполные квадратные уравнения, их виды и способы решения.

  6. Самостоятельная работа. Самопроверка по шаблону.

  7. Работа с учебником. Решение № 525.

  8. Итог урока.

  9. Домашнее задание.

  10. Немного истории

  11. Рефлексия

Ход урока:

  1. Организационный момент - «Настроимся на урок!»

Цель: подготовка учащихся к работе, активизация внимания для быстрого включения в деятельность.



Учитель: Здравствуйте, ребята. Добрый день, уважаемые гости нашего урока! Как вы думаете, можно ли прожить без математики? Зачем надо изучать математику? Ответ на этот вопрос вы найдете, если узнаете, что означает в переводе с греческого слово «МАТЕМАТИКА». «Математика» - Знание, наука. Именно поэтому, если человек был умен в математике, то это всегда означало высшую степень учености. А умение правильно видеть и слышать – первый шаг к мудрости. Вот поэтому мне сегодня очень хочется, чтобы вы стали немного мудрее и расширили свои знания по математике. Мы с вами начинаем изучать новый большой раздел «Квадратные уравнения». Сегодня первый урок из этой главы, однако, вы уже умеете решать некоторые квадратные уравнения. Знания надо не только иметь, но и надо уметь их показать, что вы и сделаете на сегодняшнем уроке, а я вам помогу в этом. Итак, тема сегодняшнего урока: «Неполные квадратные уравнения». Сегодня у нас несколько необычный урок – урок – презентация неполных квадратных уравнений. Как вы думаете, как можно сформулировать цель нашего урока исходя из его темы? (слушаем ответы учащихся и подводим итог: Так как тема сегодняшнего урока «Неполные квадратные уравнения», то мы должны дать определение квадратного уравнения, научиться составлять квадратное уравнение по его коэффициентам, выбирать из предложенных уравнений квадратные. Речь идет о неполных квадратных уравнениях, значит надо выяснить определение и виды неполных квадратных уравнениях и научиться их решать.)

Итак, наша цель: дать определение квадратного уравнения, научиться составлять квадратное уравнение по его коэффициентам, выбирать из предложенных уравнений квадратные, научиться решать неполные квадратные уравнения.

  1. Актуализация знаний Устные упражнения: а) Мы изучали тему «Уравнение x2 =a». Давайте вспомним ее: Решить уравнения: a) x2 =11; б) x2 =-8; в) 7x2 =0; г) x2 -5x = 0. б) Вспомним формулы сокращенного умножения: а) x2 – 64= б) 36 – 25 x2 = в) 9m2 – 16 n2 = г) 9x2 – 16 =

в) « Разложите на множители» (запишите соответствие формул)



Выбрать правильный ответ: a) или б)

1) x2 - x


  1. x ( x – 1)

б) x (1 – x)

2) 4 x2 + 2 x


  1. – x ( 2 x + 2)

б) 2x (2x +1)

3) 4 x2 - 9


  1. (2 x – 3) ( 2 x + 3)

б) 2 (x + 3) (x – 3)

4) 16 x3 – 25 x


  1. x (4 x – 5) ( 5+ 4 x)

б) x (4x + 5) (5- 4 x)

Самопроверка по эталону: 1 – а, 2 – б, 3 – а, 4 - а



  1. Изучение нового материала. Определение квадратного уравнения.

В 7 классе мы уже рассматривали (и даже решали) квадратные уравнения. Например: x2 – 4 = 0; 4 x2 + 7 x = 0; x2 -6x +9 = 0. Что общего в этих уравнениях? (члены содержат квадрат неизвестной). Мы также умеем решать и такие уравнения, как x – 5 = 0; 6x = 0; 7x +9 = 0. Как они называются? (линейные) Чем линейные уравнения отличаются от квадратных? (они содержат переменную только в первой степени). Давайте вспомним общий вид линейного уравнения. (kx + b = 0, k ≠0) Напишите по аналогии общий вид квадратного уравнения.(ax2 + bx + c = 0, a ≠0) Попробуйте сформулировать определение квадратного уравнения. Определение квадратного уравнения: Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b, c –некоторые числа, причем a ≠0. Число a называют первым или старшим коэффициентом, b- вторым коэффициентом , c- свободным членом. Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным. Например: x2 – 12x +30 = 0, x2 – 5x = 0, x2 – 50 = 0. Квадратное уравнение, первый коэффициент которого не равен 1, можно привести к приведенному, разделив обе части уравнения на коэффициент при x2. Квадратное уравнение называют еще уравнением второй степени, т.к. его левая часть является многочленом второй степени.

Первичное закрепление нового материала. 1) Является ли квадратным уравнение? а) 3,7x2 – 5x +1 = 0, б) 48 x2 – x3 -9 = 0, в) 2,1x2 +2x – 0,11= 0, г) 1- 12 х = 0, д) 7 x2 -13 =0. 2) Рассмотрим уравнение (a – 1) x2 + 4 a x + 5 a +2 =0. Если старший коэффициент a – 1 ≠0, то уравнение является квадратным. Если старший коэффициент a – 1 =0, то уравнение является линейным и при подстановке этого значения в данное уравнение получаем уравнение 4 x +7=0. 3) Выпишите коэффициенты данных уравнений (заполните таблицу):

Уравнение

Коэффициенты

a

b

c

1

2 x2 – 8 x +9 = 0




2

4 x2 – 9= 0,




3

9x2 = 0,




4

x2 – 5x = 0,




5

2 - 3x2 + 4x = 0,




6

24 + 6 y2 = 0,






Оцените себя: нет ошибок – «5»; одна ошибка – «4»; две ошибки – «3».

  1. Физкультминутка

  2. Изучение нового материала. Неполные квадратные уравнения, их виды и способы решения.

Рассмотрим квадратные уравнения: а)2x2 + 5x - 7 = 0; б) 3 x2 - 8 x = 0; в) 3 x 2 - 48 = 0; г) 2 x2 =0. Чем эти уравнения отличаются друг от друга? (в уравнениях б, в, г отсутствует один из членов) Как можно назвать такие уравнения? (неполные квадратные уравнения)

Определение неполного квадратного уравнения. Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен 0, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Виды неполных квадратных уравнений: Если b=0, то уравнение имеет вид: ax2 + c = 0; Если c =0, то уравнение имеет вид: ax2 + bx = 0; Если b=0 и c =0, то уравнение имеет вид: ax2 = 0.

Пример; При каком значении а уравнение 5x2 + (3a - 6) x +a +5 = 0 является неполным квадратным уравнением?

Решение: Так как старший коэффициент данного уравнения равен 5, то оно всегда является квадратным. Такое уравнение будет неполным, если его второй коэффициент или свободный член будут равны нулю. Если второй коэффициент равен нулю (3a – 6=0, а = 2), то уравнение примет вид 5x2 + 7 = 0 и является неполным квадратным уравнением. Если свободный член равен нулю(a +5=0, а = - 5) , то уравнение примет вид 5x2 - 21x = 0 и также является неполным квадратным уравнением. Ответ: -5; 2.

Общее решение неполного квадратного уравнения. 1) ax2 + c = 0; а ≠0, b=0, с≠0. х2 = - . Если - 0, то уравнение имеет 2 корня х 1 и х 2; Если - ax2 + bx = 0; а ≠0, b0, с=0. x (ax + b)=0; х = 0 или ax + b =0;

х = - . 3) ax2 = 0; а ≠0, b=0, с=0. х = 0

  1. Самостоятельная работа.

Вариант 1

Вариант 2

баллы

1

Решить уравнение


а

2x2 – 18 = 0

6x2 -12 =0

1

б

5x2 + 15 x =0

3x2 +12x =0

1

в

x2 +5 = 0

7 + x2 = 0

1

2

Составить квадратное уравнение, имеющие корни



3 и – 3

0 и 6

2

3

Решить уравнение



(x + 1)2 + (1 + x)·5 = 6

(x – 4) (x + 4) = 2 x - 16

3



Самопроверка по эталону.

  1. Работа с учебником. Решение задачи № 525

  2. Итог урока. 1. Напишите общий вид квадратного уравнения. Приведите примеры квадратных уравнений 2. Какое квадратное уравнение называется неполным? Приведите примеры неполных квадратных уравнений. 3. Перечислите 3 вида неполных квадратных уравнений. Какие корни имеют эти уравнения? 4. Как называется квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 1? 5. Подбери концовку определения: Уравнение называется

квадратным, если

a=0

неполным квадратным, если

а ≠0

приведенным, если

b=0 или с=0

линейным, если

а=1



  1. Домашнее задание: п. 21 № 518 (г, д, е); 521. Творческое задание (с параметром) – карточки 1) При каких значениях а уравнение является квадратным? Напишите это уравнение. 1. (a – 1) · x3 + 4 ax2 – 5 x – 3 a=0 2. (4a – 6) · x3 +(4a + 3) · x2 - 5ax -7+a=0 2) При каких значениях а уравнение является неполным квадратным уравнением? Напишите это уравнение и решите его. 1. 3x2 - (a – 4) · x +12 = 0 2. (2a + 3) · x2 + (a + 2) · x + 9 =0 3. 5x2 + 18 x + (7 – a) = 0 4. (3a – 8) · x2 – ( a – 3) · x - (a + 1) = 0

  2. Немного истории (выступление учащихся). По словам математика  Готфрида Вильгельма Лейбница «Кто хочет ограничиться настоящим, без знания прошлого, тот никогда настоящего не поймет». Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они находят широкое применение при решении различных тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных, трансцендентных уравнений и неравенств, большого количества разных типов задач. Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 г. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары. «Обезьянок резвых стая Всласть поевши, развлекалась Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась А двенадцать по лианам Стали прыгать, повисая Сколько ж было обезьянок, Ты скажи мне, в этой стае?» Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Квадратные уравнения решали в Вавилоне около 2000 лет до нашей эры. А в 1202 году итальянский ученый Леонард Фибоначчи изложил формулы квадратного уравнения. И лишь в 17 веке благодаря Ньютону, Декарту и другим ученым эти формулы приняли современный вид.

  1. Рефлексия. На заключительном этапе урока предлагаю дать оценку своей работы на уроке («да»; «нет») 1. Было ли тебе интересно на уроке? 2. Сумел ли ты приобрести новые знания и умения на уроке? 3. Сумел ли ты применить свои знания? 4. Какой оценкой ты бы оценил свою работу на уроке?

Сегодня мы с вами провели на уроке большую работу, которая подняла нас на новый уровень знаний. И хотелось бы закончить урок такими словами: «Образование – это не количество прочитанных книг, а количество понятых».

Спасибо большое всем за сегодняшний урок.











































Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ax2 + bх = с, а0

В уравнении коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

«Обезьянок резвых стая

А двенадцать по лианам

Всласть поевши, развлекалась

Стали прыгать, повисая

Их в квадрате часть восьмая

Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась

Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений.




Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!