Цилиндр. Конус. Шар

Цилиндр — это тело вращения, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны.

Прямоугольник AOO1A1 вращается вокруг стороны OO1.
OO1 — ось симметрии цилиндра и высота цилиндра.
AA1 — образующая цилиндра, длина которой равна длине высоты цилиндра.
AO — радиус цилиндра.

Полученная цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги — основаниями цилиндра.

Осевое сечение цилиндра — это сечение цилиндра плоскостью, которая проходит через ось цилиндра. Это сечение является прямоугольником.

При сечении цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра (т. е. перпендикулярной основанию), также получается прямоугольник.

На рисунке изображён цилиндр, пересечённый плоскостью, которая параллельна оси цилиндра OO1.

ABB1A1 — прямоугольник.
OA=OB=R — радиусы.

OC — расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.
Дуга AB равна центральному углу AOB.

При сечении цилиндра плоскостью, параллельной основанию, в сечении получаем круг, равный основаниям цилиндра.

Если представить, что боковая цилиндрическая поверхность разрезана по образующей AA1 и развёрнута, получаем прямоугольник.

Сторона AA1 равна высоте H, а другую сторону образует развёрнутая окружность основания длиной 2πR.

Так как развёртка — прямоугольник, то боковая поверхность определяется по формуле:

Sбок.=2πR⋅H.

Основания цилиндра — два круга с общей площадью 2⋅πR2.

Полная поверхность цилиндра определяется по формуле:

Sполн.=2πRH+2πR2=2πR⋅(H+R).

Задача №1

Объем цилиндра равен 64π, а площадь боковой поверхности равна 32π. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, деленную на π. Показать решение

Задача №2

Объем цилиндра равен 100π, а площадь боковой поверхности равна 25π. Найдите высоту цилиндра.

Задание 3. В цилиндрический сосуд налили 2000 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.

Решение.

Для вычисления объема детали нужно вычислить разность объемов после и до погружения. Начальный объем воды составлял 2000 см3 воды и уровень воды составлял 12 см. Тогда из формулы объема цилиндра следует, что

После погружения детали площадь основания остается прежней, а высота стала на 9 см больше и составила 12+9=21 см. Получаем объем воды

 см3

и объем детали

 см3.

Ответ: 1500.

Задан 4

Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на 

Решение.

Площадь боковой поверхности цилиндра   , поэтому 

Задание 5. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

Решение.

Кружки представляют собой цилиндры. Объем первой кружки выразим формулой

,

где d – диаметр кружки; h – высота кружки. Вторая кружка имеет высоту h:2 и диаметр 1,5d, тогда ее объем равен

и отношение объемов

.

Задача №6

Площадь боковой поверхности цилиндра равна  , а высота — 1. Найдите диаметр основания.

Решение.

Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле:  , значит,

Задача №1 Объем цилиндра равен 64π, а площадь боковой поверхности равна 32π. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, деленную на π.
Задача №2 Объем цилиндра равен 100π, а площадь боковой поверхности равна 25π. Найдите высоту цилиндра.
Задача №3 В цилиндрический сосуд налили 2000 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.

Задача №4 Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на π

Задача №5 Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

Задача №6 Площадь боковой поверхности цилиндра равна  , а высота — 1. Найдите диаметр основания.

Задача №7В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 3 раза больше первого? Ответ выразите в сантиметрах.