Урок 10 Повторение. Теорема Пифагора

Урок № 10 14.05.20. 8-Б класс

Тема: Повторение. Теорема Пифагора

Цель: совершенствование навыков решения задач на применение теоремы Пифагора и теоремы, обратной теореме Пифагора.

1. Организационный момент: сообщить учащимся тему и цель урока, отметить отсутствующих.

Учащиеся записывают тему урока в тетради.

2. Актуализация

 Устная разминка :

Учащиеся отвечают на вопросы, за каждый правильный ответ ученик получает жетон.

Вопросы:

1. Как называются стороны прямоугольного треугольника?

2. Какие треугольники называются пифагоровыми?

3. Сформулируйте теорему Пифагора.

4. Найдите неизвестную сторону треугольника:

1. Сформулируйте теорему, обратную теореме Пифагора.

2. Является ли треугольник со сторонами 15, 20, 25 прямоугольным?

3. Какой треугольник называют египетским?

4. Для чего древние египтяне использовали этот треугольник?

3. Решение задач

Задача индийского математика Бхаскары:

На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота?

Р ешение:

Пусть CD – высота ствола.

BD = АВ

По теореме Пифагора имеем

АB²=AC²+BC²,

АB²=9+16=25,

АВ = 5 .

CD = CB + BD,

CD = 3 + 5 =8.

Ответ: 8 футов.

Задача

Дано: ABCD – ромб

А АВ = 10 см, BD = 12 см.

На йти: АС - ? S - ?

Решение:

ВО = ОD АО = ОС (свойство диагоналей ромба)

ВО = BD : 2 = 6 см

∆ АВО - прямоугольный

АВ² = ВО² + АО²

В О D АО² = АВ² - ВО²

АО² = 100 – 36 = 64, АО = 8 см

АС = 2• АО = 2 • 8 = 16 см

S = 0,5 • BD • AC = 0,5 • 12 • 16 = 96 см²

Ответ: АС = 16 см, S = 96 см²

Историческая справка 

Древнегреческий ученый Пифагор родился около 569 г до н.э. на острове Самос в Ионическом море. В молодости для изучения наук путешествовал по Египту, жил в Вавилоне, где в течение 12 лет занимался астрологией и астрономией. Затем организовал в Сицилии Пифагорейскую школу. Пифагор занимался не только математикой, но и был известным кулачным бойцом на Олимпийских играх и духовным религиозным деятелем своего государства. Интересен тот факт, что сам Пифагор формулировал свою теорему не так как мы. Его формулировка звучит так: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах».

4. Самостоятельная работа.

Задача № 1

Дано: ∆ АВС - прямоугольный

АС = 15 АВ = 12

Найти: ВС - ?

Решение:

ВС² = АС² – АВ²

ВС² = 225 – 144 = 81

ВС = 9 см

Ответ: 9 см

Задача № 2

Является ли треугольник со сторонами 11, 9 и 13 прямоугольным треугольником?

Решение:

по теореме, обратной теореме Пифагора получаем:

13² = 169 11² + 9² = 121 + 81 = 202 169 ≠ 202

Ответ: нет

Задача № 3

 Дано:

∆ FEM – равнобедренный, FH – высота

E M = 12 см, FH = 8 см

Найти: FM - ?

Решение:

FH – высота равнобедренного ∆ FEM =

FH – медиана ∆ FEM, EH = HM = EM : 2 = 6 см

E H M ∆ FHM - прямоугольный

FM² = FH² + HM²

FM² = 64 + 36 = 100

FM = 10 см

Ответ: 10 см

 Решение задачи по теме урока:

Задача арабского математика 11 века про птиц :

На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

Решение: (один учащийся объясняет решение на доске)

Итак, в треугольнике АDВ: АВ² =ВD² +АD²

АВ²=30² + х²

АВ²=900 + х²

в треугольнике АЕС: АС²= СЕ²+АЕ²

АС²=20² + (50 – х)²

АС²=400 + 2500 – 100х + х²

АС²=2900 – 100х + х².

Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одинаковое время.

Поэтому АВ² = АС²

900 + х² = 2900 – 100х +х²,

100х = 2000,

х = 20,

АD = 20.

Значит, рыба была на расстоянии 20 локтей от большой пальмы.

Ответ: 20 локтей.

Домашнее задание:

 № 256, 257, 260

ПРОВЕРЯЕТСЯ

№ 1

Найдите катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 10 см, а другой катет 8 см.

№ 2

Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см. Найдите гипотенузу.

№ 3

Найдите катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 10 см, а другой катет 6 см.

№ 4

Диагональ прямоугольника равна 17 см, а одна из его сторон 8 см. Найдите другую сторону прямоугольника.

№ 5

Найдите катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 5 см, а другой катет 3 см.

№ 6

Найдите катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 25 см, а другой катет 15 см.

№ 7

В равнобедренном треугольнике основание равно 24 см, а высота, проведенная к основанию равна 5 см. Найдите периметр треугольника.