Циркуль жана сызгычтын жардамы менен чечилбеген маселелер.

Циркуль жана сызгыч менен чечилбеген маселелер

Даярдаган: Ибираим кызы Батма

Кудайбердиева Асылзат

Байыркы чечилбеген 3 маселе

1) айлананын квадратурасы,

2) бурч трисекциясы,

3) кубду эки эсеге көбөйтүү.

• Бул милдеттердин баары байыркы убакта адамдардын практикалык муктаждыктарынан келип чыккан. Алардын жашоосунун биринчи этабында алар эсептөө маселелери катары чыгышкан: кээ бир "рецепттер" боюнча изделген чоңдуктардын (айлананын аянты, айлананын узундугу ж.б.) болжолдуу маанилери эсептелген. Бул маселелердин тарыхынын экинчи этабында алардын мүнөзүндө олуттуу өзгөрүүлөр болот: алар геометриялык (конструктивдүү) маселелерге айланат.

• Байыркы Грецияда бул мезгилде аларга классикалык сөздөр берилген:

1) берилген тегерекке барабар квадрат куруу;

2) берилген бурчту үч бирдей бөлүккө бөлүңүз;

3) көлөмү берилген кубдан эки эсе чоң болгон жаңы кубдун четин куруу.

Бул геометриялык конструкциялардын бардыгын циркуль жана сызгыч менен жасоо сунушталган.

Кубду эки эселентүү маселеси

• Бул байыркы маселелердин бири. Анын келип чыгыш төмөндөгү жөнөкөй маселеге байланыштуу болушу ыктымал:

Аянты берилген квадраттын аянтынан эки эсе чоң болгон квадратты түзгүлө. Бул маселени циркулдун жана сызгычтын жардамы менен чыгарылышы белгилүү. 

• Берилген квадраттын жагынын узундугу а,

изделуучу квадраттын жагынын узундугун х десек:

анда маселенин шарты боюнча х 2 =2а 2  же болот.

Мындай кесиндини түзүү үчүн каттеттеринин узундуктары а га барабар болгон тик бурчтуу уч бурчтукту түзсөк, анда анын гипотенузасынын узундугу х болот,

демек, изделүүчү квадраттын жагы аныкталат. Ал эми ал жагы боюнча квадратты түзүү белгилүү.

• Ушуга окшоштуруп, окумуштуулар кубду эки эселентүү маселесин да циркулдун жана сызгычтын жардамы менен чечүүгө аракеттенишкен. Бирок, аны узак убакыттар бою чече алышкан эмес. Ошондуктан бул маселе өтө маанилүү проблемалык маселелердин бири болуп калган.

• Кубду эки эселентүү маселеси төмөнкүдөй:

Кырынын узундугу а га барабар болгон куб берилген. Көлөмү ушул кубдун көлөмүнөн эки эсе чоң болгон кубду түзүү талап кылынат. Изделүүчү кубдун кырынын узундугун х аркылуу белгилейли. Анда маселенин шарты боюнча х 3 =2а 3  болот.( мында а 3 - берилген кубдун, х 3  изделуучу кубдун көлөмү) а=1 деп алалы. Анда жогорудагы барабардыктан төмөнкү тендемени алабыз: Х 3 -2=0

Бул тендеменин рационалдык тамыры жок.

Ошентип, берилген маселени циркулдун жана сызгычтын жардамы менен түзүүгө (чыгарууга) болбойт.

Циркуль жана сызгычтын жардамы менен кубду эки эсеге көбөйтүү маселесинин чечилбестигинин далилин 1837-жылы француз математиги П.Венцель берген.

Айлананын квадратурасы жөнүндө маселе.

• Аянты берилген тегеректин аянтына барабар болгон квадратты куруу керек болгон.
• Циркуль жана сызгычтын жардамы менен айлананы квадраттоо маселесин чечүү аракеттерине акыркы жолу 19-кылымдын экинчи жарымында гана жасалган. 1882-жылы немец математиги Ф.Линдеман акыркы көрсөтүлгөн каражаттар менен тегеректин квадратын түзүү маселеси чечилбестигин далилдей алган.

• Радиусу R болгон тегерек берилсин.Бул тегеректин аянтына барабар квадрат куруу талап кылынат. Анда каалаган квадраттын тарабын х менен белгилейли
• мындан x= келип чыгат.

Циркуль жана түз сызык аркылуу тегеректи квадраттоо маселесин болжол менен гана чечүүгө болот . Эгерде курулуш каражаттары атайын кеңейтилсе, атайын ийри сызыктар (мисалы, квадраттар) колдонулса, ал толугу менен чечилүүчү болуп калат .

«Бинг үч бурчтугун» колдонуунун негизинде айлананы квадраттоо маселесин чечүү жолун карап көрөлү . Бул ыкма 1836-жылы орус инженери Бинг тарабынан сунушталган.

Айлананын ичине чегилген АВС үч бурчтугун карап көрөлү , анын квадратурасы үч бурчтуктун эң чоң тарабы диаметри болуп саналат. CAB бурчун а аркылуу , ал эми AC хордасын х аркылуу белгилейли . Биз а бурчун тандайбыз, х сегменти берилген айланага аянты барабар болгон квадраттын тарабы болсун. Бул үчүн биз байланышты колдонобуз:

Мында R – тегеректин радиусу.

Капталы x болгон квадраттын аянты тегеректин аянтына барабар болушу керек болгондуктан, бизде

же

a= , 0,886, а=27

=