Цветы из сада геометрии. Творческая работа на тему "Многогранники".

(фантазия на тему «МНОГОГРАННИКИ»)

«В огромном саду геометрии каждый найдет букет себе по вкусу.»

Д. Гильберт

ПЛАН ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ

• Определение правильного выпуклого многогранника.
• Платоновы тела, их виды.
• Формула Эйлера для выпуклых многогранников.
• Формулы для вычисления объема и площади поверхности правильных многогранников.
• Использование формы правильных многогранников природой и человеком.
• Звездчатые многогранники, их виды.
• Архимедовы тела, их виды.

• Букет Пуансо

• Букет Платона

• Букет Архимеда

ТЕТРАЭДР

КУБ

ОКТАЭДР

ДОДЕКАЭДР

ИКАСАЭДР

ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА – правильные выпуклые многогранники .

ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА

ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК- выпуклый многогранник, грани которого являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине которого сходится одно и то же число ребер.

Кол-во

ребер

Тетраэдр

6

Куб

Кол-во

вершин

Кол-во

граней

12

4

Октаэдр

Вид

грани

4

8

12

Додекаэдр

30

6

Икосаэдр

6

20

8

30

12

12

20

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ

ОБЪЕМ

Тетраэдр

Куб

ПЛОЩАДЬ

ПОВЕРХНОСТИ

V= ( a ³√2 ) /12

V= a ³

Октаэдр

S= a²√3

Додекаэдр

V= ( a ³√2 ) / 3

S= 6 a²

V= a ³ (15+7 √ 5) / 4

Икосаэдр

S= 2 a²√3

V= 5 a ³ (3+ √ 5) /12

S= 3 a²√ 5(5+2 √ 5)

S= 5 a²√3

ТЕТРАЭДР

Тетраэдр – представитель платоновых тел, то есть правильных выпуклых многогранников.

Поверхность тетраэдра состоит из четырех равносторонних треугольников, сходящихся в каждой вершине по три.

КУБ (ГЕКСАЭДР)

Куб или гексаэдр – представитель платоновых тел, то есть правильных выпуклых многогранников.

Куб имеет шесть квадратных граней, сходящихся в каждой вершине по три.

ОКТАЭДР

Октаэдр – представитель семейства платоновых тел, то есть правильных выпуклых многогранников.

Октаэдр имеет восемь треугольных граней, сходящихся в каждой вершине по четыре.

ДОДЕКАЭДР

Додекаэдр – представитель

семейства платоновых тел.

Додекаэдр имеет двенадцать пятиугольных граней, сходящихся в вершинах по три.

Этот многогранник

замечателен своими тремя

звездчатыми формами.

ИКОСАЭДР

Икосаэдр – представитель платоновых тел.

Поверхность икосаэдра состоит из двадцати равносторонних треугольников, сходящихся в каждой вершине по пять.

Икосаэдр имеет одну звездчатую форму.

Леонард Эйлер (1707 – 1783 гг.) немецкий математик и физик

Формула Эйлера

(для правильных многогранников):

Г + В – Р = 2

Использование формы правильных многогранников

ПРИРОДА

ЧЕЛОВЕК

КРИСТАЛЛЫ

АРХИТЕКТУРА

БЫТОВЫЕ ПРЕДМЕТЫ

ВИРУСЫ

ГОЛОВОЛОМКИ

УПАКОВКИ

Задача №1

• Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды
• 36√2 кв. см. Найдите длину апофемы, если ребро основания пирамиды равно 6 см.

Задача №2

• Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см, а сторона основания 14 см. Найдите длину бокового ребра пирамиды.

Платон 428 (427) – 348 (347) гг. до нашей эры

• Древнегреческий философ-идеалист.
• В учении Платона правильные многогранники играли важную роль.
• Тетраэдр символизировал огонь, куб – землю, октаэдр – воздух, икосаэдр – воду, а додекаэдр – Вселенную.

БОЛЬШОЙ

ИКОСАЭДР

МАЛЫЙ ЗВЕЗДЧАТЫЙ ДОДЕКАЭДР

БОЛЬШОЙ ДОДЕКАЭДР

БОЛЬШОЙ

ЗВЕЗДЧАТЫЙ

ДОДЕКАЭДР

ТЕЛА ПУАНСО-КЕПЛЕРА – звездчатые многогранники (правильные невыпуклые многогранники).

ТЕЛА ПУАНСО

• Французский математик Пуансо в 1810 году построил четыре правильных звездчатых многогранника: малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр.
• Два из них знал И. Кеплер (1571 – 1630 гг.).
• В 1812 году французский математик О. Коши доказал, что кроме пяти «платоновых тел» и четырех «тел Пуансо» больше нет правильных многогранников.

БОЛЬШОЙ ИКОСАЭДР

Грани большого икосаэдра - пересекающиеся треугольники.

Вершины большого икосаэдра совпадают с вершинами описанного икосаэдра.

Большой икосаэдр был впервые описан Луи Пуансо в 1809 г.

МАЛЫЙ ЗВЕЗДЧАТЫЙ ДОДЕКАЭДР

Грани малого звездчатого додекаэдра - пентаграммы, как и у большого звездчатого додекаэдра. У каждой вершины соединяются пять граней. Вершины малого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного икосаэдра.

Малый звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г .

БОЛЬШОЙ ДОДЕКАЭДР

Грани большого додекаэдра - пересекающиеся пятиугольники.

Вершины большого додекаэдра совпадают с вершинами описанного икосаэдра.

Большой додекаэдр был впервые описан Луи Пуансо в 1809 г.

БОЛЬШОЙ ЗВЕЗДЧАТЫЙ ДОДЕКАЭДР

Грани большого звездчатого додекаэдра - пентаграмы, как и у малого звездчатого додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани.

Вершины большого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра.

Большой звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г.

ГРАВЮРА ГОЛАНДСКОГО ХУДОЖНИКА МАУРИЦА КОРНЕЛИУСА ЭШЕРА «СИЛЫ ГРАВИТАЦИИ»

Иоганн Кеплер (1571 – 1630 гг.)

• Немецкий астроном.
• В 1619 году описал два звездчатых многогранника: большой звездчатый додекаэдр и малый звездчатый додекаэдр
• Занимался теорией полуправильных выпуклых многогранников

ТЕЛА АРХИМЕДА – полуправильные однородные выпуклые многогранники

• Архимедовыми телами называются выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани - правильные многоугольники нескольких типов (этим они отличаются от платоновых тел).
• Множество архимедовых тел можно разбить на пять групп.

Первую группу составляют пять многогранников, которые получаются из пяти платоновых тел в результате их усечения:

усеченный тетраэдр,

усеченный куб,

усеченный октаэдр,

усеченный додекаэдр,

усеченный икосаэдр.

Вторую группу составляют два тела, называемых квазиправильными многогранниками. Это название означает, что гранями этого многогранника являются правильные многоугольники всего двух типов, причем каждая грань одного типа окружена гранями другого типа. Эти два тела называются

кубоктаэдр и

икосододекаэдр.

В третью группу входят

ромбокубоктаэдр,

который иногда называют малым ромбокубоктаэдром и

ромбоикосододекаэдр,

называемый также малым ромбоикосододекаэдром. В эту же группу входят

ромбоусеченный кубоктаэдр,

иногда называемый большим ромбокубоктаэдром и

ромбоусеченный икосододекаэдр,

называемый также большим ромбоикосододекаэдром, которые получаются из кубоктаэдра и икосододекаэдра при другом варианте усечения.

В четвертую группу входят две курносые модификации -

курносый куб и

курносый додекаэдр.

Для них характерно несколько повернутое положение граней. В результате эти многогранники, в отличие от предыдущих, не имеют плоскостей симметрии, но имеют оси симметрии. Так как плоскостей симметрии нет, то зеркальное отражение такого тела не совпадает с исходным телом, и поэтому существуют по две формы каждого из них - "правая" и "левая", отличающиеся так же, как правая и левая руки.

Пятая группа состоит из единственного многогранника -

псевдоромбкубоктаэдра,

открытого лишь в XX веке. Он может быть получен из ромбокубоктаэдра, если повернуть одну из восьмиугольных чаш на 45°.

Архимед около 287 – 212 гг. до нашей эры

• Древнегреческий ученый.
• Открытие тринадцати полуправильных выпуклых многогранников приписывается Архимеду, впервые перечислившего их в недошедшей до нас работе. Ссылки на эту работу имеются в трудах математика Паппа.

Список литературы:

• М. Венниджер «Модели многогранников», изд. «Мир», Москва, 1974 г.
• К. Левитин «Геометрическая рапсодия», изд. «Знание», Москва, 1984 г.
• Журнал «Квант», №4 ,1987 г.
• Интернетресурсы:
• http://nips.riss-telecom.ru/poli/