Тренажер по теме "Теорема Пифагора"

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ТРЕНАЖЕР

«Теорема Пифагора»

Подготовил ученик 8а класса

МБОУ «Гимназия № 7 имени Героя

России С.Василева» г. Брянска

Грошев Даниил

6

5

3

4

2

1

12

11

10

8

7

9

1 3

1 4

1 5

1 8

1 6

17

20

1 9

2

1

Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 6 см и 8 см

2

14

8

?

√ 48

10

6

Решение

2

Найдите катет прямоугольного треугольника, если другой его катет равен 3 см, а гипотенуза равна 5 см.

√ 2

2

5

?

√ 4

4

3

Решение

Найдите катеты прямоугольного треугольника ABC , если его гипотенуза равна 10 см, а один из острых углов равен 45 °

3

А

√ 50

√ 50

8

2

45 °

10

?

5 √2

5 √2

5

5

С

В

?

Решение

4

Найти гипотенузу прямоугольного треугольника ABC , если его катет равен 6 см, а прилежащий к нему угол 30 °?

√ 12

12

В

30 °

9

2 √3

?

6

С

А

Решение

5

В треугольнике АВС ∠А=∠С, сторона АВ=13см,а высота В D равна 12см. Найдите сторону АС

А

5

10

13

12

D

B

1

2

C

Решение

6

Диагонали ромба ABCD равны 4см и 2√5см. Найдите сторону ромба.

В

√ 3

3

А

2 √ 5

С

6

4

6 √5

D

Решение

7

Какой из треугольников со сторонами

1 1 √2

3 4 5

4 6 7

9 12 15

Не является «пифагоровым» треугольником?

Решение

8

Найдите сторону АВ, если АС 8 см, BD 6 см.

В

7

10

?

6

С

А

8

5

14

D

Решение

9

ABCD – трапеция, AD =9. АВ=6, ВС=5 Найдите ВЕ

4

4√2

5

С

В

6

?

√ 32

2

D

А

9

Е

Решение

10

ABCD – параллелограмм. Угол В=45°, AD=5. Найдите CD .

√ 50

10

С

В

?

45 °

А

D

5

5 √2

√ 10

Решение

11

ABCD – квадрат, АВ=а. Найдите АС

В

С

а√2

2а 2

?

a

2а

√ 2а 2

D

А

Решение

12

Треугольник АВС – прямоугольный. BD=3 см , AD=5 см. Найдите АВ

В

2 √ 13

10

3

?

D

5

8

√ 52

А

С

Решение

13

ABC – прямоугольный треугольник. АВ= b , BC= a , тогда АВ можно найти так:

√ а 2 - b 2

а 2 + b 2

a + b

√ а 2 + b 2

Решение

14

Высота ВЕ параллелограмма ABCD равна 6см , а его острый угол 45 ° . Найдите сторону С D

С

В

36см

6см

6

?

6√2см

2√6см

D

Е

А

Решение

15

Найдите высоту равностороннего треугольника со стороной 4 см

В

2 √3см

2см

4

3√2см

4√3см

?

С

А

Н

Решение

16

В трапеции ABCD ВЕ и С F – высоты, боковая сторона равна 3см и образует с высотой BE угол в 30 ° . Найдите CF

2см

4см

С

В

4

?

2√3см

3√2см

D

А

Решение

17

Диагонали AC и BD квадрата ABCD со сторонами AB=a пересекаются в точке O Найдите АО

а√2

2а

В

С

а

О

а

?

А

D

Решение

18

Катеты прямоугольного треугольника АВС равны 8см и 6см . Найдите высоту BD , проведенную к гипотенузе .

В

8

6

С

А

Е

Решение

19

Найдите катеты прямоугольного треугольника АВС , если его гипотенуза равна 20см , а острый угол 45 °

В

10;10 см

10 и 2 см

45 °

20

10√2

10√2

√ 200

√ 200

С

А

Решение

20

Найдите сторону А D прямоугольника АВС D , если диагональ BD равна 5 см , а отношение сторон АВ и ВС равно 3:4 .

7 см

12 см

В

А

?

5

3 см

4 см

С

D

Решение

А

8

?

Задача №1 Решение В прямоугольном ∆ АВС по теореме Пифагора АВ 2 = АС 2 + ВС 2 . АВ 2 = 8 2 + 6 2 , АВ 2 =100, АВ›0, АВ = √100, АВ = 10 см. Ответ: 10см.

С

В

6

В

5

?

Задача №2 Решение. В прямоугольном ∆ АВС по теореме Пифагора АВ 2 = АС 2 + ВС 2 . ВС 2 = АВ 2 - АС 2 ВС 2 = 5 2 -3 2 , ВС 2 =16, ВС›0, ВС = √16, ВС = 4 см. Ответ:4 см.

А

С

3

Задача №3 Решение .

Т.к.  А = 45 0 ,то  В=90 0 -45 0 =45 0 (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 ).Два угла ∆ АВС равны, значит этот треугольник равнобедренный (по признаку), АС = ВС.

В прямоугольном ∆ АВС по теореме

Пифагора:

АВ 2 = АС 2 + ВС 2

100= 2 АС 2 , АС 2 = 50, АС›0,

АС = ВС = √ 50 = 5 √2(см)

Ответ: 5√2см, 5√2см

А

10

45 °

?

В

?

С

Задача №4

Решение

В прямоугольном треугольнике АВС катет АС лежит против угла 30 0 и равен половине гипотенузы АВ, значит АВ = 2 АС.

По теореме Пифагора

АВ 2 = АС 2 + ВС 2

(2АС) 2 = АС 2 + ВС 2

4 АС 2 = АС 2 + 6 2

3 АС 2 = 36, АС 2 = 12, АС›0

АС = √ 12 = 2 √3(см)

АВ = 2АС = 4 √3(см)

Ответ: 4 √3 см

В

30 °

?

6

С

А

Задача №5

Решение

Так как два угла (  А и  С)

∆ АВС равны по условию , то этот треугольник равнобедренный (по признаку) и АВ = ВС. Высота ВД равнобедренного ∆ АВС является его медианой, значит А D = D С. В прямоугольном

∆ АВ D по теореме Пифагора

АВ 2 = А D 2 + В D 2

А D 2 = А B 2 - В D 2

А D 2 = 13 2 - 12 2

А D 2 = 25, А D ›0

А D = √ 25 = 5 (см)

А C = 2А D = 10 (см)

Ответ: 10 см

А

13

12

D

B

C

Задача №6

Решение

Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны

и точкой пересечения делятся пополам, то АО = ОС = 2см, ВО = О D = √ 5 см и ∆ АВО прямоугольный. В ∆ АВО по теореме Пифагора

АВ 2 = АО 2 + ВО 2

АВ 2 = (√ 5) 2 + 2 2

АВ 2 = 9, АВ ›0

АВ = √ 9 = 3(см)

Ответ: 3 см

В

А

С

2 √ 5

4

D

Задача №7

Решение

Правильный ответ 4, 6, 7.

Действительно,

4 ² + 6 ² = 52 ≠ 49 = 7 ² .

Стоит отметить, что

во времена Пифагора правильным был бы считался и ответ А), так как были неизвестны

рациональные числа.

Задача №8

Решение

Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны

и точкой пересечения делятся пополам, то АО = ОС = 4 см, ВО = О D = 3 см и ∆ АВО прямоугольный. В ∆ АВО по теореме Пифагора

АВ 2 = АО 2 + ВО 2

АВ 2 = 4 2 +3 2

АВ 2 = 25, АВ ›0

АВ = √ 25 = 5(см)

Ответ: 5 см

В

?

6

С

А

8

D

Задача №9

Решение

По свойству равнобедренной трапеции АЕ = (А D – ВС):2

АЕ = (9-5):2 = 2

В прямоугольном

∆ АВЕ по теореме Пифагора

АВ 2 = АЕ 2 + ВЕ 2

ВЕ 2 = А B 2 - АЕ 2

ВЕ 2 = 6 2 - 2 2

ВЕ 2 = 32, ВЕ ›0

ВЕ = √ 32 = 4 √ 2

Ответ: 4 √ 2

5

С

В

6

?

D

А

9

Е

Задача №10

Решение

Т.к.  В = 45 0 ,то

 А = 90 0 - 45 0 =45 0 (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 ). Два угла ∆ АВК равны, значит этот треугольник равнобедренный (по признаку), АК = ВК = 5.

В прямоугольном ∆АВК по теореме Пифагора

АВ 2 = АК 2 + ВК 2

АВ 2 = 5 2 +5 2

АВ 2 = 50, АВ ›0

АВ = √ 5 0= 5 √ 2

CD = АВ = 5 √ 2 как противоположные стороны параллелограмма.

Ответ: 5 √ 2

С

В

?

45 °

D

А

5

Задача №11

Решение

Так как стороны квадрата равны и все углы прямые, то ∆ АВС прямоугольный и равнобедренный. АВ = ВС = а,  В = 90 0 .

В ∆ АВС по теореме Пифагора

АС 2 = АВ 2 + ВС 2

АС 2 = а 2 + а 2

АС 2 = 2а 2 , АС ›0

АС = а√ 2

Ответ: а √ 2

В

С

?

a

D

А

Задача №12

Решение

Так как CD = BD (по условию), то CD = 3 см, ВС = 6 см.

В прямоугольном ∆ А CD по теореме Пифагора :

А D 2 = А C 2 + С D 2

АС 2 = AD 2 - CD 2

АС 2 = 5 2 - 3 2 ,АС 2 =25 - 9,

АС 2 = 16 , АС ›0,АС = 4 см

В прямоугольном ∆ АВС по теореме Пифагора :

АВ 2 = А C 2 + ВС 2

АВ 2 = 4 2 +6 2 ,АВ 2 = 16 +36,

АВ 2 = 40 , АВ ›0, АВ = √ 4 0 =

2√10 (см).

Ответ: 2 √ 10 см.

В

3

D

?

5

А

С

Задача №13

Решение

В прямоугольном

∆ АВС по теореме Пифагора АВ 2 = АС 2 + ВС 2

АВ 2 = а 2 + в 2

АВ ›0

АВ = √ а 2 + в 2

Ответ: √ а 2 + в 2

Задача №14

Решение

Т.к.  А = 45 0 ,то  АВЕ = 90 0 - 45 0 =45 0 (сумма острых углов прямоугольного треугольника АВЕ равна 90 0 ). Два угла ∆ АВЕ равны, значит этот треугольник равнобедренный (по признаку), АК = ВК = 6см.

В прямоугольном ∆ АВЕ по теореме Пифагора:

АВ 2 = АЕ 2 + ВЕ 2

АВ 2 = 6 2 +6 2 , АВ 2 = 72, АВ ›0

АВ = √ 72= 6 √ 2(см).

Ответ: 6 √ 2 см.

С

В

6

?

D

А

Е

Задача №15

Решение

В

Так как ∆ АВЕ – равносторонний, то АС = ВС =4 см , его высота ВН является медианой, значит СН = 2 см.

В прямоугольном ∆ СВН по теореме Пифагора:

ВС 2 = ВН 2 + СН 2 ,

ВН 2 = ВС 2- СН 2 ,

ВН 2 = 4 2 -2 2 , ВН 2 = 12, ВН ›0

ВН = √12= 2√3(см).

Ответ: 2√3 см.

4

?

А

С

Н

Задача №16

Решение

В прямоугольном ∆ АВЕ катет ВЕ лежит против  АВЕ = 30 0 и равен половине гипотенузы АВ, значит АЕ = 2 см.

В прямоугольном ∆ АВЕ по теореме Пифагора:

АВ 2 = АЕ 2 + ВЕ 2 ,

ВЕ 2 = АВ 2- АЕ 2 ,

ВЕ 2 = 4 2 -2 2 , ВЕ 2 = 12, ВЕ ›0

ВЕ = √ 12= 2√ 3(см). С F = ВЕ, так как высоты трапеции равны, значит С F = 2 √ 3 см.

Ответ: 2 √ 3 см.

С

В

4

?

D

А

Задача №17

Решение

В

С

а

О

?

А

D

Задача №18

Решение

В прямоугольном ∆ АВС по теореме Пифагора:

АВ 2 = АС 2 + ВС 2 АВ 2 = 8 2 +6 2 , АВ 2 = 100, АВ›0,

АВ= √ 100 = 10(см)

В прямоугольном ∆ АВ D по теореме Пифагора:

АВ 2 = А D 2 + В D 2 , В D 2 = АВ 2 -А D 2

В D 2 = 64 -А D 2

В прямоугольном ∆ C В D по теореме Пифагора: В C 2 = BD 2 + DC 2 , В D 2 = В C 2 - DC 2 Так как DC = АС –А D , то D С = 10- AD , тогда

В D 2 = 36 – (10 – А D ) 2

Имеем уравнение: 64 -А D 2 = 36 – (10 – А D ) 2

64 -А D 2 = 36 – (100 – 20А D + А D 2 )

64 -А D 2 = 36 -100 +20А D -А D 2 20А D = 128, AD = 6 , 4 см, тогда В D 2 = 8 2 - 6.4 2

BD = √ (8-6,4)(8+6,4) = √ 1,6∙14,4 = √ 16∙144∙0,01=

= 4∙12∙0,1 = 4,8(см)

Ответ: 4,8 см

В

8

6

С

А

Е

Задача №19

Решение

Т.к.  В = 45 0 ,то

 А = 90 0 - 45 0 =45 0 (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 ). Два угла ∆ АВС равны, значит этот треугольник равнобедренный (по признаку), значит АС = ВС.

В прямоугольном ∆ АВС по теореме Пифагора

АВ 2 = АС 2 + ВС 2

400= 2 АС 2 , АС 2 = 200, АС›0,

АС = ВС = √ 200 = 10 √2(см)

Ответ: 10 √2см, 10 √2см

В

45 °

20

А

С

Задача №20

Решение

AD = DC как противоположные стороны прямоугольника.

Пусть х – коэффициент пропорциональности, тогда АВ = 3х см и А D =4х см.

В прямоугольном ∆ АВ D по теореме Пифагора

В D 2 = А B 2 + AD 2

В D 2 = ( 3 х) 2 + (4х) 2 , В D 2 = 25 х 2 , х›0,

25 = 25 х 2

х 2 = 1, х›0, х=1, тогда А D = 4 см.

Ответ: 4 см.

А

В

?

5

С

D

Ошибочка вышла!

Подумай и попробуй снова!

ОШИБКА

Что-то пошло не так!

Верно!

Верно!

Верно!

Верно!

Верно!

Верно!