Тема: «Понятие производной и её применение в различных науках и жизни»

Тема: «Понятие производной и её применение в различных науках и жизни»

Производная широко используются в различных областях деятельности человека, поэтому умение прогнозировать, решать имеют огромную роль в практической деятельности. Производная относится к числу математических понятий, которые носят межпредметный характер, и широко применяются в физике, химии, биологии, в технике и других отраслях наук. Изучение материала по теме имеет принципиально важное значение, так как здесь показывается приложение к решению различных физических и технических задач, то есть возможности применения элементов дифференциального исчисления в описании и изучении процессов и явлений реального мира.

Примеры применения производной.

В наши дни без дифференциального исчисления невозможно не только рассчитать работу железнодорожного транспорта, космические траектории, бег океанской волны и закономерности развития циклона, но и экономично управлять производством, распределением ресурсов, организацией технологических процессов, прогнозировать течение или изменение численности различных и взаимосвязанных в природе видов животных и растений, потому что все это – динамические процессы.

Понятие производной

Физический и геометрический смысл производной:

Мгновенная скорость – это скорость в определенный момент времени (например, машина движется с разной скоростью во время своего движения из пункта А в пункт Б, на 5с (пятой секунде) скорость была 20 м/с, а на 25 с – 85 м/с)

Смотрите на рисунке ниже, где искать x и y. На касательной необходимо отметить две точки (синим цветом обозначены), которые располагаются на пересечении клеток. Под касательной нужно из этих точек опустить прямые, дорисовав до прямоугольного треугольника. И теперь находим (тангенс угла альфа)

x

y

α

Если касательная возрастает, то производная положительна, если убывает, то отрицательна.

В примере выше (треугольник отмечен красным цветом), касательная возрастает, значит

На этом рисунке касательная убывает – производная отрицательна.

Касательная параллельна оси Х, значит производная = 0

Задание «Найти производную» может встречаться в разных заданиях. Но вам нужно уяснить одно важное правило: нахождение мгновенной скорости, тангенса угла, углового коэффициента касательной к графику функции и т.д. – это всё одно и то же задание – найти производную!!!