Тема урока :Виды соединений –сочетания , размещение, перестановка , факториал связь между ними .

Тема урока :Виды соединений –сочетания , размещение, перестановка , факториал связь между ними .

Задача

В чемпионате России по футболу участвуют 16 команд. Сколькими способами можно предсказать тройку призеров?

Решение

Данная задача решается способом произведения. На первое место можно выбрать 16 вариантов, на второе только 15 оставшихся, на третье, соответственно, 14. Итого:

Задачи подобного типа, где из   вариантов нужно выбрать  , причем порядок их следования важен (в данном случае важно, кто займет первое место, кто второе, кто третье) называются размещением:

Перестановка

Рассмотрим частный случай размещения, когда из   элементов нужно выбрать все   элементов, порядок по-прежнему важен. Такой частный случай называется перестановкой:

Задача

Сколькими способами можно расставить класс из 30 человек в шеренгу?

Решение

В данном случае имеем частный случай размещения – перестановку. Так:

Размещение при наличии одинаковых объектов

Пример

Сколько существует способов переставить буквы в слове стол? В слове каша?

Решение

Очевидно, что в первом случае это число перестановок:  .

Во втором же случае следует обратить внимание на то, что некоторые буквы совпадают. Для решения поставим буквам   индексы 1 и 2 – теперь это разные буквы   и  .

Теперь ответ такой же, как и в первом случае – 

Теперь отметим, что каждой перестановке слова   соответствует такая же перестановка, где буквы   стоят наоборот:  .

Так, ответ на поставленный вопрос:  .

Интересно знать!

Пример

Найти количество способов переставить буквы в слове молоко.

Решение

По аналогии пронумеруем буквы  , тогда количество перестановок 

Теперь проанализируем. Для каждого варианта перестановки существует ряд вариантов, которые отличаются только индексам букв  . найдем количество этих вариантов. Очевидно, что это число перестановок 

Так, ответ в задаче: 

Пример

Найти количество способов переставить буквы в слове математика.

Решение

Здесь повторяются три комплекта букв. Решим задачу в три этапа. Сначала по аналогии с предыдущими случаями нумеруем все повторяющиеся буквы – отдельно буквы  , отдельно  , отдельно  :  .

В этом слове количество перестановок 

Теперь разберемся с буквами  . для каждого варианта перестановки есть такой же, который отличается индексами букв  . тогда искомое количество перестановок уменьшится в два раза:  .

Аналогично для букв  :  .

Для букв   количество вариантов уменьшится в   раз.

Итого: 

Сочетание

Пример

В поход пошло 4 человека. Сколькими способами можно выбрать пару дежурных, которые утром приготовят завтрак?

Решение

При первом взгляде на задачу кажется, что ответом будет количество размещений  .

Обратим внимание, что порядок в данном случае не важен, то есть пара дежурных Вася и Петя или пара Петя и Вася – это одна и та же пара, два варианта превращаются в один, поэтому искомое количество вариантов:

Задачи такого типа, где порядок не важен, называются задачами о сочетаниях – в них требуется выбрать группу объектов, порядок которых не важен.

Определение

Сочетанием из   элементов по   называется любой выбор из   элементов   элементов, при этом порядок выбора не важен. Иногда сочетание называют выборкой. Число сочетаний вычисляется по формуле:

Очень важно понимать, когда порядок важен, а когда нет. В примере про дежурных порядок не важен, но если немного поменять условие: выбрать дежурных так, чтобы один отвечал за костер, а второй за мытье посуды – то порядок уже будет важен.

Решение примеров

Пример

В команде 11 человек, нужно выбрать капитана и вице-капитана. Сколькими способами это можно сделать?

Решение

Очевидно, что в данном случае порядок важен, поэтому ответом будет размещение:  .

Пример

В команде из 11 человек нужно выбрать пару защитников. Сколькими способами это можно сделать?

Решение

Здесь порядок не важен – в паре защитников не имеет значения, кто первый, а кто второй, поэтому здесь ответом будет число сочетаний:  .

Пример

Сколько способов существует составить трехцветный полосатый флаг (полосы горизонтальные), если есть 6 полос различных цветов?

Решение

В данном случае порядок важен, так как, например, выбрав белый, синий и красный, в зависимости от порядка можем получить флаг России или флаг Сербии. Поэтому здесь имеем число размещений:  .

Пример

Сколькими способами учитель может выбрать две задачи из 20 для контрольной работы?

Решение

Здесь порядок не важен, не важно какая задача будет первой, а какая второй, поэтому ответ – число сочетаний:  .

Вывод

Итак, мы вспомнили понятия перестановки, размещения, сочетания, формулы для вычислений и определения, а также решили несколько примеров.