Электронное учебное пособие "Матрицы и определители"

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЁЖНОЙ ПОЛИТИКИ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ

«Воронежский техникум строительных технологий»

(ГБПОУ ВО «ВТСТ»)

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

по дисциплине

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Воронеж

2019

Рассмотрено на заседании ПЦК математических дисциплин

Протокол № _____ от _____________

Председатель ПЦК _______ Болычева Т.В.

Разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования для специальностей 09.02.04,

2 курса

Настоящее пособие предназначено для студентов 2 курса специальностей «Информационные системы (по отраслям)» и «Прикладная информатика (по отраслям)» и полностью соответствует программе по математике для СПО. Оно может быть использовано студентами для самостоятельного изучения раздела программы, а также преподавателем на уроке при изучении нового материала, для домашнего задания, при повторении и подготовке к зачётной работе

Пособие включает в себя, помимо задач, теоретические сведения, необходимые для решения задач раздела «Линейная алгебра», подробные решения типовых примеров, вопросы для самопроверки, а также упражнения для самостоятельного решения и примерный вариант контрольной работы по теме.

Автор - составитель: Сафонова Елена Артуровна, преподаватель ГБПОУ ВО

«Воронежский техникум строительных технологий»

Оглавление

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение………………………………………………………………………………………4

2. Неопределенный интеграл и его свойства……………………………………………. 5

3. Упражнения к …………………………………………………………………………... .7

4. § 2. Нахождение неопределенных интегралов способом непосредственного……….. интегрирования………………………………………………………………………………8

5. § 3. Выделение одной первообразной...............................................................................10

6. § 4. Интегрирование способом подстановки…………………………………………....10

7. § 5. Определенный интеграл.…………………………………….......................................12

8. 6. Вычисление площадей криволинейных фигур………………………………………..14

9. § 7. Вычисление объёма тела вращения.……………………………................................16

10. Применение интеграла к решению технических задач.

8. Вычисление пути, пройденного телом.…………………………………………….17

11. § 9. Вычисление работы, затраченной на растяжение пружины…………………....18

12. § 10. Сила давления жидкости на вертикально расположенную пластинку…….18

13. Вопросы к зачёту по теме………………………………………………………………….19

14. Задачи на повторение………………………………………………………………………20

15. Примерный вариант контрольной работы по теме «Интеграл и его приложения»……22

16. Литература………………………………………………………………………

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Определение матрицы. Действия над матрицами.

1. Матрицы

Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк n столбцов. Для записи матрицы используется следующее обозначение:

Сокращённо прямоугольную матрицу типа можно записать так: A = ( ). Любой элемент матрицы обозначается , где i - номер строки, j - номер столбца.

2. Виды матриц

Если число строк матрицы не равно числу столбцов , то матрица называется прямоугольной. Таковы, например, матрицы:

- матрица типа , - матрица типа

Если число строк равно числу столбцов то матрица называется квадратной. Например,

Число строк или столбцов квадратной матрицы называется её порядком. Например, порядок квадратной матрицы равен 2.

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n: .

Диагональ, содержащую элементы , будем называть главной, а диагональ, содержащую элементы - побочной.

Среди квадратных матриц выделим матрицы, у которых не равны нулю только элементы, находящиеся на главной диагонали, например: . Такие

матрицы называются диагональными.

Если у диагональной матрицы все числа главной диагонали равны между собой, то такая диагональная матрица называется скалярной. Если в скалярной матрице все числа главной диагонали равны единице, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е:

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается так:

В прямоугольной матрице типа возможен случай, когда При этом получается матрица-строка: . В случае, когда получаем матрицу-столбец: .

3. Равенство матриц

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковое число строк m и одинаковое число столбцов n и их соответствующие элементы равны:

Так, матрицы

и

равны, если

Равные матрицы обязательно имеют одно и то же строение: либо обе они прямоугольные типа , либо квадратные одного и того же порядка n.

Если в матрице типа переставить строки со столбцами, получим матрицу типа , которую называют транспонированной и обозначают .

Например,

и

4. Линейные операции над матрицами

Суммой матриц А и В будем называть такую матрицу, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В .

Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковое строение : или прямоугольные типа m×n, или квадратные одинакового порядка.
1. Сложить матрицы А и В, если

а) , .

Р е ш е н и е. Здесь А и В – квадратные матрицы второго порядка. Складывая их соответствующие элементы, получим

б) ,

Р е ш е н и е. Здесь А и В – прямоугольные матрицы типа . Складываем их соответствующие элементы:

в) , .

Р е ш е н и е. Эти прямоугольные матрицы сложить нельзя, так как есть матрица типа , а можно складывать только прямоугольные матрицы одного типа.

2 - 4. Сложить матрицы А и В:

2. , .

3. , .

4. ,

На сложение матриц распространяются важнейшие свойства чисел:

1) переместительный закон: где - либо квадратные матрицы одного порядка n, либо прямоугольные матрицы одного типа

2) сочетательный закон сложения , где - либо квадратные матрицы одного порядка n, либо прямоугольные матрицы одного типа .

Произведением матрицы на число k называется такая матрица kA, каждый элемент которой равен , то есть чтобы умножить матрицу на число нужно все элементы матрицы умножить на это число.
5. Умножить матрицу на число .

Р е ш е н и е. Умножая каждый элемент матрицы А на 3, получим

3A = = .

6. Найти линейную комбинацию если

,

Р е ш е н и е. Сначала находим произведения А на и на

.

Теперь найдём сумму полученных матриц:

.

7 - 9. Вычислить линейные комбинации матриц:

7. если

8. , если , .

9. , если

5. Умножение матриц

Рассмотрим умножение квадратных матриц второго порядка. Пусть

А = и В =

Произведением этих матриц называется матрица

.

10. Найти произведение матриц A и В, если

Р е ш е н и е.

11 – 13. Найти произведения матриц:

11.

12.

13. .

Правило нахождения матрицы – произведения распространяется на умножение и прямоугольных матриц.

14.

Для прямоугольных матриц справедливы следующие правила:

1) умножение матрицы А на матрицу В имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В;

2) в результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк в первой матрице, и столько столбцов, сколько столбцов во второй матрице.

15 – 18. Найти произведение АВ:

15.

16.

17.

18. .

19. Вычислить где .

20. Найти где

.

21. Найти если

22. Найти AE, если

6. Свойства умножения матриц

1) Произведение двух матриц не подчиняется переместительному закону, то есть .

2) Сочетательный закон:

3) Распределительный закон

Известно, что произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц это не всегда справедливо, т.е. возможен случай, когда произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице. Например, если

то

Определитель матрицы.

Свойства определителей и их вычисление

1. Определитель матрицы. Вычисление определителей второго и третьего порядков

Пусть дана квадратная матрица второго порядка: .

Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число

Определитель второго порядка записывается так:

Э лементы образуют главную диагональ определителя, – побочную. Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой: то есть из произведения элементов главной диагонали вычитается произведение элементов побочной.

Пример 1. Вычислить определитель второго порядка:

.

23. Вычислить определители второго порядка:

а) б)

Р е ш е н и е. а)

б)

24 - 30 . Вычислить определители:

24. 25. 26. 27. ;

28. 29. 30.

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка .

Определителем третьего порядка, соответствующим данной матрице, называется число ,

Определитель третьего порядка записывается так:

При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников. Это правило проиллюстрируем по схеме:

Определитель 3-го порядка представляет собой алгебраическую сумму шести произведений, причем три произведения берутся со знаком „ + “ и три – со знаком „ – “. Со знаком „ + “ берется произведение элементов, стоящих на главной диагонали, а также произведения элементов, стоящих на параллели к главной диагонали, с добавлением третьего множителя из противоположного угла таблицы. Со знаком „ – “ берется произведение элементов, стоящих на побочной диагонали, а также произведения элементов, стоящих на параллели к побочной диагонали, с добавлением третьего множителя из противоположного угла таблицы.

Пример 2. Вычислить определитель третьего порядка.

Основные свойства определителей.

1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами (т.е. транспонировать), и наоборот.

Пример:

Это свойство называется свойством равноправности строк и столбцов.

2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель меняет знак на противоположный:

Пример:

Поменяв местами столбцы, получим

3. Определитель, имеющий две одинаковых строки (или столбца) равен нулю.

Пример:

4. Общий множитель элементов какого-либо строки (или столбца) определителя можно вынести за знак определителя:

.

Пример:

5. Если все элементы некоторой строки (или столбца) пропорциональны соответствующим элементам другой строки (или столбца), то такой определитель равен 0.

Пример:

6. Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменит своей величины:

7. Треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (или ниже) главной диагонали, - нули, равен произведению элементов главной диагонали:

3. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя

Минором элемента определителя D = | |, называют такой новый определитель, который получается из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, содержащий данный элемент.

Например, минор М₂₃, соответствующий элементу определителя

получается, если вычеркнуть из определителя D вторую строку и третий столбец, т.е.

31. Записать все миноры определителя:

Алгебраическим дополнением элемента определителя D называется минор этого элемента, взятый со знаком . Алгебраическое дополнение элемента обозначается .

Таким образом, ^.

Пример. Вычислить алгебраические дополнения элементов определителя D.

2. Вычисление определителя разложением по элементам строки или столбца

Теорема. Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) определителя D на их алгебраические дополнения равна этому определителю, т.е. D = + + … + или D = ^. … .

Пример. Вычислить определитель разложением:

а) по элементам 2-ой строки; б) по элементам 1-го столбца.

Р е ш е н и е.

б)

1. Определение обратной матрицы

Квадратная матрица называется вырожденной, если её определитель равен нулю, и невырожденной, если её определитель не равен нулю.

Если – квадратная матрица, то обратной по отношению к называется матрица, которая, будучи умноженной на , даёт единичную матрицу.

Обратная матрица обозначается через и по определению .

Если обратная матрица существует, то матрица называется обратимой. Операция нахождения обратной матрицы при условии, что она существует называется обращением матрицы.

2. Схема вычисления обратных матриц второго и третьего порядков

1. Найти определитель матрицы .

2. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы и записать новую матрицу.

3. Поменять местами столбцы полученной матрицы (транспонировать).

4. Умножить полученную матрицу на .

Пример 1. Найти матрицу, обратную матрице

Решение. 1. Найдём определитель матрицы

.

Так как , то данная матрица является невырожденной и, следовательно, существует обратная матрица.

2. Найдём алгебраические дополнения каждого элемента:

Тогда получим матрицу .

3. Транспонируем эту матрицу: .

4. Умножим полученную матрицу на , т.е.на :

Проверим полученный ответ. Выполнив умножение , находим

Пример 2. Найти матрицу, обратную матрице

Р е ш е н и е. 1. Находим определитель матрицы

Поскольку , матрица является невырожденной и, значит, можно найти матрицу .

2. Найдём алгебраические дополнения всех элементов матрицы .

.

Запишем новую матрицу: .

3. Транспонируем полученную матрицу:

4. Умножив полученную матрицу на , находим

.

Проверим полученный ответ. Имеем

3. Решение матричных уравнений

Равенство , где

называется простейшим матричным уравнением.

Умножив обе части этого уравнения на обратную матрицу , получим

Чтобы решить матричное уравнение нужно:

1. Найти обратную матрицу А^-1

2. Найти произведение обратной матрицы А^-1 на матрицу столбец свободных членов В, т.е.

3. Пользуясь определением равных матриц записать ответ.

Пример. Решить матричное уравнение .

Р е ш е н и е. 1. Будем искать обратную матрицу .

Найдём определитель матрицы

Вычислим алгебраические дополнения каждого элемента матрицы :

Запишем новую матрицу и транспонируем её

.

Учитывая, что , запишем обратную матрицу

2. Умножим матрицу на матрицу

.

3. Так как , то по определению равных матриц