Точность вычислений. Дискретизация

Этап

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Этап мотивации

Учитель приветствует учеников, проверяет готовность к уроку.

Какие величины можно измерять? Какие приборы для этого используются? Приведите примеры.

Расстояние (линейка, рулетка), время (часы, секундомер), температуру (термометр), давление (барометр, манометр), силу тока (амперметр), объем жидкости (мензурки) напряжение в цепи (вольтметр), масса (весы), скорость (спидометр).

Актуализация и фиксирование индивидуального затруднения в пробном действии

Перед вами есть очень много предметов. Вам нужно решить следующую задачу в парах: используя имеющиеся у вас измерительные прибор - линейка, рассчитать толщину учебника, тетради, дневника. Результат работы необходимо зафиксировать на компьютерах текстовых документах.

Давайте посмотрим получившиеся результаты. Что вы можете сказать, проанализировав таблицу?

Как вы думаете, почему такое могло произойти

Точность вычислений

Выполняют практическую работу. Фиксируя свои результаты в таблицу

У нас получились разные результаты, несмотря на то, что предметы у все одинаковые

Мы получили разные исходные данные в результате измерений

Этап построение проекта выхода из создавшейся ситуации

«Совершенно верно, все практические расчёты выполняются неточно, с некоторой погрешностью (ошибкой, отклонением от истинного значения). В первую очередь это связано с тем, что неточно известны исходные данные, которые получаются в результате измерений.

Реализация построенного проекта

Для решения практической задачи вы сегодня измерили числовые характеристики данных предметов. Для этого вы использовали линейки, каждая из которых имеет определённую точность. Это значит, что с помощью данной линейки невозможно зафиксировать изменение величины, меньшее, чем цена деления шкалы этого прибора.

Поэтому измеренное значение величины всегда отличается от точного (истинного), разность между ними называют погрешностью измерения

Вернемся к нашей задаче. Чему равна цена деления линейки?

Это означает, что точность измерений будет не выше чем 1 мм (0,1 см)

Давайте посмотрим на данные наших измерений:

У меня получилось:

- высота

- глубина

- диагональ

- ширина

В приведённом примере погрешность 0,2 см — это так называемая абсолютная погрешность _{ }.

Для оценки качества измерений чаще используют относительную погрешность, которая вычисляется как отношение абсолютной погрешности _{ } к истинному значению величины х*:

Поскольку истинное значение, как правило, неизвестно, его обычно заменяют на полученный результат изменений. В данном случае относительную погрешность можно оценить как

_{ }%

Это достаточно небольшое значение,

Как вы думаете, о чем оно может говорить?

1 мм или 0,1 см

о высокой точности измерений.

Этап первичного закрепления

Теперь вернёмся к расчётам с помощью компьютера.

Вспомните, как числа хранятся в памяти компьютера?

При выполнении вычислений погрешности накапливаются, поэтому при сложных расчётах может получиться неверный ответ.

В этом можно убедиться на простом примере. _{ }. Нетрудно убедиться, что точный результат должен быть равен единице

Попытайтесь выполнить с помощью компьютера вычисления по такой цепочке: (1/3) х 7 х 3/7 – решение на паскале

Какой результат вы получили?

Единица в последнем разряде исчезла…

Причина подобных погрешностей проста. Как мы уже с вами сказали, любой компьютер работает с ограниченным числом разрядов. Иначе говоря, сохраняет лишь определенное количество цифр результата. Остальные цифры отбрасываются.

Существование этих ошибок приводит к забавным парадоксам.

Давайте рассмотрим распределительный закон, выражаемый формулой а(b-с)=ab-ас. Проверим это. Пусть а=5, b=2,0000000000008, с = 2,0000000000007.

«Подводя итог, можно выделить несколько источников погрешностей при компьютерных вычислениях:

• неточность исходных данных;

• неточность записи вещественных чисел в двоичном коде конечной длины;

• погрешности приближённого вычисления некоторых стандартных функций (например, sin(x) или cos(x));

• накопление погрешностей при арифметических действиях с неточными данными;

• собственная погрешность используемого метода (погрешность резко возрастает при делении на неточно малое число)

Компьютер нам выдал результат 0.9999999999999999.

Этап самостоятельной работы с автоматической проверкой

Даны действительные числа X, E (E не = 0 и Е0). Вычислить с точностью E:

var

eps, x, s, p : real;

k : integer;

begin

write('eps = '); readln(eps);

write('x = '); readln(x);

s := 0; k := 1; p := sqr(x)/4;

while abs(p*(-1)/sqr(k+2)*sqr(x/2)) eps do begin

p := p * (-1)/sqr(k+2)*sqr(x/2);

inc(k);

s := s + p;

end;

Вычислить число π с точностью до третьего знака после запятой, через вычисление суммы

writeln('s = ',s:0:5,' ',k);

end.

const e=1e-3;

var k:integer;

s,s1:real;

znak:-1..1;

begin

k:=1;

s:=1;

znak:=1;

Repeat

k:=k+2;

znak:=-znak;

s1:=znak/k;

s:=s+s1;

Until Abs(s1)

s:=4*s;

Writeln(s:0:8);

end.

Этап включения в систему знаний и повторения

Учитель осуществляет фронтальный опрос.

1.Что такое абсолютная и относительная погрешности? Какое из этих значений более важно в практических задачах?

2. Что такое вычислительно неустойчивый метод?

3. Перечислите источники погрешностей при компьютерных вычислениях.

Промежуточный этап

Переходим к домашнему заданию, открываем дневники и записываем, написать сообщение на тему «Вычислительная устойчивость методов»

Этап рефлексии учебной деятельности на уроке

Наши эксперименты ни в коей мере не бросают тень на фундаментальные законы математики. Нарушение законов — результат действия среды — специфика вычислений компьютера. Зная, откуда берутся и как проявляют себя эти «нарушители законов», мы сможем правильно оценить полученный результат.