СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Тригонометрические функции числового аргумента: . Свойства и график тригонометрической функции: синус

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

Урок-исследование

Просмотр содержимого документа
«Тригонометрические функции числового аргумента: . Свойства и график тригонометрической функции: синус»


Естественно-математический цикл

(математика: алгебра и начала математического анализа)

Тема урока. Тригонометрические функции числового аргумента: . Свойства и график тригонометрической функции: .

Класс 10 или 11

Тип урока: урок решения практических, проектных задач.

Целевое назначение урока: практическая направленность изучения теоретических положений.

Задачи.

Общеобразовательные: изучить свойства и график тригонометрической функции у = sin х, приемы преобразования графиков.

Развивающие: совершенствовать умение объяснять явления с научной точки зрения, интерпретировать полученные данные с разных позиций, формулировать соответствующие выводы.

Воспитательные: совершенствовать умение вести научное исследование.

Результативность обучения: использование средств учебного курса в целях изучения окружающего мира.

Обучающийся сможет:

  • решать задачи, находящиеся на стыке нескольких учебных дисциплин;

  • использовать основной алгоритм исследования при решении своих учебно-познавательных задач;

  • использовать основные принципы проектной деятельности при решении своих учебно-познавательных задач;

  • использовать элементы математического моделирования при решении исследовательских задач.

«Системно-теоретические результаты» (углубленный уровень)

Выпускник научится

  • владеть понятиями тригонометрические функции; строить их графики;

  • применять при решении задач свойства тригонометрических функций: четность, периодичность, ограниченность;

  • применять при решении задач преобразования графиков функций;

  • определять по графикам и использовать для решения прикладных задач свойства реальных процессов и зависимостей (наибольшие и наименьшие значения, промежутки возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, асимптоты, точки перегиба, период и т.п.);

  • интерпретировать свойства в контексте конкретной практической ситуации;

- пользоваться прикладными программами и программами символьных вычислений для исследования математических объектов.

Выпускник получит возможность научиться

Для обеспечения возможности успешного продолжения образования по специальностям, связанным с осуществлением научной и исследовательской деятельности в области математики и смежных наук

  • применять математические знания к исследованию окружающего мира (моделирование физических процессов).

Совершенствование познавательных универсальных учебных действий

- моделирование, преобразование модели с целью выявления общих законов,

- установление причинно-следственных связей.

Совершенствование регулятивных универсальных учебных действий

- презентация результатов проектной работы на различных этапах ее реализации.

Совершенствование коммуникативных универсальных учебных действий

- повышения уровня рефлексии в учете разных позиций, мнений.

Совершенствование личностных универсальных учебных действий

- установление связи между целью учебной деятельности и ее мотивом.



Формы деятельности: индивидуальная, групповая.

Формы обучения: лабораторно-практическая работа.

Ресурсы урока: информационные ресурсы сети Интернет, задания частично-поискового характера.

Оборудование: компьютеры (программы GeoGebra или Живая математика), диагностическая карта проектно-исследовательской деятельности обучающихся.

Ход урока.

  1. Организационный момент (готовность оборудования и обучающихся)

  2. Вводно-мотивационный этап (эвристическая беседа, выполнение задания частично-поискового характера, выдвижение гипотезы)

Вступительное слово учителя. Жизнь на Земле тесно связана с различными астрономическими явлениями – восход и заход Солнца, изменение фаз Луны, чередование времен года, положение звезд на небе, затмения и движение планет, поэтому неудивительно, что астрономические наблюдения являлись источником многих математических открытий.

Текст для обучающихся.

….Восход и заход Солнца — момент времени для наблюдателя, находящегося на Земле, когда верхний край Солнца находится точно на уровне истинного горизонта. При восходе Солнце движется вверх (пересекая линию горизонта) по отношению к наблюдателю, а при закате стремится вниз (далее за горизонт). Поскольку Солнце не является материальной точкой, и имеет угловой размер, а его свет отражается от твердых частиц в атмосфере и частично преломляется самой атмосферой, то для того, чтобы верхний край солнечного диска визуально скрылся за горизонтом, оно целиком должно быть чуть ниже горизонта. При нормальных атмосферных условиях это соответствует нахождению центра солнечного диска под углом в 50 минут ниже истинного горизонта по отношению к наблюдателю. Этот угол считается углом «официального» восхода и заката Солнца….

Задания для обучающихся.

  • Построение моделей – графиков.

Используя ресурсы сети Интернет - таблицы момента Захода (Восхода) Солнца на 1-ое число каждого месяца 2020 года нашего города Бавлы, отметьте данные точками на координатной плоскости, где по оси Ох откладывается месяц, а по оси Оу – время захода (восхода) Солнца. Соедините полученные точки плавной линией, получите график.

  • Для уточнения этой линии нанести на график еще по 30 точек в течение каждого месяца, считая месяц округленно за 30 дней.

  • Где встречался вам аналогичный график? Знаете ли вы, как он называется?

Возможный вариант ответа обучающихся (гипотеза - существует математическая модель зависимости момента захода, восхода Солнца от календарного дня, курс физики «Механические колебания и волны, кривая – синусоида?).


  • Сравните ваш график с графиком тригонометрической функции у = sin x. Как вы думаете? Какие астрономические факторы приводят в вашем случае к некоторым отклонениям от «идеального» графика синуса?

Возможные варианты ответа обучающихся. Некоторая сплющенность земного шара вдоль полярной оси и неравномерность движения Земли (по эллиптической, а не по круговой орбите).

  • Сформулируйте цели исследования.

Возможные варианты ответа обучающихся. Построить и изучить математическую модель, применить математические знания для описания реальных природных явлений.

  1. Операционно-познавательный этап: составление опорного конспекта, выполнение практической работы, анализ выполнения практической работы, демонстрация и защита модели.

Задания для обучающихся.

  1. Опираясь на параграф учебника, заполните сначала левую часть таблицы.

Свойства функции y=a·sin x

Аналогии со свойствами кривой («Волновая» линия) в реальной действительности

  1. Периодичность

………..


2. Нули функции:

…………


3. Промежутки монотонности.

Возрастает на ……….

Убывает на ………..


4. Точка максимума …….

Точка минимума ………


5.Область значений E(y)=……..


Преобразование графика y=a·sin x

«Волновая» линия

  • Если 0

Сжатие к оси …. с коэффициентом …….


  • Если a1 растяжение от оси ….. с коэффициентом ……..


  • Если а- …… растяжение с коэффициентом .., симметрия относительно оси …


  • y=0·sin x сама ось …….




  1. Построите в группах кривые зависимости момента захода Солнца от даты для городов более высоких широт, для более низких широт, а так же расположенных на экваторе.

1 группа. Заход Солнца в городе Вашингтон UTC GMT(-5), 385342’’ северной широты, 770212’’ западной долготы.

2 группа. Заход Солнца в городе Каир UTC GMT(+2),30 03’ 22’’северной широты , 31 14’ 22’’ восточной долготы.

3 группа. Заход Солнца в городе Кейптаун ЮАР UTC GMT (+2), 33 55 южной широты, 18 29' восточной долготы.

4 группа. Заход Солнца в городе Сантьяго (Чили) UTC GMT(-3), 33 27 южной широты,70 40 западной долготы.

5 группа. Заход Солнца в городе Сингапур UTC GMT(+8), 1 18 северной широты, 103 51 восточной долготы.

  1. Продемонстрируйте свои графики и опишите их (презентация и защита работы).

Возможные варианты ответа обучающихся.

  1. Заполните сравнительную таблицу (правую часть)

Установите аналогичные свойства для волновых линий, которые вы построили.

Свойства функции y=a·sin x

Аналогии со свойствами кривой («Волновая» линия) в реальной действительности

  1. Периодичность

………..


2. Нули функции:

…………


3. Промежутки монотонности.

Возрастает на ……….

Убывает на ………..


4. Точка максимума …….

Точка минимума ………


5.Область значений E(y)=……..


Преобразование графика y=a·sin x

«Волновая» линия

  • Если 0

Сжатие к оси …. с коэффициентом …….


  • Если a1 растяжение от оси ….. с коэффициентом ……..


  • Если а- …… растяжение с коэффициентом .., симметрия относительно оси …


  • y=0·sin x сама ось …….




Возможные ответы обучающихся.

Свойства функции y=a·sin x

Аналогии со свойствами в реальной действительности

  1. Периодичность

Наименьший положительный период 2π

1. Полный оборот Земли вокруг Солнца за год для простоты 365 дней

2. Нули функции:

х=0; ±π; ±2π; ±3π; ……

2. «Узлы волновой линии»

Начало астрономической весны, осени

3. Промежутки монотонности.

Возрастает на [-π∕2+2πn; π∕2+2πn], nєZ

Убывает на [π∕2+2πn; 3π∕2+2πn], nєZ

3. С 21 декабря по 21 июня

Продолжительность светлого времени суток возрастает, а после 21 июня и до 21 декабря убывает

4. Точка максимума -π∕2+2πn, nєZ

Точка минимума π∕2+2πn, nєZ

4. Начало астрономической зимы, лета

5.Область значений E(y)=[-a;a]

5. Зависит от географической широты, например, для города Бавлы От 15ч.07 минут до

20ч. 05 минут.

Преобразование графика y=a·sin x

«Волновая» линия

  • Если 0

Сжатие к оси Ox с коэффициентом 1∕а

Для пунктов более низких широт

  • Если a1 растяжение от оси Ox с коэффициентом а

Для пунктов более высоких широт

  • Если а- отрицательное растяжение с коэффициентом |а|, симметрия относительно Ox

Для Южного полушария, например, для города Сантьяго

  • y=0·sin x сама ось абсцисс

Для пунктов на экваторе, например, для города Сингапур



  1. Этап закрепления знаний и рефлексии (интерпретация полученных результатов, выводы по результатам работы, выводы по результатам деятельности)

  1. Обобщите и сформулируйте результаты своих исследований.

Возможные варианты ответа обучающихся.

Для пунктов более низких широт коэффициент сжатия от 0 до 1, для пунктов более высоких широт коэффициент растяжения больше 1, для пунктов Южного полушария коэффициент растяжения является отрицательным, а для пунктов на экваторе графиком является практически сама ось Ох. 

  1. Установите зависимость между коэффициентом растяжения графиков и широтой расположения города.

Возможные ответы обучающихся.

Для пунктов более низких широт коэффициент сжатия от 0 до 1, для пунктов более высоких широт коэффициент растяжения больше 1, для пунктов Южного полушария коэффициент растяжения является отрицательным, а для пунктов на экваторе графиком является практически сама ось Ох. 

Итоги урока.


  Заключительное слово учителя.

Мы построили функцию, по которой каждому дню в течение года соответствует определенный момент захода Солнца. Таким образом, математическая модель существует, но математическая модель, основанная на некотором упрощении, никогда не бывает, тождественна рассматриваемому объекту, не передаёт всех его свойств и особенностей, а является его приближённым отражением. Однако в результате замены реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность математически сформулировать задачу его изучения и воспользоваться для анализа его свойств математическим аппаратом, описать широкий круг фактов и наблюдений, провести их детальный количественный анализ, предсказать, как поведёт себя объект в различных условиях, т.е. прогнозировать результаты будущих наблюдений.



Рефлексия деятельности

  • «Лестница успеха»















понимаю



умею





знаю

  • Диагностическая карта проектно-исследовательской деятельности заполняется в группах обучающихся.



Для выдвижение гипотезы используется образец, предложенный учителем

-2 -1 0 +1 +2

Гипотезы выдвигаются обучающимися без помощи учителя и разнообразны по содержанию

В определении цели и задач исследовательской работы активно участвует учитель

-2 -1 0 +1 +2

Определение цели и задач исследовательской работы осуществляется самостоятельно обучающимися

При изучении нового материала активно участвует учитель

-2 -1 0 +1 +2

Изучение нового текста осуществляется самостоятельно обучающимися

При интерпретации результатов активно участвует учитель

-2 -1 0 +1 +2

Интерпретация результатов осуществляется самостоятельно обучающимися

Выводы и результаты делает учитель

-2 -1 0 +1 +2

Выводы и результаты делают обучающиеся самостоятельно

- 2 полностью (активно) осуществляет учитель

-1 частично осуществляет учитель

0 отсутствует этап исследования

+1 частично осуществляют обучающиеся

+2 осуществляют обучающиеся самостоятельно.

Домашнее задание.














Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!