Учебно-исследовательский проект "Свойства числа Шахерезады"

Муниципальный конкурс учебно-исследовательских работ и проектов

«Мир науки глазами детей»

Свойства числа Шахерезады

Выполнила Кальсина Валерия Владимировна,

учащаяся 6 класса МБОУ СОШ №17

имени маршала Г.К.Жукова

п.Советский МО Ейский район

Руководитель Ерофеева Татьяна Сергеевна,

учитель математики МБОУ СОШ №17

имени маршала Г.К.Жукова

п.Советский МО Ейский район

п.Советский

2018 / 2019 уч.г.

Содержание

Введение…………………………………………………………...стр.3

I.1. Числа: определение, история появления, виды чисел…….…...стр.4

I.2. Виды натуральных чисел……………………………………..….стр.5

II.1. Свойства числа 1001……………………………….……….……стр.7

II.2. Фокусы и задачи с применением свойств числа Шахерезады..стр.8

Заключение ……………………………………………...…………стр.11

Список литературы…………………………………………………стр.11

КАЛЬСИНА Валерия Владимировна

Краснодарский край, Ейский район, посёлок Советский

МБОУ средняя общеобразовательная школа №17 имени маршала

Г. К. Жукова, 6 класс, 12 лет

СВОЙСТВА ЧИСЛА ШАХЕРЕЗАДЫ

Научный руководитель: Ерофеева Татьяна Сергеевна, учитель математики МБОУ СОШ №17 имени маршала Г.К.Жукова

Введение

Наша жизнь наполнена цифрами и числами: номер школы, магазинный ценник, почтовый индекс, даты в календаре, сколько дней осталось до каникул?.. Можно ли представить мир без чисел? Без чисел ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберёшь. «Число одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения».[1]  Люди так часто пользуются числами и счетом, что трудно даже представить себе, что они существовали не всегда, а были изобретены человеком. Изначально они использовались только для того, чтобы что-то подсчитать, измерить, т.е. помогали именно в том, что было нужно в практической деятельности людей. Потом число становится частью математики, и история возникновения и развития натуральных чисел обуславливается уже наукой.

Изучая мир чисел, можно убедиться в том, что каждое из чисел неповторимо, обладает определенными свойствами.

Цель данного исследования: изучить свойства числа 1001, определить его значение в математике.

По преданию тысячу и одну ночь использовала красавица Шахерезада, жена персидского царя, стараясь избежать смерти. Число 1001 в честь этой умной и красивой женщины назвали числом Шахерезады.

Задачи:

1. Изучить различные виды натуральных чисел;

2. провести исследование свойств числа 1001;

3. решить задачи, связанные с числом Шахерезады;

4. проверить свойства числа 1001 на примерах;

5. научиться проводить фокусы с числом Шахерезады;

6. сделать выводы о свойствах числа 1001;

Для достижения цели была изучена учебная, справочная, научно-популярная литература, использованы ресурсы Интернета.

Актуальность исследования. В курсе математики 6 класса достаточно много места уделяется изучению свойств чисел, делимости чисел. Этот материал в дальнейшем используется в контрольно-измерительных материалах государственной итоговой аттестации в 9 и 11 классах. Поэтому необходимо осознанно усваивать знания о числе. Заявленная тема выходит за рамки школьной программы. Развитие и углубление знаний о числе имеет реальное перспективное продолжение.

I.1. Числа: определение, история появления, виды чисел.

Понятие числа возникло в глубокой древности из практической потребности людей и развивалось в процессе развития человечества. Область человеческой деятельности расширялась и соответственно, возрастала потребность в количественном описании и исследовании. Сначала понятие числа определялось теми потребностями счёта и измерения, которые возникали в практической деятельности человека. Позже число стало основным понятием математики, и потребности этой науки определили дальнейшее развитие этого понятия.

Число́ – основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций.[2] Среди всего множества чисел выделяют следующие его виды:

1. Натуральные – применяются при счёте предметов

N = {1; 2; 3;…}

1. Целые числа, получаемые объединением натуральных чисел с числами, им противоположными, и нулём

1. Рациональные числа (Q) - числа, которые можно представить в виде дроби , где m – целое число, n– натуральное

2. Действительные (вещественные) числа (R) – все положительные, отрицательные числа и нуль. Кроме рациональных чисел, R включает множество иррациональных чисел.

3. Комплексные числа (С)  могут быть записаны в виде z = x + iy, где i – так называемая мнимая единица, для которой выполняется равенство i² = -1. Комплексные числа используются при решении задач электротехники, гидродинамики, картографии, квантовой механики, теории колебаний и т.д.[2]

I.2. Виды натуральных чисел.

Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число.[3]

Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей.[3]

Античные математики считали очень важным рассматривать вместе с каждым числом все его делители, отличные от самого этого числа. Такие делители называют собственными. Числа, имеющие много собственных делителей, назывались abundant (избыточными), а имеющие мало, – defizient(недостаточными). При этом в качестве меры использовалось не количество, а сумма собственных делителей, которую сравнивали с самим числом.[4, с.29] Так, например, для 10 сумма делителей

1 + 2 + 5 = 8 ,

так что делителей «недостаток».

Для 12 же 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 12, т.е. делителей «избыток».

Поэтому 10 – «недостаточное», а 12 – «избыточное» число.

К недостаточным числам относятся все простые числа.

Встречается и «пограничный» случай, когда сумма собственных делителей равна самому числу. Например, для 6

1 + 2 + 3 = 6.

То же для 28:

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Такие числа древние греки особенно ценили и назвали их совершенными.

Совершенные числа - натуральные числа, равные сумме всех своих собственных делителей (то есть всех положительных делителей, отличных от самого числа). Например: Д(6): 1;2;3. 3+2+1=6; Д(28): 1;2;4;7;14. 1+2+4+7+14=28. По мере того, как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Неизвестно, бесконечно ли множество всех совершенных чисел.

Совершенные числа образуют последовательность:

6, 28, 496, 8128, 33 550 336, 8 589 869 056, 137 438 691 328,…

Дружественные числа - два различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу.[5, с.44] Например:

Делители числа 220 это 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110.

Сумма этих делителей равна 284.

Делители числа 284 это 1, 2, 4, 71 и 142, сумма которых равна 220.

Дружественные числа были открыты последователями Пифагора, которые, однако, знали только одну пару дружественных чисел — 220 и 284.

Числа-близнецы - пары простых чисел, отличающихся на 2.

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619),..

Числа-великаны – очень большие числа. В повседневной практике редко используют числа, большие миллиона, равного 10⁶. Ради экономии и единственности значения их чаще обозначают и произносят как степень числа 10. Существует числовой гигант – гугол, равный 10¹⁰⁰. Предложил его в 70-х гг. XX века американский математик Кастнер, назвав «самым большим числом».[6, с.51]

Автоморфные числа - числа, десятичная запись квадрата которых оканчивается цифрами самого этого числа. Например, 25² = 625;  625² = 390 625;  9 376² = 87 909 376; 890 625² = 793 212 890 625. [2]

Триморфные числа - числа, десятичная запись куба которых оканчивается цифрами самого этого числа. Например, 4³ = 64, 24³ = 13 824, 249³ = 15 438 249.

Фигурные числа - общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам. Предположительно, с понятием фигурного числа связано выражение «возвести число в квадрат или в куб».[2], [3,с.41]

Числа-палиндромы - это числа, которые одинаково читаются слева направо и справа налево. Например: 55, 101, 212,…

Число 1001 относится к числам-палиндромам. Квадрат этого числа: 1001² = 1002001 и куб: 1001³ = 1003003001 так же являются палиндромами. А какими же ещё интересными свойствами обладает это число?

II.1. Свойства числа 1001

1. Натуральное число, так как оно служит для счёта предметов.

2. Нечетное число, так как оканчивается нечетной цифрой.

3. Составное число, так как у числа 1001 более двух делителей: Д(1001): 1; 7; 11; 13; 77; 91; 143; 1001.

4. Несовершенное число (собственные делители 1001: 1; 7; 11; 13; 77; 91,143, а 1+7+11+13+77+91+ 143=343≠1001).

5. Это самое маленькое натуральное четырёхзначное число, которое можно представить в виде суммы кубов двух натуральных чисел: 1001=10³+1³ .

6. Если считать, что год равен 52-м неделям, то 1001 ночь состоит из 1+1+1/2+1/4 года:

52 × 7 + 52 × 7 + 26 ×7 + 13 × 7 = 1001

1. Оно делится без остатка и на 7, и на 11 и на 13 - на три последовательных простых числа, произведением которых оно и является: 1001 = 7 × 11 × 13.

2. Сфеническое число – это натуральное число, равное произведению трёх различных простых чисел. Число Шахерезады является сфеническим. Это следует из предыдущего свойства.[7]

3. Число 1001 не является автоморфным: 1001² = 1002001; оно не является триморфным.

4. Если умножить на 1001 любое трехзначное число, это самое трехзначное число повторится дважды: 552×1001=552552. А значит, будет делиться и на 7, и на 11, и на13, и на само себя.

II.2. Фокусы и задачи с применением свойств числа Шахерезады.

Числовой фокус 1. Задумайте любое трехзначное число, умножьте его на 37, потом на 27. К полученному шестизначному числу прибавьте удвоенное первоначальное число. Покажите мне результат, и я угадаю задуманное трехзначное число.[8, с.34]

Секрет фокуса. Пусть задумано трехзначное число =100х + 10y + z, где x, y, z – цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Выполним указанные действия:

(100х + 10у + z) × 37 × 27 = (100х + 10у + z)× 999;

99900х + 9990у + z + 2(100х + 10у +z) = 100100х + 10010у + 1001z = 1001 ×(100x + 10y + z). Достаточно разделить результат на 1001, чтобы получилось задуманное трехзначное число.

Числовой фокус 2. «Напишите, не показывая мне, любое трехзначное число. Затем припишите к нему такое же число (получится шестизначное число). Теперь разделите полученное шестизначное число на 11, затем на 13 и, наконец, на 7. Покажите мне числа, которые у вас получились, и я сразу скажу, какие числа вы загадали.[9]

Проследим за тем, что было проделано с задуманным числом. Прежде всего к нему приписали взятое трехзначное число еще раз. Это то же самое, что приписать три нуля и прибавить затем первоначальное число; например, 872872 = 872000 + 872.

Теперь ясно, что было проделано с числом: его увеличили в 1000 раз и, кроме того, прибавили его самого. Другими словами, умножили число на 1001. Попробуем разложить число 1001 на простые множители. После небольших вычислений у нас получилось: 1001 = 7 х 11 х 13. Итак, первоначально задуманное число сначала умножили, а потом разделили на 1001. Так что не стоит удивляться, что в результате получилось то же самое число».

Числовой фокус 3 «Угадаю число». На закрытой доске написано число 13. Попросить всех задумать любое трёхзначное число, приписать к нему это же число. Затем, разделить получившееся шестизначное число на 7, результат разделить на задуманное трехзначное число, а затем на 11. Открыть доску и показать, что в результате у всех получился один и тот же ответ- число 13.

Задача. В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвертой, вторая – с пятой, третья – с шестой. Докажите, что это число кратно 7, 11, 13.[10]

Решение. Запишем число в виде =100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c. Приведем подобные слагаемые, вынесем общий множитель за скобки, получим 100100a + 10010b + 1000c = 1001 (100a + 10b + c). Так как один из множителей равен 1001, то число, записанное в таком виде, делится и на 7, и на 11, и на 13.

Задача. Найдите натуральное число n, если n – 1 делится на 47, а 1001 делится на n + 1. (Ответ: 142)

Решение. Выпишем все делители числа 1001: 1, 7, 11, 13, 77, 91, 143, 1001.Число 1001 должно делиться на (п+1). Если числа 1, 7, 11, 13, 77, 91 уменьшить на 2, то ни одно из них не разделится на 47. Рассмотрим число 143. 143 – 2= 141. 141:47 = 3. Искомое число – 142.

п = 142; п – 1 = 141; п + 1 = 143.

Задача. Известно, что n-1 делится на 15, а 1001 делится на n+1. Найдите n.[11]

Решение. Все делители числа 1001: 1, 7, 11, 13, 77, 91, 143, 1001. Предположим, что это числа n+1. Тогда числа n-1 это -1, 5, 9, 11, 75, 89, 141, 999. Из всех этих чисел на 15 делится 75. Значит, n=76.

Задача. На доске записано число 1001. Двое играют в такую игру. За один ход нужно стереть записанное на доске число, а вместо него записать разность этого числа и любого его делителя. Ходы игроки делают поочередно. Проигрывает тот игрок, после хода которого на доске будет записано число 0. Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш?

Заключение

Данная работа была выполнена с целью исследования свойств числа 1001, которое называют числом Шахерезады.

В ходе исследования было выявлено, что 1001 является натуральным, нечетным, составным, несовершенным, фигурным (пятиугольным), сфеническим числом. Это так же число-палиндром. Очень важно, что его можно представить в виде 1001=7×11×13, что позволяет решить некоторые олимпиадные задачи и разгадать фокусы.

Появился новый блок знаний, с помощью которых можно решать задачи повышенной сложности. Эти знания понадобятся на занятиях математического кружка, при подготовке к олимпиадам и при подготовке к ГИА по математике.

Список литературы:

1. Савин А.П.. Энциклопедический словарь юного математика.- М.: Педагогика, 1989

2. Число/ Wikipedia.org

3. Виленкин Н.Я. и др. Математика, 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2013

4. Шибасов Л.П. От единицы до бесконечности. – М.: Дрофа, 2006

5. Оре О. Приглашение в теорию чисел. – М.: Наука, 1980

6. Устюгов И.И. Математика и её приложения. – Краснодар, 1989

7. Сфеническое число/ Wikipedia.org

8. Кордемский Б.А., Ахадов А.А.. Удивительный мир чисел. – М.: Просвещение, 1986

9. Перельман Я.И. Живая математика.- М.: Наука, 1968

10. Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. – М.: Айрис-пресс, 2006

11. Znanija.com