Три правила вычисления первообразной.

Инструкционная карта для самостоятельного изучения темы:

«Три правила нахождения первообразных».

Правило 1. Если F есть первообразная ƒ, а G- первообразная для g, то F+G есть первообразная для ƒ+g (первообразная двух функций равна сумме их первообразных).

Приём нахождения первообразных суммы двух функций

1. Представьте заданную функцию как сумму двух функций.

2. Найдите первообразную первой функции.

3. Найдите первообразную второй функции.

4. Запишите сумму найденных первообразных.

Упражнения.

1. Используя приём нахождения первообразной суммы функций, найдите первообразную функции ƒ:

а) ƒ(x)=x²+x⁶ ; в) ƒ(x)=x³- ;

б) ƒ(x)=x- ; г) ƒ(x)=-x+

2. Найдите какую-либо первообразную функции g, если:

а) g(x)=x²+x+15 ; в) g(x)= ;

б) g(x)=x⁶-x³ ; г) g(x)=x⁹+x⁶+x-9

3. Найдите общий вид первообразных для функции h, если:

а) h(x)=x¹¹- ; б) h(x)=-

4. Найдите первообразную для функции ƒ(x)=x³+x, график которой проходит через точку М (-1; 1).

5. Найдите первообразную функции ƒ(x)=14+, если известно, что значение первообразной в точке x₀=1 равно 24.

Правило 2.Если F есть первообразная для функции ƒ, а k-постоянная, то kF есть первообразная для функции kƒ.

Приём нахождения первообразной функции kƒ

1. Представьте заданную функцию в виде произведения двух множителей, один из них которых- число, другой- не которая функция.

2. Запишите первообразную найденной функции.

3. Умножьте полученную на выделенный числовой множитель.

Упражнения.

1. Используя приём нахождения первообразных для функции kƒ, найдите первообразную функции:

а) g(x)=18x⁵ ; г) φ(x)=- ;

б) h(x)=-4,9x⁶ ; д) u(x)= ;

в) φ(x)= ; е) (x)=

2. Найдите какую-либо первообразную функции:

а) h(x)=23x⁴ ; в) φ(x)=-36x⁸ ;

б) ƒ(x)=14+16x³ ; г) g(x)=x⁶+

3. Найдите общий вид первообразных функций:

а) ƒ(x)=14x ; в) h(x)= ;

б) g(x)=-8 ; г) φ(x)= -+x¹⁵

4. Найдите ту первообразную для функции ƒ(x)=12, график которой проходит через точку M (1; 25).

5. Найдите первообразную для функции g(x)=4x³, значение которой в точке x₀=1 равно -42.

Правило 3.Если F(x) есть первообразная для функции ƒ(x), а k и b- постоянные, причем k0, то F(kx+b) есть первообразная для функции ƒ(kx+b).

Приём нахождения первообразной функции ƒ(kx+b)

1. Представьте заданную сложную функцию как композицию двух функций, где «внутренняя» функция - линейная.

2. Запишите формулу, заданную «внешнюю» функцию.

3. Найдите первообразную «внешней» функции.

4. Запишите формулу, заданную первообразную сложной функции, составьте произведения числа и первообразной «внешней» функции с аргументом kx+b.

Упражнения.

1. Используя приём нахождения первообразной функции y=φ(kx+b), найдите первообразную функций:

а) ƒ(x)=(17x-8)³ ; г) ƒ(x)= ;

б) ƒ(x)=(6-21x)^{5 ;} д) ƒ(x)=

в) ƒ(x)=(26x-5)^-7 ;

2. Найдите какую-либо первообразную функции:

а) ƒ(x)= ; в) ƒ(x)= ;

б) ƒ(x)= ; г) ƒ(x)=

1. Найдите первообразную для функции φ(x)=, график которой проходит через точку М .