Тест по геометрии. 8 класс. Тема «Теорема Пифагора».

Тест по геометрии. 8 класс. Тема «Теорема Пифагора».

Ответы и решения:

Задача №1
Решение. В прямоугольном ∆ АВС по теореме Пифагора:АВ² = АС²+ ВС²,

АВ² = 6²+ 8², АВ² =100, АВ 0, АВ = √ 100, АВ = 10 см. Ответ 10см.

Задача №2
Решение. В прямоугольном ∆ АВС по теореме Пифагора : АВ² = АС²+ ВС²,

ВС² = АВ² - АС² , ВС² = 5² -3², ВС² =16, ВС ›0, ВС = √ 16, ВС = 4 см.

Ответ: 4см.

Задача №3
Решение. Т.к. Ð А = 45⁰,то Ð В = 90⁰ - 45⁰ =45⁰ (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰ ). Два угла ∆ АВС равны, значит этот треугольник равнобедренный (по признаку), АС = ВС.

В прямоугольном ∆ АВС по теореме Пифагора: АВ² = АС²+ ВС² , 100= 2 АС², АС² = 50, АС›0, АС = ВС = √ 50 = 5 √2(см) Ответ: 5 √2см, 5 √2см.

Задача №4
Решение. В треугольнике АВС катет АС лежит против угла 30⁰ и равен половине гипотенузы АВ, значит АВ = 2 АС. По теореме Пифагора: АВ² = АС²+ ВС² , (2АС)² = АС²+ ВС² , 4 АС² = АС²+ 6² , 3 АС² = 36, АС² = 12, АС›0,

АС = √ 12 = 2 √3(см), АВ = 2АС = 4 √3(см). Ответ: 4 √3 см.

Задача №5
Решение. Так как два угла (Ð А и Ð С) ∆ АВС равны по условию , то этот треугольник равнобедренный (по признаку) и АВ = ВС. Высота ВД равнобедренного ∆ АВС является его медианой, значит АD =DС.

В прямоугольном ∆ АВD по теореме Пифагора: АВ² = АD²+ ВD² ,

АD² = АB² - ВD² , АD² = 13² - 12² , АD² = 25, АD ›0,АD = √ 25 = 5(см).

АC = 2АD = 10(см). Ответ: 10 см.

Задача №6
Решение. Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярныи точкой пересечения делятся пополам, то АО = ОС = 2см, ВО = ОD = √ 5 см и ∆ АВО прямоугольный. В ∆ АВО по теореме Пифагора: АВ² = АО²+ ВО² ,

АВ² = (√ 5) ² +2² , АВ² = 9, АВ ›0, АВ = √ 9 = 3(см). Ответ: 3 см

Задача №7

Решение. Правильный ответ В. Действительно, 4² + 6² = 52 ≠ 49 = 7². Стоит отметить, что во времена Пифагора правильным бы считался и ответ А), так как были неизвестны рациональные числа.

Задача №8
Решение. Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то АО = ОС = 4 см, ВО = ОD = 3 см и ∆ АВО прямоугольный. В ∆ АВО по теореме Пифагора: АВ² = АО²+ ВО² ,

АВ² = 4 ² +3² , АВ² = 25, АВ ›0, АВ = √ 25 = 5(см). Ответ: 5 см.

Задача №9
Решение. По свойству равнобедренной трапеции АЕ = (АД – ВС):2, АЕ = (9-5):2 = 2. В прямоугольном ∆ АВЕ по теореме Пифагора: АВ² = АЕ²+ ВЕ²,

ВЕ² = АB² - АЕ², ВЕ² = 6² - 2², ВЕ² = 32, ВЕ ›0, ВЕ = √ 32 = 4 √ 2. Ответ: 4 √ 2.

Задача №10
Решение. Так как Ð В = 45⁰ ,то Ð А = 90⁰ - 45⁰ =45⁰ (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰ ). Два угла ∆ АВК равны, значит этот треугольник равнобедренный (по признаку), АК = ВК = 5. В прямоугольном

∆ АВК по теореме Пифагора: АВ² = АК²+ ВК², АВ² = 5 ² +5², АВ² = 50, АВ ›0, АВ = √ 5 0= 5 √ 2, CD = АВ = 5 √ 2 (как противоположные стороны параллелограмма). Ответ: 5 √ 2.

Задача №11
Решение. Так как стороны квадрата равны и все углы прямые, то

∆ АВС прямоугольный и равнобедренный. АВ = ВС = а, Ð В = 90⁰ .

В ∆ АВС по теореме Пифагора: АС² = АВ²+ ВС² , АС² = а² + а² ,АС² = 2а²,

АС ›0, АС = а√ 2. Ответ: а √ 2.

Задача №12
Решение. Так как CD = BD (по условию), то CD= 3 см, ВС = 6 см. В прямоугольном ∆ АCD по теореме Пифагора : АD² = АC²+ СD² ,

АС² = AD² - CD² , АС² = 5² - 3² ,АС² =25 - 9, АС² = 16 , АС ›0, АС = 4 см.

В прямоугольном ∆ АВС по теореме Пифагора : АВ² = АC²+ ВС², АВ² = 4²+6² , АВ² = 16 +36, АВ² = 40 , АВ ›0, АВ = √ 40 = 2 √ 10 (см). Ответ: 2 √ 10 см.

Задача №13
Решение. В прямоугольном ∆ АВС по теореме Пифагора: АВ² = АС²+ ВС², АВ² = а²+ в² ,АВ ›0, АВ = √ а²+ в² . Ответ: √ а²+ в² .

Задача №14
Решение. Так как Ð А = 45⁰ ,тоÐ АВЕ = 90⁰ - 45⁰ =45⁰ (сумма острых углов прямоугольного треугольника АВЕ равна 90⁰ ). Два угла ∆ АВЕ равны, значит этот треугольник равнобедренный (по признаку), АК = ВК = 6 см.

В прямоугольном ∆ АВЕ по теореме Пифагора: АВ² = АЕ²+ ВЕ² ,

АВ² = 6 ² +6² , АВ² = 72, АВ ›0, АВ = √ 72= 6 √ 2 (см), CD = АВ = 6√ 2 см (как противоположные стороны параллелограмма). Ответ: 6 √ 2 см.

Задача №15
Решение. Так как ∆ АВЕ – равносторонний, то АС = ВС =4 см , его высота ВН является медианой, значит СН = 2 см . В прямоугольном ∆ СВН по теореме Пифагора: ВС² = ВН²+ СН² , ВН² = ВС^2- СН² , ВН² = 4 ² -2² ,

ВН² = 12, ВН ›0, ВН = √ 12= 2√ 3(см). Ответ: 2 √ 3 см.

Задача №16
Решение. В прямоугольном ∆ АВЕ катет ВЕ лежит против Ð АВЕ = 30⁰ и равен половине гипотенузы АВ, значит АЕ = 2 см. В прямоугольном ∆ АВЕ по теореме Пифагора: АВ² = АЕ²+ ВЕ² , ВЕ² = АВ^2- АЕ² , ВЕ² = 4 ² -2² , ВЕ² = 12, ВЕ ›0, ВЕ = √ 12= 2√ 3(см). СF = ВЕ, так как высоты трапеции равны, значит СF = 2 √ 3 см. Ответ: 2 √ 3 см.

Задача №17
Решение. Так как стороны квадрата равны и все углы прямые, то

∆ АВС прямоугольный и равнобедренный, значит АВ = ВС = а, Ð В = 90⁰ .

В ∆ АВС по теореме Пифагора : АС² = АВ²+ ВС², АС² = а² + а² ,

АС² = 2а², АС ›0, АС = а√ 2.

Диагонали квадрата пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, значит АО = АС, АО = . Ответ: .

Задача №18
Решение. В прямоугольном ∆ АВС по теореме Пифагора: АВ² = АС²+ ВС² ,

АВ² = 8² +6², АВ² = 100, АВ›0, АВ= √ 100 = 10(см)

В прямоугольном ∆ АВD по теореме Пифагора: АВ² = АD²+ ВD² ,

ВD² = АВ² -АD², ВD² = 64 -АD² . В прямоугольном ∆ CВD по теореме Пифагора: ВC² = BD² +DC², ВD² = ВC² -DC² .

Так как DC = АС – АD, то DС = 10-AD, тогда ВD² = 36 – (10 – АD)²

Имеем уравнение: 64 -АD² = 36 – (10 – АD)², 64 -АD² = 36 – (100 – 20АD + АD²),

64 -АD² = 36 -100 +20АD -АD² , 20АD = 128, AD = 6,4 см, тогда ВD² = 8² -6.4² ,

BD =√ (8-6,4)(8+6,4) =√ 1,6∙14,4 =√ 16∙144∙0,01= 4∙12∙0,1 = 4,8(см). Ответ: 4,8 см.

Задача №19
Решение. Так как Ð В = 45⁰ ,то Ð А = 90⁰ - 45⁰ =45⁰ (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰ ). Два угла ∆ АВС равны, значит этот треугольник равнобедренный (по признаку) и его боковые стороны равны, т.е. АС = ВС. В прямоугольном ∆ АВС по теореме Пифагора: АВ² = АС²+ ВС² , 400= 2 АС², АС²= 200, АС›0, АС= ВС =√ 200 = 10√2(см). Ответ:10√2см, 10 √2см.

Задача №20
Решение. AD = DC как противоположные стороны прямоугольника.

Пусть х – коэффициент пропорциональности, тогда АВ = 3х см и АD=4х см.

В прямоугольном ∆ АВD по теореме Пифагора: ВD² = АB²+ AD² ,

ВD² = (3х)²+ (4х)², ВD² = 25 х², х›0, 25 = 25 х² , х² = 1, х›0, х=1, тогда АD= 4 см.

Ответ: 4 см.