Тема 6. Введение в стереометрию

Основные понятия стереометрии.

Многогранники, изображения многогранников

Школьный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. В планиметрии изучаются свойства геометрических фигур на плоскости.

Стереометрия - это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» - объёмный, пространственный и «метрео» - измерять.

Простейшие фигуры в пространстве

Простейшими и основными фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости. Наряду с этими фигурами мы будем рассматривать геометрические тела и их поверхности.

Обозначаются следующим образом

Точки – A, B, C, …

Прямые – a, b, c, … или AВ, BС, CD, …

Плоскости – α, β, …

Простейшие правила построения изображений фигур:

1. За изображение отрезка принимается отрезок. Середина отрезка изображается серединой его изображения; точка, делящая отрезок в отношении m : n, изображается точкой, делящей его изображение в отношении m : n.

2. Параллельные прямые (отрезки) изображаются параллельными прямыми (отрезками).

3. В качестве изображения любого треугольника можно принять произвольный треугольник.

Многогранники

Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы. Так, например, кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых составлены из многоугольников. Такие поверхности называются многогранниками.

Многогранником называется геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников, любые два смежные из которых не лежат в одной плоскости.

О дним из простейших многогранников является куб (см. рис.1). Капли жидкости в невесомости принимают форму геометрического тела, называемого шаром (см. рис.2). Такую же форму имеет футбольный мяч. Консервная банка имеет форму геометрического тела, называемого цилиндром (см. рис. З).

рис.1 рис.2 рис.3

В отличие от реальных предметов геометрические тела, как и всякие геометрические фигуры, являются воображаемыми объектами. Мы представляем геометрическое тело как часть пространства, отделенную от остальной части пространства поверхностью – границей этого тела. Так, например, граница шара есть сфера, а граница цилиндра состоит и двух кругов – оснований цилиндра и боковой поверхности.

Изучая свойства геометрических фигур – воображаемых объектов, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов (их форме, взаимном расположении и т.д.) и можем использовать эти свойства в практической деятельности. В этом состоит практическое (прикладное) значение геометрии.

Многогранники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Если это условие не выполняется, то многогранник называется невыпуклым.

ПРИМЕРЫ:

Геометрия, в частности стереометрия, широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники.

П ри изучении пространственных фигур, в частности геометрических тел, пользуются их изображениями на чертеже. Как правило, изображением пространственной фигуры служит ее проекция на ту или иную плоскость. Одна и та же фигура допускает различные изображения. Обычно выбирается то из них, которое создает правильное представление о форме фигуры и наиболее удобное для исследования её свойств. На рисунках 4, 5, 6 изображены два многогранника - параллелепипед и пирамида, а так же фигура вращения – конус. При этом невидимые части этих фигур изображены штриховыми линиями.

Рисунок 5

Виды многогранников

Виды многогранников «Призма»

Призмой (n-угольной) называется многогранник, у которого две грани - равные n-угольники A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n (называемые основаниями) с соответственно параллельными сторонами (A₁A₂ ‖ B₁B₂, ..., A_n-1A_n ‖ B_n-1B_n), а остальные n граней - параллелограммы, у каждого из которых две стороны являются соответственными сторонами оснований.

Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а их стороны, не являющиеся сторонами оснований призмы, называются боковыми рёбрами призмы.

Призма с основаниями A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n обозначается A₁A₂…A_nB₁B₂…B_n

ПРИМЕРЫ:

Шестиугольная призма A₁B₁C₁D₁E₁F₁A₂B₂C₂D₂E₂F₂:

Фигура, образованная всеми гранями призмы, называется полной поверхностью призмы.

Фигура, образованная боковыми гранями призмы называется боковой поверхностью призмы.

П ризма называется прямой, если все её боковые грани являются прямоугольниками.

ПРИМЕРЫ:

Если распилить деревянный брусок в виде параллелепипеда вдоль ребра, получаться прямые призмы:

Призма называется правильной, если она прямая, а её основаниями служат правильные многоугольники.

Параллелепипед - это призма, основаниями которой являются параллелограммы.

Все шесть граней параллелепипеда параллелограммы.

Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противолежащими.

Противолежащие грани параллелепипеда равны и лежат в параллельных плоскостях.

Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными.

Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими.

Отрезок, соединяющий противолежащие вершины, называется диагональю параллелепипеда.

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Параллелепипед, все боковые грани которого - прямоугольники, называется прямым.

Боковые рёбра прямого параллелепипеда перпендикулярны плоскостям его оснований.

ПРИМЕРЫ:

Куб - прямой параллелепипед:

Куб – это многогранник, имеющий шесть граней, которые являются равными квадратами.

Если параллелепипед не является прямым, он называется наклонным.

Параллелепипед называется прямоугольным, если все его грани - прямоугольники.

Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений.

ПРИМЕРЫ:

Куб - прямоугольный параллелепипед:

Длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Пирамидой (n-угольной) называется многогранник, у которого одна грань- некоторый n-угольник A₁A₂…A_n, а остальные грани - треугольники OA₁A₂, OA₂A₃,…, OA_n-1A_n с общей вершиной O.

Указанный n-угольник A₁A₂…A_n называется основанием пирамиды, а треугольники OA₁A₂, OA₂A₃,…, OA_n-1A_n - боковыми гранями.

Точка O называется вершиной пирамиды.

Отрезки OA₁,…,OA_n называются боковыми рёбрами.

Пирамида с основанием A₁A₂…A_n и вершиной O обозначается OA₁A₂…A_n

ПРИМЕРЫ:

П ятиугольная пирамида:

Фигура, образованная всеми гранями пирамиды, называется полной поверхностью пирамиды.

Фигура, образованная боковыми гранями пирамиды, называется  боковой поверхностью пирамиды.

Пирамида называется правильной, если её основание - правильный n-угольник, а все боковые рёбра равны.

Взаимное расположение точек, прямых и плоскостей: аксиомы стереометрии

Простейшие фигуры в пространстве

Простейшими и основными фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости. Наряду с этими фигурами мы будем рассматривать геометрические тела и их поверхности.

Обозначаются следующим образом

Точки – A, B, C, …

Прямые – a, b, c, … или AВ, BС, CD, …

Плоскости – α, β, …

П редставление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.

На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко это записывают так: А  β, B  β, М  , N  , P .

Аксиомы стереометрии

Аксиома – исходное положение научной теории, принимаемое без доказательства.

Аксиома 1

Аксиома 2

Аксиома 3

Самостоятельная работа

Задание 1 (с выбором ответа). Заполните пропуски.

1. Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры…

1. в пространстве 2. на плоскости 3. на полуплоскости 4. на прямой

1. Основных фигур в пространстве…

1. одна фигура 2. две фигуры 3. три фигуры

1. Если 2 различные плоскости имеют общую точку, то они…

1. параллельны 2. пересекаются по прямой 3. совпадают

1. Если 2 различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести …, и притом только одну.

1. прямую 2. фигуру 3. плоскость

1. Через любую прямую и … на ней точку можно провести плоскость и притом только одну.

1. лежащую 2. не лежащую

1. Плоскость и не лежащая на ней … либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.

1. прямая 2. точка 3. фигура

1. Если 2 … принадлежат плоскости, то вся … принадлежит этой плоскости.

1. прямая, прямая 2. точки прямой, прямая 3. точки, прямая

Задание 2. Верно ли, что если точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости, то прямые АD и ВС пересекаются?

1. да 2. нет

Задание 3. Верны ли следующие утверждения?

1. Точка, прямая и расстояние являются основными фигурами стереометрии.

2. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

3. Если 2 различные прямые а и в имеют общую точку С, то не существует плоскости, содержащей прямые а и в.

4. Через любые 2 точки можно провести плоскость и только одну.

5. Через 3 точки, не лежащие на прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Взаимное расположение точек, прямых и плоскостей:

аксиомы стереометрии

Простейшие фигуры в пространстве

Простейшими и основными фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости. Наряду с этими фигурами мы будем рассматривать геометрические тела и их поверхности.

Обозначаются следующим образом

Точки – A, B, C, …

Прямые – a, b, c, … или AВ, BС, CD, …

Плоскости – α, β, …

Аксиомы стереометрии

Аксиома – исходное положение научной теории, принимаемое без доказательства.

Следствия из аксиом стереометрии

Построение сечений многогранников плоскостью

Сечение

Сечение – это изображение фигуры, которая получается при мысленном рассечении тела плоскостью.

Секущая плоскость многогранника

Секущей плоскостью многогранника называется такая плоскость, по обе стороны которой есть точки данного многогранника.

Сечение многогранника

Сечением многогранника называется фигура, состоящая из всех точек, которые являются общими для многогранника и секущей плоскости.

Нахождение точки пересечения прямой с плоскостью грани куба

Построение сечение куба плоскостью, проходящей через заданные точки

Построение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания куба

Построение сечения куба плоскостью, проходящей через заданные точки

Построение сечения четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через заданные точки

Построение сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через заданные три точки

Метод следов

Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры.

Построение сечения пирамиды плоскостью, проходящей черех три точки методом следов

Задача №1

Задача №2

Построение сечений многогранников плоскостью

Сечение – это изображение фигуры, которая получается при мысленном рассечении тела плоскостью.

Секущей плоскостью многогранника называется такая плоскость, по обе стороны которой есть точки данного многогранника.

Сечением многогранника называется фигура, состоящая из всех точек, которые являются общими для многогранника и секущей плоскости.

Работа по готовым чертежам

Каждой группе предлагаются задачи в зависимости от уровня сложности. Учащиеся выполняют данные задания, а затем коллективное обсуждение хода решения.

Условие: являются ли закрашенные фигуры сечениями изображённых многогранников плоскостью PQR? В тех случаях, когда сечение показано неправильно, найдите правильное решение.

На рисунках изображены правильные параллелепипеды.

Задание первого уровня:

Задание второго уровня:    

Задание третьего уровня:    

Работа по готовым алгоритмам построения

З адача №1. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда, проходящее через точки А₁, М, Р и N, где по следующему алгоритму:

1. A₁ M, A₁M  D₁C₁=X

2. A₁ N, A₁N  DD₁=Y

3. X Y, XY  CC₁=Q

4. XY  DC=P

5. M Q, N P

6. A₁MQPN – искомое сечение

Задача №2. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда, проходящее через точки B₁, М, Р и N, где по следующему алгоритму

1. B₁ M, B₁M  A₁D₁=X

2 . X N, XN  DD₁=P

3. PN  AA₁=Y

4. Y B₁, YB₁  AB=Q

5. Q N

6. B₁MPNQ – искомое сечение

Работа по готовым рисункам

Решение задач на построение сечений многогранников

Задача 1. АВСА₁С₁ – треугольная призма, точка F – середина ребра АВ, точка О лежит на продолжении ребра ВС так, что С расположена между В и О. Постройте сечение призмы плоскостью В₁FO.

Задача 2. Точка О – середина ребра DD₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Постройте точки пересечения прямых A₁O и C₁O с плоскостью основания ABCD и вычислите расстояние между ними, если длина ребра куба 2 см.

Задача 3. Дана треугольная пирамида SABC Точки Р и R лежат на ребрах SA и ВС, точка F лежит на продолжении ребра АС так, что точка С лежит между точками А и F. Постройте сечение пирамиды плоскостью PRF

Задача 4. SABCD — четырехугольная пирамида. Точка Р лежит в грани SCD, а точка F на продолжении ребра DC так, что точка D лежит между F и С. Постройте сечение пирамиды плоскостью PFB.

Задача 5. DABC — правильный тетраэдр, длина ребра которого равна 4 см. Точка О — середина ребра DB. Точка F лежит на продолжении ребра ВС так, что С — середина отрезка BF, точка Т лежит на продолжении ребра АС так, что С — середина отрезка AT. Постройте сечение тетраэдра плоскостью FTO и вычислите его периметр.

Задача 6. DABC — треугольная пирамида Точка F лежит на ребре DB, точка Т лежит на продолжении ребра АВ так, что точка А расположена между точками Т и В, а точка R лежит на продолжении ребра CD так, что точка С лежит между точками D и R. Постройте сечение пирамиды плоскостью TFR.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Параллельные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Два отрезка (луча) называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок (луч) называется параллельным данной прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной.

Вопросы:

1. Являются ли параллельными прямые АВ и СС₁?

1. Являются ли параллельными прямые АВ и СД?

1. Дан куб АВСДА₁В₁С₁Д₁. Назовите прямые, проходящие через вершины этого куба и параллельные прямой АВ?

Признак параллельности прямых в пространстве

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Свойства параллельных прямых в пространстве

ТЕОРЕМА

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

ТЕОРЕМА

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

ТЕОРЕМА

Диагонали параллелепипеда пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Решение задач

Задача 1.

Д ано:

ABCDA₁B₁C₁D₁ - куб,

О = А₁С₁  B₁D₁,

Е = A₁D  AD₁,

Т  СС₁, СТ = TC₁

K  DC, DK = КС.

Д о к а з а т ь:

ОЕ || ТК.

Доказательство:

1) ОЕ - средняя линия треугольника C₁A₁D, так как А₁О = ОС и А₁Е = ED. Значит, ОЕ || C₁D;

2) ТК - средняя линия треугольника C₁DC. Следовательно, ТК || CD.

3) По признаку параллельности двух прямых в пространстве ОЕ || ТК, так как каждая из них параллельна прямой DC₁, что и требовалось доказать.

Задача 2.

Д ано:

∆АВС, ∆ KBD,

ВО - их общая медиана.

Точки Т, Р, Q, Е - середины отрезков

ВС, BD, КО, АО соответственно

Доказать:

ТР \\QE.

Доказательство:

1) Четырехугольник AKCD - параллелограмм, так как его диаго­нали точкой пересечения О делятся пополам. Значит, АК || DC;

2) EQ || АК, так как EQ - средняя линия треугольника АОК;

3) EQ || DC, так как каждая из этих прямых параллельна прямой АК.

4) РТ || DC, так как РТ - средняя линия треугольника BDC.

5) Таким образом, PT || DC и EQ || DC. Значит, EQ || РТ, что и требовалось доказать.

Задача 3.

Дано:

О трезок АВ не пересекает плоскость α,

С  АВ, АС : СВ = 1 : 3,

АА₁ || ВВ₁ || СС₁,

где А₁ = АА₁  α, В₁ = ВВ₁  α, С₁ = CС₁  α.

AA₁ = 9 см; ВВ₁ = 5 см

Доказать:

А₁, В₁, С₁ - лежат на одной прямой;

Найти:

длину отрезка СС₁.

1. Докажем, что точки А₁, В₁, С₁ - лежат на одной прямой;

1) АА₁ || СС₁. Значит, существует еди­нственная плоскость β, проходящая через эти две прямые.

2) Прямая АВ лежит в плоскости β, так как две ее точки А и С лежат в этой плоскости.

3) β  α = А₁С₁, так как точки А₁, С₁ принадлежат обеим этим плоскостям.

4) В  β и ВВ₁ || СС₁, следовательно, В₁ лежит на прямой А₁С₁ пересечения плоскостей α и β, т.е., точки А₁, В₁, С₁ - лежат на одной прямой;

2. Найдем длину отрезка СС₁.

1) Для вычисления длины отрезка СС₁ проведем прямую ВВ₂ па­раллельно В₁А₁ · В₂ = ВВ₂  АА₁, С₂ = ВВ₂  СС₂.

2) ВВ₁ || А₁В₂ и ВВ₂ || B₁A₁ Значит, В₁ВС₂С₁ и В₁ВВ₂А₁ - парал­лелограммы, и ВВ₁ = С₂С₁ = В₂А₁ = 5 см, АВ₂ = 4 см.

3) ∆СВС₂  ∆АВВ₂, так как СС₂ || АВ₂. Значит,

4) Обозначим СС₂ = х. Тогда , следовательно х = 3, т.е. СС₂ = 3см.

5) СС₁ = СС₂ + С₂С₁ = 3+5 = 8см

Ответ: 8 см.

Задача 4.

Д ано:

TABCD - правильная четырехугольная

пирамида,

АВ = АТ,

точки Е, К, Р - середины ребер АТ, ТD,

TС соответственно.

l : Е  l и l || КР,

F = l  (TBC)

S_EFCD = S.

Построить: F.

Найти: S_0CH

Решение:

1. Построим F = l  (TBC).

F - существует, так как КР  (ТВС) = Р и EF || КР.

1) КР || DС, так как КР - средняя линия ∆ТDС и DC || AB, так как ABCD - квадрат. Значит, КР || АВ.

2) EF || КР и КР || АВ. Значит, EF || АВ.

3) Е - середина AT и EF || АВ, значит, EF — средняя линия тре­угольника АТВ. Поэтому искомая точка F - середина ребра ТВ.

2. Найдем S_0CH , учитывая, что S_EFCD = S.

1) Обозначим DC = x. Тогда EF = АВ = ; ED = FC = , как медианы правильных треугольников TAD и ТВС со стороной х.

2 ) Сделаем выносной чертеж трапеции DEFC

DH = , где ЕН  DC.

Тогда ЕН =

Тогда S_EFCD =

3) Получаем уравнение S =

Отсюда х² =

Нам нужно найти S_0CH пирамиды, а это и есть х².

Значит, S_0CH. =

Ответ:

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

1 случай – прямая лежит в плоскости (прямая b лежит в плоскости α, прямая m лежит в плоскости α )

2 случай – прямая и плоскость пересекаются (прямая а пересекает плоскость α в точке А, прямая m пересекает плоскость α в точке М)

3 случай – прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки

Параллельные прямая и плоскость в пространстве

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости в пространстве

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Доказательство

Пусть прямая а  в плоскости α, прямая b  α и а || b. Докажем, что а || α.

Пусть прямая а  α = Х. Точка Х  α, Х  β, проходящей через а || b. Значит т. Х  b, по которой α  β. Это противоречит условию. Значит а || α.

Что и требовалось доказать.

Свойство линии пересечения плоскостей

Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной плоскости.

УСТНЫЕ ЗАДАЧИ НА ЗАКРЕПЛЕНИЕ ТЕОРЕМЫ

1. Две плоскости пересекаются по прямой т. Прямая п лежит в одной из плоскостей и не параллельна другой плоскости. Как распо­ложены прямые тип?

2. Две плоскости пересекаются по прямой т. Прямая п лежит в одной из плоскостей и параллельна прямой т. Как расположена прямая п и вторая плоскость?

3. Прямая т лежит в плоскости а и параллельна плоскости (3; прямая п лежит в плоскости Р и параллельна плоскости а. Плоскос­ти а и Э пересекаются по прямой р. Определить взаимное располо­жение прямых m и п.

ЗАДАЧИ НА ЗАКРЕПЛЕНИЕ ТЕОРЕМЫ

Задача №1.

Дана плоскость а и точка М вне ее. Через точку М проведите прямую т, параллельную плоскости а.

Решение:

1 . Выберем произвольную прямую а в плоскости а.

2. Прямая а и точка М задают единственную плоскость β, так как М  α.

3. В плоскости β существует единственная прямая т такая, что М  т и т || а.

4. Прямая т - искомая, так как т || а и а  α, значит по призна­ку параллельности прямой и плоскости т || a; M  т по построению

5. Так как выбор прямой а в плоскости α произволен, то задача имеет бесчисленное множество решений.

Таким образом, через точку пространства можно провести бесчи­сленное множество прямых, которые параллельны данной плоскости.

Задача№ 2.

Дана прямая а и точка М, не принадлежащая а. Че­рез точку М проведите плоскость α, параллельную прямой а.

Решение:

1 . Через точку М и прямую а проходит единственная плоскость β

2. В плоскости β через точку М прове­дем прямую b || а. Такая прямая единст­венная.

3. Через прямую b проведем некоторую плоскость α, отличную от β .

4. Плоскость α параллельна прямой а по признаку параллельности прямой и плоско­сти (так как b α и b || α).

Поскольку через прямую b можно провести бесчисленное множество плоскостей, не совпадающих с β, то задача имеет беско­нечно много решений.

Решение задач

Задача №1.

Задача №2.

Задача №3.

Задача №4.

Задача №5.

Задача №6.

Задача №7.

Задача №8.

Скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Возможны три случая взаимного расположения прямых в пространстве:

1 случай – прямые пересекаются

2 случай – прямые параллельны

3 случай – прямые скрещиваются

Скрещивающиеся прямые

Две прямые называются скрещивающимися, если не существует плоскости, в которой они обе лежат.

Наглядное представление о скрещивающихся прямых

Признак скрещивающихся прямых

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Решение задач

Задача №1.

Задача №2

Задача №3

Теоремы о скрещивающихся прямых

Теорема 1.

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Любая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части, называемые полуплоскостями. Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей.

Углы с сонаправленными сторонами

Теорема об углах с сонаправленными сторонами

Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

Угол между прямыми

Пусть α - тот из углов, который не превосходит любой из трех остальных углов. Тогда говорят, что угол между пересекающимися прямыми равен α.

Угол между скрещивающимися прямыми

Через произвольную точку М₁ проведем прямые m и n, соответственно параллельные прямым a и b.

Угол между скрещивающимися прямыми a и b равен φ.

Точку М можно выбрать произвольным образом. В качестве точки М удобно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых.

Решение задач

Задача №1.

Задача №2.

Задача №3.

Задача №4.

Задача №5.

Взаимное расположение двух плоскостей.

Признак параллельности плоскостей.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Возможны два случая взаимного расположения плоскостей в пространстве:

1 случай – плоскости пересекаются

2 случай – плоскости не пересекаются, т.е. параллельны

Параллельные плоскости

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Признак параллельности плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство.

П усть α и β — данные плоскости,

а₁ и а₂ — прямые в плоскости α,, пересекающиеся в точке А,

b₁ и b₂ — соответственно параллельные им прямые в плоскос­ти β..

Допустим, что плоскости α и β не параллельны, т. е. пересекаются по некоторой прямой с.

По признаку параллельности прямой и плоскости пря­мые а₁ и а₂, как параллельные прямым b₁ и b₂, параллельны плоскости β,, и поэтому они не пересекают лежащую в этой плоскости прямую с.

Таким образом, в плоскости α через точ­ку А проходят две прямые (с₁ и с₂), параллельные прямой с. Но это невозможно по аксиоме параллельных.

Мы пришли к противоречию.

Теорема доказана.

Свойства параллельных плоскостей

Если прямая а пересекает плоскость α, то она пересекает также любую плоскость, параллельную данной плоскости α.

Если плоскость γ пересекает одну из параллельных плоскостей α или β, то она пересекает и другую плоскость.

Свойства параллельных плоскостей

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Решение задач

Задача 1.

Задача 2.

Задача 3.

Задача 4.

Задача 5.

Задача 6.

Задача 7.