Теорема Пифагора

Урок геометрии в 8 классе по теме  

 «Теорема Пифагора».

Цели урока:

1.     Изучить теорему Пифагора и  способы ее  доказательства;

2.     Развивать интеллектуальные навыки учащихся;

3.     Повысить интерес к изучаемому материалу.

Тип урока: урок  получения новых знаний

Геометрия владеет двумя сокровищами:

одно из них —
это теорема Пифагора...

Иоганн Кеплер

1. Историческая справка.

• Биография Пифагора (сообщение ученика)

Пребудет вечной истина, как скоро
   Ее познает слабый человек!
   И ныне теорема Пифагора
   Верна, как и в его далекий век.

   Обильно было жертвоприношенье
   Богам от Пифагора. Сто быков
   Он отдал на закланье и сожженье,
   За света луч, пришедший с облаков.

   Поэтому всегда с тех самых пор,
   Чуть истина рождается на свет,
   Быки ревут, ее почуя, вслед.

   Они не в силах свету помешать ,
   А могут лишь закрыв глаза, дрожать
   От страха, что вселил в них Пифагор.

Заповеди Пифагора:

- Делай лишь то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться.

- Не делай никогда того, чего не знаешь.

- Но научись всему, что следует знать...

-Не пренебрегай здоровьем своего тела…

- Приучайся жить просто и без роскоши

- Не закрывай глаза, когда хочется спать, не разобравши всех своих поступков в прошлый день.

- Помогай не тому, кто ношу сваливает, а тому, кто её взваливает.

Задание: Выберите из этих высказываний три наиболее важных на ваш взгляд.

2.Доказательство теоремы Пифагора учителем.

3. Закрепление материала

а). Верно ли, что катет больше гипотенузы?

б). Могут ли быть в прямоугольном треугольнике 2 равных угла, если да, то какие их величины?

В). Может ли быть в прямоугольном треугольнике 2 равных катета?

г). Найти AB=?

д). Является ли треугольник прямоугольным, если его стороны равны 6; 8; 10?

4. Решение задач по чертежам.

5.Внимательно прочитайте и постарайтесь разобраться с предложенными вашему вниманию историческими задачами с решениями.

Задача №1.

Удобный и очень точный способ, употребляемый землемерами для проведения на местности перпендикулярных линий, был известен с древних времён. Состоит он в следующем. Пусть через точку А к прямой МК требуется провести перпендикуляр. Откладывают от А по направлению АМ четыре раза какое – нибудь расстояние а. Затем завязывают на шнуре три узла, расстояние между которыми равны 3а и 5а. Приложив крайние узлы к точкам А и В, натягивают шнур за средний узел. Шнур расположится треугольником, в котором угол А – прямой. Этот способ, по – видимому, применявшийся ещё тысячелетия назад строителями египетских пирамид, основан на том, что каждый треугольник, стороны которого относятся как 3:4:5, согласно теореме Пифагора, - прямоугольный, так как

3*2 + 4*2 = 5*2.

Поэтому треугольник с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 называют “египетским”.

Задача №2

 В древней Индии был обычай предлагать задачи в стихах

Над озером тихим

С полфута размером
Высился лотоса цвет.
Он рос одиноко, 
И ветер порывом
Отнёс его в сторону. Нет
Боле цветка над водой.
Нашёл же рыбак его
Ранней весною
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
“Как озера вода здесь глубока?”

Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда

AD = AB = Х + 0,5 .

Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB² – AC² = BC²,

(Х + 0,5)² – Х² = 22,

Х² + Х + 0,25 – Х² = 4, Х = 3,75.

Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута

Задача №3 

Задача из рассказа Л.Толстого “Много ли человеку земли нужно,” схема движения Пахома на чертеже

Из чертежа видно, что неизвестный катет можно найти по теореме Пифагора:

S участка = Ѕ (2 + 10) х 13 = 78 (кв. вёрст);

1 верста = (русская мера длины) = 1,0668 км,

78 кв. вёрст 78 кв. км = 7800 га.

Задача №4.

Сообщение о главном пифагорейском символе – пентаграмме.

Замечательные свойства пентаграммы.

Главным пифагорейским опознавательным знаком был символ здоровья – пентаграмма или пифагорейская звезда. Она представляет собой звёздчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника.

Нарисованная пентаграмма была тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга. В средние века считалось, что пентаграмма “предохраняет” от “нечистой силы”. Вспомним Фауста:

Мефистофель.

Нет, трудновато выйти мне теперь.
Тут кое-что мешает мне немного:
Волшебный знак у вашего порога.

Фауст. Не пентаграмма - ль этому виной?

Пятиконечной звезде около 3000 лет. Сегодня она реет на флагах едва ли не половины стран мира. Звёздчатый пятиугольник буквально соткан из пропорций и, прежде всего, золотой пропорции. Красота формы пентаграммы, вытекающая из внутренней красоты её математического строения, была замечена ещё Пифагором.

Один из творцов астрономии Иоганн Кеплер писал: “Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора, а другое – деление отрезка в среднем и в крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень”.

Деление отрезка в среднем и в крайнем отношениях – это есть “золотая пропорция”, или иначе “золотое сечение”. В современной математике эту пропорцию называют средним геометрическим. Каким образом связаны пентаграмма и золотое сечение. Рассмотрим свойства звёздчатого пятиугольника. Итак, пусть окружность разделена на 5 равных частей. Соединяя последовательно точки деления, получим правильный пятиугольник, диагонали которого образуют пятиконечную звезду. Легко видеть, что внутри звезды образуется правильный пятиугольник, диагонали которого дают новую звезду, и т.д. Правильный пятиугольник и пятиконечная звезда, образованная его диагоналями, обладают свойствами:

1. пересекающиеся диагонали правильного пятиугольника делят друг друга в золотой пропорции:

2. из всех равнобедренных треугольников только треугольник, у которого углы при основании (72°) вдвое больше угла при вершине (36°), обладает особым свойством: биссектриса угла при основании делит противоположную сторону в золотом сечении. Такой треугольник получил название «возвышенного».

5. Домашнее задание

1. Решение задач по готовым чертежам.

2. Сообщение по теме «Другие доказательства теоремы Пифагора».

3. Составьте  презентацию  "Теорема Пифагора".

6. Рефлексия. Подведение итогов урока.