Тест по Алгебре (Матрицы)

1) Рассмотрим следующую систему уравнений:

2x + 3y + z = 5

5x - 2y + 4z = -10

x + 4y - z = 3

а) Напишите соответствующую расширенную матрицу.

б) Используйте операции со строками, чтобы решить систему.

2) Пусть A и B — матрицы 2x2 такие, что AB = BA = I. Докажите, что A и B — обратимые матрицы.

3) Найдите определитель следующей матрицы:

±±+

|1|2|3|

±±+

|4|5|6|

±±+

|7|8|9|

4) Определить ранг следующей матрицы:

±±±+

|1|0|1|1|

±±±+

|1|1|0|1|

±±±+

|0|1|1|1|

5) Рассмотрим следующую матрицу:

±±±+

|1|2|3|4|

±±±+

|5|6|7|8|

±±±+

|9|10|11|12|

±±±+

а) Вычислить транспонирование матрицы.

б) Найдите обратную матрицу.

6) Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

x + 2y - z = 1

2x + y + 3z = 0

3x + y + az = a

а) Определить значения a, при которых система не имеет решений.

б) Определить значения a, при которых система имеет бесконечные решения.

в) Определить значения a, при которых система имеет единственное решение.

7) Вычислите собственные значения и собственные векторы следующей матрицы:

±±+

|1|2|

±±+

|2|1|

8) Проверьте, диагонализируема ли следующая матрица:

±±+

|1|1|

±±+

|0|1|

9) Пусть A — матрица 3x3 такая, что A^3 = I. Докажите, что A диагонализируема, и найдите ее собственные значения и собственные векторы.

10) Рассмотрим следующее матричное уравнение:

X^2 + 2X - I = 0

Найдите все возможные решения для X.