Тема 7. Многогранники

Понятие многогранника

Общая информация о многогранниках

Многогранником называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников.

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Но теория многогранников является и современным разделом математики. Она тесно связана с топологией, теорией графов, имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например, в алгебре, теории чисел, прикладной математики - линейном программировании, теории оптимального управления.

Многогранники имеют красивые формы, например, правильные, полуправильные и звездчатые многогранники. Они обладают богатой историей, которая связана с именами таких ученых, как Пифагор, Евклид, Архимед. Многогранники выделяются необычными свойствами, самое яркое из которых формулируется в теореме Эйлера о числе граней, вершин и ребер выпуклого многогранника: для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение Г+В-Р=2, где Г-число граней, В-число вершин, Р-число ребер данного многогранника. Теорему Эйлера историки математики называют первой теоремой топологии - крупного раздела современной математики.

С древнейших времен наши представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей.

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Правильными многогранниками Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях: первоосновам бытия - огню, земле, воздуху, воде придавалась форма соответственно тетраэдра, куба, октаэдра, икосаэдра, а вся Вселенная имела форму додекаэдра. Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться платоновыми телами.

Существует пять видов правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Почему правильные многограннки получили такие имена? Это связано с числом их граней. Тетраэдр имеет 4 грани, в переводе с греческого "тетра" - четыре, "эдрон" - грань. гексаэдр (куб) имеет 6 граней, "гекса" - шесть; октаэдр - восьмигранник, "окто" - восемь; додекаэдр - двенадцатигранник, "додека" - двенадцать; икосаэдр имеет 20 граней, "икоси" - двадцать.

Правильным многогранником называется многогранник, у которого все грани правильные равные многоугольники, и все двугранные углы равны. Но есть и такие многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани - правильные, но разноименные правильные многоугольники. Многогранники такого типа называются равноугольно-полуправильными многогранниками. Впервые многогранники такое типа открыл Архимед. Им подробно описаны 13 многогранников, которые позже в честь великого ученого были названы телами Архимеда. Это усеченный тетраэдр, усеченный оксаэдр, усеченный икосаэдр, усеченный куб, усеченный додекаэдр, кубооктаэдр, икосододекаэдр, усеченный кубооктаэдр усеченный икосододекаэдр, ромбокубооктаэдр, ромбоикосододекаэдр, "плосконосый" (курносый) куб, "плосконосый" (курносый) додекаэдр.

Кроме полуправильных многогранников из правильных многогранников - Платоновых тел, можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре, они называются также телами Кеплера-Пуансо. Кеплер открыл малый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр. Пуансо открыл два других правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр.

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

О дной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики- это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов.

Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной. Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных тел:

• Вселенная - додекаэдр

• Земля - куб

• Огонь - тетраэдр

• Вода - икосаэдр

• Воздух - октаэдр

Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться платоновыми телами.

Открытие тринадцати полуправильных выпуклых многогранников приписывается Архимеду, впервые перечислившего их в недошедшей до нас работе. Ссылки на эту работу имеются в трудах математика Паппа.

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.

П равильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр.

Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Оно больше похоже на звёздчатый многогранник. Из всех многогранников с тем же числом граней икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление толщи воды.

Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр.

Точка M называется граничной точкой фигуры F, расположенной в пространстве, если на сколь угодно малом расстоянии от точки M найдутся точки, как принадлежащие фигуре F, так и не принадлежащие этой фигуре

Любая точка M плоскости α является граничной точкой этой плоскости.

Множество всех граничных точек фигуры называется её границей

Границей плоскости является сама плоскость.

Точка M фигуры F, расположенной в пространстве, называется внутренней точкой фигуры F, если существует шар с центром в этой точке, каждая точка которого принадлежит фигуре F.

ПРИМЕРЫ:

1. Любая точка шара, не принадлежащая сфере, являющейся его границей, есть внутренняя точка шара.

2. Любая точка куба, не принадлежащая его граням, является его внутренней точкой.

3. Плоскость не имеет внутренних точек.

Множество всех внутренних точек фигуры называется её внутренностью.

ПРИМЕРЫ:

Внутренность куба есть фигура, образованная точками куба, которые не принадлежат его граням

Фигура называется ограниченной, если все её точки принадлежат некоторому шару.

Геометрическим телом называется ограниченная фигура в пространстве, обладающая следующими свойствами:

1. у неё есть внутренние точки, и любые две из них можно соединить ломаной, каждая точка которой является внутренней точкой фигуры;

2. фигура содержит свою границу, и её граница совпадает с границей её внутренности.

ПРИМЕРЫ:

1. Множество точек пространства, находящихся от точки O на расстоянии меньшем или равном числу R, т.е. шар с центром в точке O и радиусом R является геометрическим телом.

2. Множество точек пространства, находящихся от точки O на расстоянии меньшем числа R не является геометрическим телом, т.к не выполняется второе условие.

3. Плоскость в пространстве не является геометрическим телом.

Граница тела называется его поверхностью.

Многогранником называется геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников, любые два смежные из которых не лежат в одной плоскости.

ПРИМЕРЫ:

Фигура, являющаяся объединением двух кубов, имеющих одну общую вершину O, не является многогранником, поскольку она не является геометрическим телом:

Действительно, любая ломаная состоящая из точек фигуры и соединяющая точки A и B, содержит точку O, которая не является внутренней точкой данной фигуры

Вершины граней многоугольника называются вершинами многогранника.

Стороны граней многоугольника называются рёбрами.

Многоугольники, образующие границу многогранника называются гранями.

ПРИМЕРЫ:

1. У октаэдра 8 граней.

2. Многогранник, у которого 12 граней:

3. Треугольники ∆ABD и ∆BCD, имеющие общую сторону BD не являются гранями, т.к. не лежат в разных плоскостях.

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от каждой из плоскостей, содержащих его грани.

ПРИМЕРЫ:

Многогранник, не являющийся выпуклым, называется невыпуклым многогранником.

ПРИМЕРЫ:

Невыпуклый многогранник:

Призмой (n-угольной) называется многогранник, у которого две грани - равные n-угольники A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n (называемые основаниями) с соответственно параллельными сторонами (A₁A₂ ‖ B₁B₂, ..., A_n-1A_n ‖ B_n-1B_n), а остальные n граней - параллелограммы, у каждого из которых две стороны являются соответственными сторонами оснований.

Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а их стороны, не являющиеся сторонами оснований призмы, называются боковыми рёбрами призмы.

Призма с основаниями A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n обозначается A₁A₂…A_nB₁B₂…B_n

ПРИМЕРЫ:

Шестиугольная призма A₁B₁C₁D₁E₁F₁A₂B₂C₂D₂E₂F₂:

ТЕОРЕМА (О свойстве оснований призмы): Основания призмы лежат в параллельных плоскостях.

Пусть для определённости дана пятиугольная призма ABCDEA₁B₁C₁D₁E₁:

Т.к. четырёхугольник ABB₁A₁ - параллелограмм, то AB ‖ A₁B₁

Аналогично, четырёхугольник AEE₁A₁ - параллелограмм, следовательно, AE ‖ A₁E₁

Таким образом, две пересекающиеся прямые в плоскости одного основания параллельным двум пересекающимся прямым плоскости другого основания, значит, эти плоскости параллельны.

Высотой призмы называется перпендикуляр (или длина этого перпендикуляра), проведённый из какой-нибудь точки плоскости одного основания к плоскости другого основания.

Диагональю призмы называется отрезок, концами которого служат вершины призмы, не лежащие в одной грани.

Диагональным сечением призмы называется её сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра, которые не лежат в одной грани.

ПРИМЕРЫ:

Диагональное сечение любой наклонной призмы в общем случае - параллелограмм:

Диагональное сечение любой прямой призмы – прямоугольник

Если секущая плоскость пересекает все боковые рёбра призмы и перпендикулярна им, то получающееся при этом сечение называется ортогональным сечением призмы.

Фигура, образованная всеми гранями призмы, называется полной поверхностью призмы.

Фигура, образованная боковыми гранями призмы называется боковой поверхностью призмы.

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех её граней (обозначается S_полн).

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания: S_полн = S_бок + 2·S_осн

Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей её боковых граней (обозначается S_бок).

Т ЕОРЕМА (О площади боковой поверхности прямой призмы): Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра её основания на высоту призмы.

Рассмотрим   прямую   пятиугольную  призму ABCDEA₁B₁C₁D₁E₁.

Пусть P - периметр основания прямой призмы, h - высота этой призмы. Докажем, что площадь боковой поверхности S_бок прямой призмы находится по формуле S_бок = Ph.

Боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками, одна из сторон которых равна стороне основания призмы, а другая - высоте h призмы. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников:

S_бок = ABh + BCh + CDh + DEh + EAh = (AB + BC + CD + DE + EA)h = Ph.

В случае n-угольной прямой призмы доказательство аналогично.

Если боковые ребра перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае наклонной.

Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Призма называется прямой, если все её боковые грани являются прямоугольниками.

ПРИМЕРЫ:

Если распилить деревянный брусок в виде параллелепипеда вдоль ребра, получаться прямые призмы:

ТЕОРЕМА (О свойстве боковых рёбер прямой призмы): Боковые рёбра прямой призмы перпендикулярны плоскостям, в которых лежат её основания

П усть для определённости дана прямая пятиугольная призма TKEFDT₁K₁E₁F₁D₁:

Докажем, например, что боковое ребро TT₁ перпендикулярно плоскости, в которой лежит основание TKEFD.

Т.к. четырёхугольник TKK₁T₁ - прямоугольник, то TT₁ ⊥ TK.

Т.к. четырёхугольник TDD₁T₁ - прямоугольник, то TT₁ ⊥ TD.

Таким образом, прямая TT₁ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости основания TKEFD, следовательно ребро TT₁перпендикулярно этой плоскости, в которой лежит основание T₁K₁E₁F₁₁.

Для остальных рёбер доказательство аналогично.

Высота прямой призмы равна её боковому ребру.

Призма называется правильной, если она прямая, а её основаниями служат правильные многоугольники.

У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники.

Параллелепипед - это призма, основаниями которой являются параллелограммы.

Все шесть граней параллелепипеда параллелограммы.

Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противолежащими.

Противолежащие грани параллелепипеда равны и лежат в параллельных плоскостях.

Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными.

Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими.

Отрезок, соединяющий противолежащие вершины, называется диагональю параллелепипеда. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

П араллелепипед, все боковые грани которого - прямоугольники, называется прямым.

Боковые рёбра прямого параллелепипеда перпендикулярны плоскостям его оснований.

ПРИМЕРЫ:

Куб - прямой параллелепипед:

Если параллелепипед не является прямым, он называется наклонным.

Параллелепипед называется прямоугольным, если все его грани - прямоугольники.

К вадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений.

ПРИМЕРЫ:

Куб - прямоугольный параллелепипед:

Длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

З адача №1

Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых ребрах призмы.

Задача №2

В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45⁰. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

З адача №3

Основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналями 10см и 24см, а высота параллелепипеда 10 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда.

Задача №4

Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, а диагональ боковой грани равна 10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

Задача №5

Основание прямой призмы – параллелограмм со сторонами 8 и 15 см и углом 120^о. Боковая поверхность призмы имеет площадь 460 см². Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.

Задача №6

Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетами 13 и 12 см. Меньшая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

З адача №7

Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

Задача №8

Высота правильной четырехугольной призмы равна см, а сторона основания – 8 см. Найдите расстояние между вершиной А и точкой пересечения диагоналей грани DD₁С₁С.

З адача №9

Через два противолежащих ребра проведено сечение, площадь которого равна см². Найдите ребро куба и его диагональ.

Задача №10

Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом в 120⁰ между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см². Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Задача №11

С тороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в 60⁰. Меньшая из площадей диагональных сечений равна 130 см². Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Задача №12

Основанием прямого параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ является параллелограмм со сторонами 10 см и 6 см и углом между ними 120°. Большая диагональ параллелепипеда равна  см.

. 

Вычислите:

1. длину бокового ребра параллелепипеда;

2. угол наклона большей диагонали параллелепипеда к плоскости основания;

3. длину меньшей диагонали параллелепипеда;

4. площадь диагонального сечения DD₁BB₁;

5. площадь боковой поверхности параллелепипеда;

6. площадь полной поверхности параллелепипеда;

Решение:

1. Из ∆ABC по теореме косинусов:

,

тогда

;

.

1. ∆AA₁C - прямоугольный, тогда по теореме Пифагора

A₁C - наклонная; A₁A - перпендикуляр к плоскости основания; AC - проекция наклонной A₁C на плоскость основания, тогда ∠A₁CA - угол между прямой A₁C и плоскостью основания (по определению угла между прямой и плоскостью). Т.к. в прямоугольном ∆AA₁C AA₁ = AC = 14, то ∆AA₁C является равнобедренным, т.е. ∠A₁CA = 45°.

1. В треугольнике ABD: ∠BAD = 180° - 120° = 60°. По теореме косинусов

,

тогда

;

.

1. Рассмотрим ∆BB₁D - прямоугольный, по теореме Пифагора

1. Найдем площадь

1. Площадь боковой поверхности параллелепипеда найдём с помощью формулы S_бок = P_осн·h, где P_осн = 2(AB+AD) = 2(6+10) = 32 см; h = BB₁ = 14 см., тогда S_бок = 32·14 = 448 см².

1. Площадь полной поверхности параллелепипеда найдём с помощью формулы S_полн = S_бок + 2S_осн. Т.к. основанием параллелепипеда является параллелограмм ABCD, то

,

тогда

Ответ:

Пирамидой (n-угольной) называется многогранник, у которого одна грань- некоторый n-угольник A₁A₂…A_n, а остальные грани - треугольники OA₁A₂, OA₂A₃,…, OA_n-1A_n с общей вершиной O.

Указанный n-угольник A₁A₂…A_n называется основанием пирамиды, а треугольники OA₁A₂, OA₂A₃,…, OA_n-1A_n - боковыми гранями.

Точка O называется вершиной пирамиды.

Отрезки OA₁,…,OA_n называются боковыми рёбрами.

Пирамида с основанием A₁A₂…A_n и вершиной O обозначается OA₁A₂…A_n

ПРИМЕРЫ:

Пятиугольная пирамида:

Многоугольник А₁А₂…А_n – основание пирамиды

Треугольники А₁А₂Р, А₂А₃Р и т.д. – боковые грани пирамиды

Отрезки А₁Р, А₂Р, А₃Р и т .д. – боковые ребра

Высотой пирамиды называется перпендикуляр (или длина этого перпендикуляра), проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая к стороне основания называется апофемой правильной пирамиды.

Д иагональным сечением пирамиды называется сечение её плоскостью, проходящей через два боковых ребра пирамиды, не лежащих в одной грани.

Любое диагональное сечение разбивает пирамиду на две пирамиды.

ПРИМЕРЫ:

Диагональное сечение пятиугольной пирамиды:

Фигура, образованная всеми гранями пирамиды, называется полной поверхностью пирамиды.

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех её граней (обозначается S_полн).

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей её боковой поверхности и основания:

S_полн = S_бок+S_осн.

Фигура, образованная боковыми гранями пирамиды, называется  боковой поверхностью пирамиды.

Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей её боковых граней (обозначается S_бок).

Пирамида называется правильной, если её основание - правильный n-угольник, а все боковые рёбра равны.

ТЕОРЕМА (О высоте правильной пирамиды): В правильной пирамиде отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром её основания, является высотой пирамиды.

Для определённости проведём доказательство для правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF:

Пусть точка O - центр шестиугольника ABCDEF. Докажем, что отрезок SO есть высота пирамиды. Рассмотрим какие-нибудь два диагональных сечения, проходящие через отрезок SO, например треугольники ASD и CSF. Указанные треугольники являются равнобедренными (все боковые ребра правильной пирамиды равны), следовательно, в каждом из них медиана SO является высотой, т.е. SO ⊥ FC, SO ⊥ AD

Таким образом, прямая SO перпендикулярна двум пересекающимся прямым FC и AD плоскости основания, а значит она перпендикулярная этой плоскости. Таким образом отрезок SO перпендикулярен плоскости основания, т.е. является высотой пирамиды.

В случае правильной пирамиды, основанием которой служит n-угольник с чётным числом вершин, доказательство аналогично. В случае, когда основанием пирамиды служит многоугольник с нечётным числом вершин, для доказательства можно воспользоваться тем, что основание высоты правильной пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около его основания.

ТЕОРЕМА (О площади боковой поверхности правильной пирамиды): Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему

Д оказательство проведём для правильной шестиугольной пирамиды TABCDEF:

В случае правильной n-угольной пирамиды доказательство аналогично Пусть периметр основания пирамиды P_осн, апофему обозначим буквой ℓ. Боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками, основания которых - стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме ℓ.

Площадь боковой поверхности равна сумме указанных равнобедренных треугольников, т.е.:

Ц ентром правильного многоугольника называется центр вписанной (или описанной около него окружности).

В се боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

Высота пирамиды проходит через центр описанной окружности если:

• е сли боковые ребра равны

• если все боковые ребра составляют равные угла с плоскостью основания

• если все боковые ребра составляют равные углы с высотой пирамиды.

Пусть плоскость β параллельна плоскости α основания пирамидыOA₁A₂...A_n и пересекает её боковые рёбра в точках B₁, B₂, ..., B_n соответственно:

Многогранник, гранями которого являются два n-угольника B₁B₂...B_n и B₁B₂...B_n и n четырёхугольников B₁B₂B₂B₁, B₂B₃B₃B₂, ..., B_nB₁B₁B_n, называется усечённой пирамидой

Два n-угольника B₁B₂...B_n и B₁B₂...B_n называются основаниями усечённой пирамиды, а четырёхугольники B₁B₂B₂B₁, B₂B₃B₃B₂, ..., B_nB₁B₁B_n - её боковыми гранями.

Высотой усечённой пирамиды называется перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки плоскости одного основания к плоскости другого основания (или длина этого перпендикуляра).

Усечённая пирамида называется правильной, если она является многогранником, который отсекается плоскостью, параллельной основанию правильной пирамиды.

Основания правильной усечённой пирамиды - правильные многоугольники.

Боковые грани правильной усечённой пирамиды - равнобедренные трапеции.

Апофемой правильной усечённой пирамиды называется высота её боковой грани.

Площадью боковой поверхности усечённой пирамиды называется сумма площадей её боковых граней.

З адача №1

Основанием пирамиды DАВС является треугольник АВС, у которого АВ = АС = 13 см, ВС = 10 см; ребро АD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

З адача №2

Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если ее высота проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.

Задача №3

Основанием пирамиды DАВС является прямоугольный треугольник АВС, у которого гипотенуза АВ = 29 см, катет АС = 21 см. Ребро АD перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. Найдите S_бок.

З адача №4

Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360 см². Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найти S_пп.

З адача №5

Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 4 см и 5 см и меньшей диагональю 3 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 см. Найти S_пп.

Задача №6

О снованием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы в 30⁰ и 45⁰. Найдите S_п.пов.

Задача №7

Д вугранные углы при основании пирамиды равны. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание; б) высоты всех боковых граней, проведенные из вершины пирамиды, равны; в) площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, проведенную из вершины.

З адача №8

Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, равна 41 см. а) Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в ее основание. б) Найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен 42 см.

З адача №9

Основанием пирамиды является треугольник с сторонами 12 см, 10 см и 10 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45⁰. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Задача №10

В пирамиде все боковые ребра равны между собой. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания; б) все боковые ребра составляют равные углы с плоскостью основания.

Призма. Пирамида.

Площадь поверхности призмы и пирамиды

Площадь поверхности призмы

Пусть H — высота призмы,   — боковое ребро призмы,   — периметр основания призмы,   площадь основания призмы,   — площадь боковой поверхности призмы,   — площадь полной поверхности призмы,   — периметр перпендикулярного сечения призмы,   — площадь перпендикулярного сечения призмы. Тогда имеют место следующие соотношения:

Для прямой призмы, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований, площадь боковой поверхности и объем даются формулами:

Площадь поверхности пирамиды

Пусть   — высота пирамиды,   — периметр основания пирамиды,   — площадь основания пирамиды,   — площадь боковой поверхности пирамиды,   — площадь полной поверхности пирамиды. Тогда имеют место следующие соотношения:

Если все двугранные углы при основании пирамиды равны  , а высоты всех боковых граней пирамиды, проведенные из вершины пирамиды, равны  , то

Решение задач

З адача №1

В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно перпендикулярны, а их общее ребро, отстоящее от двух других боковых ребер на 12 см и 35 см, равно 24 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

З адача №2

Как изменится площадь поверхности куба, если каждое его ребро увеличить в: а) 2 раза; б) 3 раза; в) n раз?

Ответ: Увеличится в: а) 4 раза; б) 9 раз; в) n² раз.

З адача №3

Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, ребра которого, выходящие из одной вершины, равны 5, 4, 3.

Ответ: 94.

Задача №4

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями 6 см и 8 см и боковым ребром 10 см.

Ответ: 248 см².

Задача №5

Как изменятся площади боковой и полной поверхностей пирамиды, если все её рёбра: а) увеличить в 2 раза; б) уменьшить в 5 раз?

Ответ: а) Увеличатся в 4 раза; б) уменьшатся в 25 раз.

З адача №6

Чему равна площадь поверхности октаэдра с ребром 1?

З адача №7

Чему равна площадь поверхности икосаэдра с ребром 1?

Задача №8

Дана правильная треугольная пирамида, высота которой 3 см., а боковое ребро - 5 см.

Вычислите:

1. ребро основания пирамиды;

2. угол наклона бокового ребра к плоскости основания пирамиды;

3. площадь основания пирамиды;

4. радиусы вписанной в основание и описанной около основания окружностей;

5. апофему пирамиды;

6. угол наклона боковой грани к основанию пирамиды;

7. площадь боковой поверхности пирамиды;

8. площадь полной поверхности пирамиды;

Решение:

Т.к. пирамида правильная, то в её основании лежит правильный треугольник, а высота пирамиды проектируется в центр этого треугольника.

1. Рассмотрим ∆APH - прямоугольный. По теореме Пифагора:

Т.к. точка H является центром равностороннего ∆ABC, то AH:HM = 2:1, тогда

Воспользуемся формулой, связывающей длину высоты равностороннего треугольника с длиной его стороны: .

Тогда

1. PH⊥(ABC) как высота пирамиды; PA - наклонная; PH - перпендикуляр к плоскости основания; AH - проекция наклонной PA на плоскость основания, тогда ∠PAH - угол между боковым ребром PA и плоскостью основания пирамиды (по определению угла между прямой и плоскостью).

∆ APH - прямоугольный (∠PHA=90°), тогда по определению синуса

sin A = PHPA = 35, поэтому ∠A = arcsin35.

1. В равностороннем ∆ABC воспользуемся формулой, связывающей площадь равностороннего треугольника и длину его стороны

Т.к. точка H является центром ∆ABC, то R = AH = 4 см; r = HM = ½AH = 2 см.

1. Апофемой пирамиды является отрезок MP. ∆MPH - прямоугольный (∠PHM = 90°), в котором По теореме Пифагора имеем:

1. AM⊥BC, т.к. AM - высота равностороннего ∆ABC, PH⊥(ABC) как высота пирамиды, PM⊥BC по теореме о трёх перпендикулярах, тогда ∠PMH - линейный угол двугранного угла между плоскостями боковой грани PBC и основания.

2. Рассмотрим ∆MPH - прямоугольный, по определению синуса:
   sin M = PH PM =   2  √13, тогда ∠M = arcsin.

3. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды найдём по формуле:
   S_бок = ½P_осн·h_a, где h_a = PM = √13 см., тогда S_бок = ½·3·4√3·√13= 6√26 см².

4. Площадь полной поверхности пирамиды находим по формуле:
   S_полн = S_бок + S_осн, тогда S_полн = 6√26 + 12√3 см².

Правильные многогранники

Симметрия относительно точки

Точки А и А₁ называются симметричными относительно точки О (центр симметрии), если О – середина отрезка АА₁.

Точка О считается симметричной самой себе.

Симметрия относительно прямой

Точки А и А₁ называются симметричными относительно прямой а (ось симметрии), если прямая а проходит через середину отрезка АА₁ и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка прямой считается симметричной самой себе.

Симметрия относительно плоскости

Точки А и А₁ называются симметричными относительно плоскости (плоскость симметрии), если плоскость α проходит через середину отрезка АА₁ и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости α считается симметричной самой себе.

Центр, ось, плоскость симметрии фигуры.

Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Если фигура имеет центр (ось, плоскость) симметрии, то говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией. Фигура может иметь один или несколько центров симметрии (осей симметрии, плоскостей симметрии).

С симметрией мы часто встречаемся в архитектуре

Почти все кристаллы, встречающиеся в природе, имеют ось или плоскость симметрии. В геометрии центр, оси и плоскости симметрии многогранника называются элементами симметрии этого многогранника.

Имеется несколько эквивалентных определений правильных многогранников. Одно из них звучит так: многогранник называется правильным, если существуют три концентрические сферы, одна из которых касается всех граней многогранника, другая касается всех его ребер и третья содержит все его вершины. Это определение напоминает одно из возможных определений правильного многоугольника: многоугольник называется правильным, если он вписан в некоторую окружность и описан около другой окружности, причем эти окружности концентричны. Другое определение: правильным многогранником называется такой выпуклый многогранник, все грани которого являются одинаковыми правильными многоугольниками и все двугранные углы попарно равны.

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные между собой правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер.

В каждом правильном многограннике сумма числа и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2

Г + В = Р + 2

Существует всего пять видов правильных многогранников. Для того, чтобы установить это, заметим, что можно доказать следующее свойство: в выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой вершине меньше 360°.

Можно доказать, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n-угольники при n ≥ 6. Действительно, угол правильного n-угольника при n ≥ 6 не меньше 120° ((180°(n-2)):n).

Если бы существовал правильный многогранник, гранями которого являются правильные n-угольники при n ≥ 6, то сумма всех плоских углов при каждой вершине была бы не меньше 360° (при каждой вершине многогранника не меньше трёх плоских углов), а это противоречит сформулированному свойству плоских углов при вершине выпуклого многогранника.

Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона (427-347 до н. э.) "Тимаус". Поэтому правильные многогранники также называются платоновыми телами (хотя известны они были задолго до Платона).

Существует всего 5 видов правильных многогранников:

• Куб (гексаэдр)

• Тетраэдр

• Октаэдр

• Икосаэдр

• Додекаэдр

Куб или гексаэдр — правильный многогранник, каждая грань которого п редставляет собой квадрат. Частный случай параллелепипеда и призмы.

В различных дисциплинах используются значения термина, имеющие отношения к тем или иным свойствам геометрического прототипа. В частности, в аналитике (OLAP-анализ) применяются так называемые аналитические многомерные кубы, позволяющие в наглядном виде сопоставить данные из различных таблиц.

1. Куб имеет только один центр симметрии – точку пересечения его диагоналей.

1. Куб имеет 9 плоскостей симметрии.

Т етраэдр (четырёхгранник) — многогранник с четырьмя треугольными гранями, в каждой из вершин которого сходятся по 3 грани. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины. Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра. Отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины.

Правильный тетраэдр

1. с оставлен их четырех равносторонних треугольников;

2. в каждой вершине сходятся 3 ребра;

3. 4 грани, 4 вершины и 6 ребер;

4. 60+ 60 + 60 360

1. Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии.
2. Осей симметрии – 3.
3. П лоскостей симметрии – 6.
4. Прямая, проходящая через середины двух противоположных ребер, является его осью симметрии.
5. Плоскость, проходящая через ребро перпендикулярно к противоположному ребру, - ось симметрии.

Октаэдр — один из пяти выпуклых прав ильных многогранников, так называемых, Платоновых тел. Октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра.

Додекаэдр, двенадцатигранник — правильный многог ранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра. Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°.

Составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324⁰.

Платон и многогранники

Первым свойства правильных многогранников описал древнегреческий ученый Платон (428 – 348 г. до н.э.). Именно поэтому правильные многогранники называют также телами Платона.

Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников.

Правильные многогранники в философской картине мира Платона

Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух.

Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли скульпторы, архитекторы, художники. Их поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи (1452 – 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Архимед описал полуправильные многогранники

Это многогранники, которые получаются из платоновых тел в результате их  усечения.

• усечённый тетраэдр,

• усечённый гексаэдр (куб),

• усечённый октаэдр,

• усечённый додекаэдр,

• усечённый икосаэдр.

Усеченный тетраэдр

Выполняя простейшие сечения, мы можем получить необычные многогранники. Усеченный тетраэдр получится, если у тетраэдра срезать его четыре вершины.

Усеченный куб

Усеченный куб получится, если у куба срезать все его восемь вершин. Срезав вершины получим новые грани – треугольники. А из граней куба получатся грани – восьмиугольники.

Кубооктаэдр

Можно срезать вершины иначе. Получим кубооктаэдр.

У кубооктаэдра можно снова срезать все его вершины получим усеченный кубооктаэдр.

Усеченный октаэдр

Срежем у октаэдра все его восемь вершин.

Срезав вершины получим новые грани – квадраты. А из граней октаэдра получатся грани – шестиугольники.

Усеченный додекаэдр

С додекаэдром работы больше. Надо срезать двадцать вершин.

Грани усеченного додекаэдра – треугольники и десятиугольники.

Различные виды полуправильных многогранников

Понятие объема. Свойства объема.

Объем прямоугольного и наклонного параллелепипеда

Меры объема

В повседневной жизни нам часто приходится определять объемы различных тел. Например, коробки, банки. В житейской практике единицами объема служили меры емкости, используемые для хранения сыпучих и жидких тел. 

Среди них английские меры:

• Бушель – 36,4 дм³

• Галлон – 4,5 дм³

• Баррель (сухой) – 115,628 дм³

• Баррель (нефтяной) – 158,988 дм³

• Английский баррель для сыпучих веществ 163,65 дм³.

Меры когда-то, применявшиеся в России:

• Ведро – 12 дм³

• Бочка – 490 дм³

• Штоф – 1,23 дм³ = 10 чарок

• Чарка – 0,123 дм³=0,1 штофа = 2 шкалика

• Шкалик – 0,06 дм³ = 0,5 чарки.

Поиск формул, позволяющих вычислять объемы различных тел, был долог. В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для нахождения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды.

Определять объемы призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки еще задолго до Архимеда. Но только он имел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам ученый определил с помощью своего метода площади объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике.

На могильной плите Архимеда, как завещал ученый, был изображен цилиндр с вписанным шаром, а эпитафия говорила о величайшем открытии Архимеда – о том, что объемы этих тел относятся как 3 : 2.

Когда Римский оратор и общественный деятель Цицерон, живший в 1 в. до н.э., был в Сицилии, он еще видел этот заросший кустами и терновником памятник с шаром и цилиндром.

Понятие объема. Основные свойства объемов

Объем простого тела - это положительная величина, обладает следующими свойствами:

• равные тела имеют равные объемы;

• объем тела равен сумме объемов его частей;

• объем куба, чье ребро равно единице длины, составляет единицу;

• объемы двух подобных тел относятся как кубы их соответствующих линейных размеров.

Рассмотрим некоторые свойства:

Объём — количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Объём тела или вместимость сосуда определяется его формой и линейными размерами.

Симпсон Томас - английский математик. В 1743 вывел формулу приближённого интегрирования. В 1746 году Симпсон избран в члены Лондонского королевского общества, а ранее — в члены основанного в 1717 году в Лондоне Математического общества. Назначенный профессором в Вульвич, Симсон составил учебники по элементарной математике. В особых отделах геометрии рассматриваются задачи о наибольших и наименьших величинах, решаемые с помощью элементарной геометрии, правильные многогранники, измерение поверхностей, объёмы тел и, наконец, смешанные задачи.

Формула Симпсона

b, a – предельные значения высоты геометрического тела, среднее сечение – сечение тела плоскостью, параллельной основанию, и проходящей через середину высоты

Объем куба

Как найти объем у куба?
Есть у куба 3 стены,
В них по три величины.
Я возьму их, перемножу.
Ведь не так все это сложно.
С первой стенки взял длину,
Со второй взял ширину,
С третьей вышла высота.
Получилась красота!

Задача. Найдите объем куба, ребро которого равно 3 см.

Решение:

Так как нам дан куб, то значит все его стороны равны. Значит, по правилу вычисления объема, получаем: 3х3х3=27 (см³).

Ответ: 27 см³

Объём прямоугольного параллелепипеда

Задача. Найдите объем параллелепипеда, длина которого 5 м, ширина – 2 м, а высота – 3 м.

Решение:

Воспользуемся формулой вычисления объема параллелепипеда и получим 5х2х3=30 (м³).

Ответ: 30 м³.

Объём прямого параллелепипеда

Объём наклонного параллелепипеда

Объём наклонного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту

Самостоятельная работа

Вариант-1.

1.Объём прямоугольного параллелепипеда равен 96 см3, боковое ребро 8 см. Чему равна площадь основания?

Вариант-2.

1.Объём прямоугольного параллелепипеда равен 100 см3, площадь основания 23 см2. Найти высоту параллелепипеда.

Объем призмы

Объем наклонной призмы

Объём наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту

Объём прямой призмы

Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.

Объём прямой призмы равен произведению площади основания на длину бокового ребра

Решение задач

В правильной треугольной призме АВСДА₁В₁С₁Д₁через сторону ВС основания и середину бокового ребра АА₁ проведено сечение, составляющее угол в 45º с плоскостью основания. Найдите объем призмы, если сторона ее основания равна 10 см.

Объем пирамиды

Рассмотрим вопрос о нахождении объема треугольной и произвольной пирамиды.

Теорема об объеме пирамид, имеющих равные высоты и равные площади оснований

Две треугольные пирамиды, имеющие равные высоты и равные площади оснований, имеют равные объемы.

Объем треугольной пирамиды

Объём любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения п лощади основания на высоту

Объем пирамиды

Объём любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту

Решение задач

Задача 1.

Задача №2.

Задача 3.

Обобщение и систематизация знаний по разделам

«Многогранники. Площади поверхностей многогранников»,

«Объемы многогранников»

Многогранником называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников.

Геометрическим телом называется ограниченная фигура в пространстве, обладающая следующими свойствами:

1. у неё есть внутренние точки, и любые две из них можно соединить ломаной, каждая точка которой является внутренней точкой фигуры;

2. фигура содержит свою границу, и её граница совпадает с границей её внутренности.

Многогранником называется геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников, любые два смежные из которых не лежат в одной плоскости.

Призмой (n-угольной) называется многогранник, у которого две грани - равные n-угольники A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n (называемые основаниями) с соответственно параллельными сторонами (A₁A₂ ‖ B₁B₂, ..., A_n-1A_n ‖ B_n-1B_n), а остальные n граней - параллелограммы, у каждого из которых две стороны являются соответственными сторонами оснований.

П ирамидой (n-угольной) называется многогранник, у которого одна грань- некоторый n-угольник A₁A₂…A_n, а остальные грани - треугольники OA₁A₂, OA₂A₃,…, OA_n-1A_n с общей вершиной O.

Площадь поверхности призмы и пирамиды

Меры объема

В повседневной жизни нам часто приходится определять объемы различных тел. Например, коробки, банки. В житейской практике единицами объема служили меры емкости, используемые для хранения сыпучих и жидких тел. 

Среди них английские меры:

• Бушель – 36,4 дм³

• Галлон – 4,5 дм³

• Баррель (сухой) – 115,628 дм³

• Баррель (нефтяной) – 158,988 дм³

• Английский баррель для сыпучих веществ 163,65 дм³.

Меры когда-то, применявшиеся в России:

• Ведро – 12 дм³

• Бочка – 490 дм³

• Штоф – 1,23 дм³ = 10 чарок

• Чарка – 0,123 дм³=0,1 штофа = 2 шкалика

• Шкалик – 0,06 дм³ = 0,5 чарки.

Поиск формул, позволяющих вычислять объемы различных тел, был долог. В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для нахождения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды.

Определять объемы призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки еще задолго до Архимеда. Но только он имел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам ученый определил с помощью своего метода площади объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике.

На могильной плите Архимеда, как завещал ученый, был изображен цилиндр с вписанным шаром, а эпитафия говорила о величайшем открытии Архимеда – о том, что объемы этих тел относятся как 3 : 2.

Когда Римский оратор и общественный деятель Цицерон, живший в 1 в. до н.э., был в Сицилии, он еще видел этот заросший кустами и терновником памятник с шаром и цилиндром.

Постановка задачи

– Наша задача на уроке – найти для объема выражение в виде некоторого числа, измеряющего эту величину. При этом мы будем руководствоваться следующими исходными положениями:

1. Равные тела имеют равные объемы. (Понятие определяется на основе понятия наложения).

2. Объем тела, состоящего из некоторых частей, равен сумме объемов этих частей.

Понятие объема

Процедура измерения объемов аналогична процедуре измерения площадей. Число измерения (единичных кубов) и частей единицы, содержащихся в данном теле, принимается за числовое значение объема при выбранной единице измерения. Это число может быть как рациональным (в частности, целым), так и иррациональным.

1. Доказать важное следствие: Объем куба с ребром   равен

2. Доказать теорему об объеме прямоугольного параллелепипеда.

Дано: параллелепипед,. а, b, c его измерения.

V – объем параллелепипеда.

Доказать: V = abc.

Доказательство:

1. Пусть а, b, c – конечные десятичные дроби ( n  1). Числа а ^. 10ⁿ , b ^. 10ⁿ, c ^. 10ⁿ – целые.

Разобьем каждое ребро параллелепипеда на равные части длины  и через точки разбиения проведем плоскости, перпендикулярные к этому ребру.
Параллелепипед разобьется на abc·10³ⁿ равных кубов с ребром   .
Т.к. объем каждого такого куба равен   ,  то объем всего параллелепипеда равен   .
Итак, V = abc.

2. Хотя бы одно из измерений a, b, c – бесконечная десятичная дробь. Пусть а_n, b_n, c_n – конечные десятичные дроби, полученные из чисел a, b, c отбрасыванием в каждом из них всех цифр после запятой, начиная с (n + 1). Тогда a_n  a  a_n’, где  (аналогично для b, c). Перемножим эти неравенства a_nb_nc_n  abc  a_n’b_n’c_n’.