ГИА. Углы в планиметрии

Планиметрия. Углы

Автор: Софронова Наталия Андреевна,

учитель математики высшей категории

МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»

Оршанского района Республики Марий Эл

Углы

Смежные углы С

Вертикальные углы

С

1 2

А О В

1 2

А 4 3 В

Сумма смежных углов равна 180 о

Вертикальные углы равны

Углы, полученные при пересечении двух прямых секущей

c

а

Накрест лежащие углы: 4 и 6, 3 и 5

Свойство углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6

Если а ǀǀ b, то

b

Накрест лежащие углы равны:

Соответственные углы: 1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8

Сумма односторонних углов равна 180 о :

Соответственные углы равны:

2

1

4

3

5

6

8

7

c

2

1

а

3

4

b

6

5

8

7

Углы, полученные при пересечении двух прямых секущей

c

Назовите

Накрест лежащие углы при прямых а и b и секущей с

а

Односторонние углы при прямых а и b и секущей d

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ

Соответственные углы при прямых а и b и секущей d

b

Накрест лежащие углы при прямых а и b и секущей d

Если при пересечении двух прямых секущей

• накрест лежащие углы равны,
• или сумма односторонних углов равна 180 о ,
• или соответственные углы равны

Односторонние углы при прямых а и b и секущей c

то прямые параллельны

Соответственные углы при прямых а и b и секущей c

d

2

9

10

1

4

3

12

11

6

5

13

14

8

7

16

15

c

1

2

а

3

4

b

6

5

8

7

Углы, полученные при пересечении двух прямых секущей

c

Найти угол 1

Найти угол 1

2

1

a

4

3

5

b

6

8

7

Рис.1

c

d

a

1

73 0

a

1

65 0

121 0

b

107 0

92 0

b

115 0

d

c

Рис.3

Рис.2

Углы, полученные при пересечении двух прямых секущей

А

Е

На рис. 4 DE – биссектриса угла ADF

Найдите углы треугольника ADE

78 0

102 0

48 0

F

D

Рис.4

В

B

C

АВ = ВС

Доказать: АС ǀǀ DЕ

D

Е

1

2

А

D

70 0

35 0

А

С

Доказать: ВС ǀǀ AD

Рис.6

Рис.5

Углы в треугольнике

Равносторонний

треугольник

Равнобедренный

треугольник

Сумма углов треугольника равна 180 0 .

В

В

В

О

А

С

А

С

С

А

В

Внешний угол

треугольника

• В треугольнике один угол равен 43°, а другой угол равен 98°. Найдите третий угол треугольника. В равнобедренном треугольнике угол при вершине, проти­волежащей основанию, равен 58°. Найдите угол при основании. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 79°. Найдите угол при вершине, противолежащей основанию. В треугольнике АВС внешний угол при вершине А равен 125°, а внешний угол при вершине В равен 59°. Найдите угол С.
• В треугольнике один угол равен 43°, а другой угол равен 98°. Найдите третий угол треугольника. В равнобедренном треугольнике угол при вершине, проти­волежащей основанию, равен 58°. Найдите угол при основании. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 79°. Найдите угол при вершине, противолежащей основанию. В треугольнике АВС внешний угол при вершине А равен 125°, а внешний угол при вершине В равен 59°. Найдите угол С.
• В треугольнике один угол равен 43°, а другой угол равен 98°. Найдите третий угол треугольника.
• В равнобедренном треугольнике угол при вершине, проти­волежащей основанию, равен 58°. Найдите угол при основании.
• В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 79°. Найдите угол при вершине, противолежащей основанию.
• В треугольнике АВС внешний угол при вершине А равен 125°, а внешний угол при вершине В равен 59°. Найдите угол С.

D

А

С

Углы в треугольнике

В

В треугольнике АВС проведена высота СН (рис.1), которая делит угол С на два угла, величины которых 47° и 71°. Найдите наименьший из двух оставшихся углов.

Н

О

С

А

рис.1

А

Два острых угла прямоугольного треугольника (рис.2) относятся как 4 : 5. Найдите больший острый угол.

В

С

рис.2

Углы в треугольнике

А

В прямоугольном треугольнике (рис.1) угол между биссектрисой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 13°. Найдите больший из двух острых углов треугольника.

Один из углов прямоугольного треугольника равен 15°. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла.

К (биссектриса)

М (медиана)

С

В

рис.1

А

Н (высота)

М (медиана)

В

В прямоугольном треугольнике (рис.2) угол между высотой и ме­дианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший из двух острых углов треугольника.

С

рис.2

Углы в треугольнике

В треугольнике АВС проведены биссектрисы АК и ВМ, ко­торые пересекаются в точке О. Угол АОВ равен 98°. Найдите внешний угол при вершине С.

В

К

О

О

М

Н

А

С

рис.1

В

В треугольнике АВС проведены высоты АН и ВК, которые пересекаются в точке О. Угол АОВ равен 104°. Найдите угол С.

Н

О

О

С

А

К

рис.2

Углы в треугольнике

В

19 0

В треугольнике АВС (рис.1) О — центр описанной окружности. Угол АВО равен 19°, а угол САО равен 38°. Найдите угол ВОС.

?

О

38 0

С

А

Рис.1

В

В равнобедренном треугольнике АВС (рис.2 ) О — центр описанной окружности. Угол АВС равен 62°. Найдите угол ВОС.

О

С

А

Рис.2

Углы в многоугольнике

Сумма углов n-угольника равна 180 0 ∙ (n - 2).

Сумма углов четырехугольника равна 360 0 .

• Три угла выпуклого четырёхугольника равны 57°, 86° и 115°. Найдите четвёртый угол.
• Четыре угла выпуклого пятиугольника равны 105°, 116°, 91° и 82°. Найдите пятый угол.
• Углы выпуклого четырехугольника относятся как 3:6:10:11. Найдите меньший угол.  
• В выпуклом четырехугольнике ABCD АВ = ВС, АD = DC, угол В = 77 0 , угол D = 141 0 . Найдите угол A.
• Углы A , B и C четырехугольника ABCD относятся как 3:8:7. Найдите угол D , если около данного четырехугольника можно описать окружность (рис.1).
• Четырёхугольник АВСD вписан в окружность. Известно, что угол В на 33° больше угла D. Найдите угол D (рис.1).

В

А

С

D

рис.1

Углы в четырехугольнике

В

А

рис.1

С

D

• Стороны четырёхугольника АВСD АВ, ВС, СD и АD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины 'которых равны соответственно 47°, 112°, 130°, 71°. Найдите угол В этого четырёхугольника. Углы А, В и D четырёхугольника АВСD относятся как 2:3:7. Найдите угол С, если около данного четырёхугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах. Сумма углов А и В вписанного четырёхугольника АВСD равна 204°, а сумма углов В и С равна 192°. Найдите угол В.
• Стороны четырёхугольника АВСD АВ, ВС, СD и АD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины 'которых равны соответственно 47°, 112°, 130°, 71°. Найдите угол В этого четырёхугольника. Углы А, В и D четырёхугольника АВСD относятся как 2:3:7. Найдите угол С, если около данного четырёхугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах. Сумма углов А и В вписанного четырёхугольника АВСD равна 204°, а сумма углов В и С равна 192°. Найдите угол В.
• Стороны четырёхугольника АВСD АВ, ВС, СD и АD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины 'которых равны соответственно 47°, 112°, 130°, 71°. Найдите угол В этого четырёхугольника.
• Углы А, В и D четырёхугольника АВСD относятся как 2:3:7. Найдите угол С, если около данного четырёхугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.
• Сумма углов А и В вписанного четырёхугольника АВСD равна 204°, а сумма углов В и С равна 192°. Найдите угол В.

Углы в параллелограмме

С

В

В

С

D

D

А

А

С

В

В

О

А

С

О

D

А

D

Углы в параллелограмме

С

В

С

В

рис 2

D

А

А

D

рис 1

• Один из углов параллелограмма равен 48°. Найдите остальные углы параллелограмма.
• Один из углов параллелограмма на 62° больше другого. Найдите больший из углов параллелограмма.
• Сумма двух углов параллелограмма равна 126 0 . Найдите углы параллелограмма.
• Один угол параллелограмма в девятнадцать раз больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
• Градусные меры двух углов параллелограмма относятся как 4 : 11. Найдите углы параллелограмма.
• В параллелограмме АВСD прямая АС делит угол при вершине А пополам. Найдите . Найдите угол, под которым пересекаются диагонали параллелограмма (рис 2).

Углы в ромбе

В

А

С

О

D

• Два угла ромба относятся как 4:6. Найдите меньший угол.
• Угол А ромба АВСD равен 100 0 . Найдите углы треугольника АОВ.
• Одна из диагоналей ромба равна его стороне. Найдите углы ромба

Углы в трапеции

С

В

В

С

D

D

А

А

Рис.1

Рис.2

• Углы А и С трапеции АВСD (рис.1) равны соответственно 70 0 и 100 0 . Найдите углы В и D. Сумма двух углов равнобедренной трапеции (рис.2) равна 158 0 . Найдите больший угол трапеции . Сумма двух углов равнобедренной трапеции (рис.2) равна 330 0 . Найдите меньший угол трапеции . Найдите меньший угол равнобедренной трапеции (рис.2) , если два ее угла относятся как 2 : 13.
• Углы А и С трапеции АВСD (рис.1) равны соответственно 70 0 и 100 0 . Найдите углы В и D. Сумма двух углов равнобедренной трапеции (рис.2) равна 158 0 . Найдите больший угол трапеции . Сумма двух углов равнобедренной трапеции (рис.2) равна 330 0 . Найдите меньший угол трапеции . Найдите меньший угол равнобедренной трапеции (рис.2) , если два ее угла относятся как 2 : 13.
• Углы А и С трапеции АВСD (рис.1) равны соответственно 70 0 и 100 0 . Найдите углы В и D.
• Сумма двух углов равнобедренной трапеции (рис.2) равна 158 0 . Найдите больший угол трапеции .
• Сумма двух углов равнобедренной трапеции (рис.2) равна 330 0 . Найдите меньший угол трапеции .
• Найдите меньший угол равнобедренной трапеции (рис.2) , если два ее угла относятся как 2 : 13.

Углы в трапеции

С

К

В

В

С

D

D

А

А

Рис.1

Рис.2

• В трапеции АВСД (рис.1) диагональ АС делит угол А пополам, а АС = АД. Найдите угол Д, если угол ВАС равен 42°. Угол А равнобедренной трапеции АВСО с основаниями ВС и АО равен 53°. Найдите сумму углов В и С. Угол А равнобедренной трапеции АВСО с основаниями ВС и АД равен 38°. Из точки Д проведена прямая, которая пересекает прямую ВС в точке К и СД = ДК. Найдите угол СДК.
• В трапеции АВСД (рис.1) диагональ АС делит угол А пополам, а АС = АД. Найдите угол Д, если угол ВАС равен 42°. Угол А равнобедренной трапеции АВСО с основаниями ВС и АО равен 53°. Найдите сумму углов В и С. Угол А равнобедренной трапеции АВСО с основаниями ВС и АД равен 38°. Из точки Д проведена прямая, которая пересекает прямую ВС в точке К и СД = ДК. Найдите угол СДК.
• В трапеции АВСД (рис.1) диагональ АС делит угол А пополам, а АС = АД. Найдите угол Д, если угол ВАС равен 42°.
• Угол А равнобедренной трапеции АВСО с основаниями ВС и АО равен 53°. Найдите сумму углов В и С.
• Угол А равнобедренной трапеции АВСО с основаниями ВС и АД равен 38°. Из точки Д проведена прямая, которая пересекает прямую ВС в точке К и СД = ДК. Найдите угол СДК.

Углы в окружности

Вписанный угол

Центральный угол

С

О

О

В

В

А

А

Задача: Градусная мера дуги АВ равна 130 о .

Задача: Градусная мера дуги АВ равна 130 о .

Найдите градусную меру углов АОВ.

Найдите градусную меру углов АСВ

Задача: Градусная мера угла АСВ равна 50 о .

Найдите градусную меру дуги АВ

Углы в окружности

О

• Хорда АВ стягивает дугу окружности в 47°. Касательные к окружности, проведённые в точках А и В, пересекаются в точке К (рис.1). Найдите угол АКВ. Найдите острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности (рис.2) . Найдите центральный угол АОВ, если он на 67° больше вписанного угла АСВ, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в гра­дусах (рис.2). АС и ВD — диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 74°. Найдите угол АОD (рис.3).
• Хорда АВ стягивает дугу окружности в 47°. Касательные к окружности, проведённые в точках А и В, пересекаются в точке К (рис.1). Найдите угол АКВ. Найдите острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности (рис.2) . Найдите центральный угол АОВ, если он на 67° больше вписанного угла АСВ, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в гра­дусах (рис.2). АС и ВD — диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 74°. Найдите угол АОD (рис.3).
• Хорда АВ стягивает дугу окружности в 47°. Касательные к окружности, проведённые в точках А и В, пересекаются в точке К (рис.1). Найдите угол АКВ.
• Найдите острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности (рис.2) .
• Найдите центральный угол АОВ, если он на 67° больше вписанного угла АСВ, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в гра­дусах (рис.2).
• АС и ВD — диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 74°. Найдите угол АОD (рис.3).

В

А

Рис.1

К

С

С

D

О

О

В

А

В

А

Рис.2

Рис.3

Четырехугольники и окружности

В

В

С

С

А

А

D

D

В четырехугольник можно вписать окружность, если:

Около четырехугольника можно описать окружность, если:

Задача. В четырёхугольнике АВСD АВ = 6, ВС = 9, СD = 14. Найдите АD, если известно, что в четырёхугольник АВСD можно вписать окружность.

Задача. Четырёхугольник АВСD вписан в окружность. Известно, что угол В равен 83° , угол А меньше угла D на 20 0 . Найдите угол С .

Углы в реальной математике

• Колесо имеет 15 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы. Какой угол (в градусах) описывает часовая стрелка за 4 часа? Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 25 минут? Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 5:30?
• Колесо имеет 15 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы. Какой угол (в градусах) описывает часовая стрелка за 4 часа? Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 25 минут? Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 5:30?
• Колесо имеет 15 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.
• Какой угол (в градусах) описывает часовая стрелка за 4 часа?
• Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 25 минут?
• Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 5:30?