Tasodifiy miqdorlar dispersyasi.

FARG‘ONA DAVLAT UNIVERSITETI

MATEMATIKA VA INFORMATIKA FAKULTETI

AMALIY MATEMATIKA VA INFORMATIKA YO‘NALISHI

EHTIMOLLAR NAZARIYASI VA MATEMATIK STATISTIKA

fanidan

MUSTAQIL ISH

Mavzu: Tasodifiy miqdorlar dispersiyasi

Bajardi: Rahmonov Xurshidbek

Qabul qiluvchi: U. Xonqulov

Farg’ona-2022

Reja:

1. Tasodifiy miqdor tushunchasi va uning turlari

2. Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi

2.1. Matematik kutilmaning xossalari

3. Diskret tasodifiy miqdor tarqoqligining sonli xarakteristikalari

4. Dispersiyaning xossalari

1. Tasodifiy miqdor tushunchasi va uning turlari

Tasodifiy miqdor deb dastlab ma’lum bo’lmagan, oldindan hisobga olinishi mumkin bo’lmagan tasodifiy sabablarga bog’liq bo’lgan bitta va faqat bitta mumkin bo’lgan qiymatni tajriba natijasida qabul qiladigan kattalikka aytiladi.

Tasodifiy miqdor deb elementar hodisalar fazosida aniqlangan ( ) funktsiyaga aytiladi.

Tasodifiy miqdorlar bosh lotin harflari, ularning mumkin bo’lgan qiymatlari esa mos kichik harflar bilan belgilanadi. Masalan, X tasodifiy miqdor uchta qiymatga ega bo’lishi mumkin bo’lsa, ular orqali belgilanadi.

Diskret (uzlukli) tasodifiy miqdor deb ayrim, ajralgan mumkin bo’lgan qiymatlarni ma’lum ehtimolliklar bilan qabul qiluvchi tasodifiy miqdorga aytiladi. Diskret tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlarining soni chekli yoki cheksiz bo’lishi mumkin. Bunga misol sifatida 1-misoldagi tasodifiy miqdorni olish mumkin.

Uzluksiz tasodifiy miqdor deb biror chekli yoki cheksiz oraliqdagi barcha qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo’lgan tasodifiy miqdorga aytiladi. Uzluksiz tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlarining soni cheksizdir. Bunday tasodifiy miqdorga misol sifatida 2-misoldagi tasodifiy miqdorni olish mumkin.

Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni deb mumkin boʻlgan qiymatlar bilan ularning ehtimollari orasidagi moslikka aytiladi. Taqsimot qonunini jadval orqali, analitik usulda (formula koʻrinishida) va grafik usulda berish mumkin.

Diskret va uzluksiz t.m.lar taqsimotlarini berishning universal usuli ularning taqsimot funksiyalarini berishdir. Taqsimot funksiya F(x) orqali belgilanadi.

F(x) funksiya X t.m.ning taqsimot funksiyasi xϵR son uchun quyidagicha aniqlanadi:

(1.1)

Taqsimot funksiyasi quyidagi xossalarga ega:

1. F(x) chegaralangan:

1. F(x) kamaymaydigan funksiya: agar bo’lsa, u holda

1. 

2. Funksiya chapdan uzluksiz:

Diskret t.m taqsimot funksiyasi quyidagicha ifodalanadi:

Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonunining jadval orqali berilishida jadvalning birinchi satri mumkin boʻlgan qiymatlardan ikkinchi satri esa ularning ehtimollaridan tuziladi:

Bitta sinashda tasodifiy miqlor mumkin boʻlgan qiymatlardan bittasini va faqat bittasini qabul qilishini nazarda tutib, hodisalar toʻla gruppa tashkil qiladi, degan xulosaga kelamiz; demak, bu hodisalarning ehtimollari yigʻindisi, yaʼni jadvalning ikkinchi satridagi ehtimollar yigʻindisi birga teng:

Misol. Pul loteryoyasida 100 ta bilet chiqarilgan. Bitta 50 soʻmlik yutuq va oʻnta 1 soʻmlik yutuq oʻynalmoqda. X tasodifiy miqdor—bitta lotereyasi bor kishi yutuqlari taqsimot qonunini toping.

Yechilishi. X ning mumkin boʻlgan qiymatlarini yozamiz:

x = 50, x= 1, x = 0.

Bu mumkin boʻlgan qiymatlarning ehtimollari quyidagicha;

p= 0,01, p= 0,1, p= 1—(p+p)=0,89.

Izlanayotgan taqsimot qonunini yozamiz:

X 50 10 0

p 00,1 0,1 0,89

Tekshirish. 0,01+0,1+0,89 = 1.

Binomial taqsimot

Faraz kilaylik, n ta erkli sinash oʻtkazilayotgan boʻlib, ularning har birida A hodisa roʻy berishi yoki roʻy bermasligi mumkin boʻlsin. Har bir sinashda hodisaning roʻy berishi oʻzgarmas va p ga teng (demak, hodisaning roʻy bermaslik ehtimoli q=1-p ga teng). X diskret tasodifiy miqdor sifatida bu sinashlarda A hodisaning roʻy berish sonini olamiz.

Oʻz oldimizga X miqdorning taqsimot qonunini topish masalasini qoʻyamiz. Bu masalani hal etish uchun X ning mumkin boʻlgan qiymatlari va ularning ehtimollarini aniqlash talab qilinadi.

Koʻrinib turibdiki, n ta sinashda A hodisa yo roʻy bermaydi, yoki 1 marta, yoki 2 marta, ..., yoki n marta roʻy berishi mumkin. Shunday qilib, X ning mumkin boʻlgan qiymatlari quyidagicha:

Bu mumkin boʻlgan qiymatlarining ehtimollarini topish qoldi, buning uchun Bernulli formulasidan foydalanish yetarlidir:

bu yerda k = 0,1,2,... ,n.

(*) formula izlanayotgan taqsimot qonunining analitik ifodasidir.

Ehtimollarning binomial taqsimoti deb, Bernulli formulasi bilan aniqlanadigan ehtimollar taqsimotiga aytiladi.

Qonunning “binomial” deyilishiga sabab, (*) formulaning oʻng tomonini Nyuton binomi yoyilmasining umumiy hadi sifatida qarash mumkin:

Shunday qilib, yoyilmaning birinchi pⁿ hadi qaralayotgan hodisaning n ta sinashda n marta roʻy berish ehtimolini, np^n-1q ikkinchi hadi hodisaning n-1 marta roʻy berish ehtimolini, ..., oxirgi qⁿ hadi hodisaning bir marta ham roʻy bermaslik ehtimolini aniqlaydi.

Binomial qonunini jadval koʻrinishda yozamiz:

Puasson taqsimoti

Har birida A hodisaning roʻy berish ehtimoli p ga teng boʻlgan n ta erkli sinash oʻtkazilayotgan boʻlsin. Bu sinashlarda hodisaning k marta berish ehtimolini topish uchun Bernulli formulasidan foydalaniladi.

Bu formula ommaviy (n katta) kam roʻy beradigan (p kichik) hodisalar ehtimollarining Puasson taqsimoti qonunini ifodalaydi.

2. Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi

Tasodifiy miqdorni yigʻma tasvirlaydigan sonlardan foydalanish qulayroq boʻladi; bunday sonlar tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari deyiladi. Muhim sonli xarakteristikalar jumlasiga matematik kutilish tegishlidir.Matematik kutilish taqriban tasodifiy miqdorning oʻrtacha qiymatiga teng. Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi deb, uning barcha mumkin boʻlgan qiymatlarini mos ehtimollarga koʻpaytmalari yigʻindisiga aytiladi.

X tasodifiy miqdor faqat qiymatlarni mos ravishda ehtimollar bilan qabul qilsin.Bu holda X tasodifiy miqdorning M (X) matematik kutilishi quyidagi tenglik bilan aniqlanadi:

Misol. X tasodifiy mikdorning taqsimot qonunini

bilgan holda uning matematik kutilishini toping:

X 3 5 2

P 0,1 0,6 0,3.

Yechilishi. Izlanayotgan matematik kutilish tasodifiy miqdorning barcha mumkin boʻlgan qiymatlarini ularning ehtimollariga koʻpaytmalari yigʻingisiga teng:

M(X)= 

2.1. Matematik kutilmaning xossalari

1-xossa. Oʻzgarmas miqdorning matematik kutilishi shu oʻzgarmasning oʻziga teng:

Isboti. C oʻzgarmasni mumkin boʻlgan bitta C qiymat ga ega boʻlgan va uni p=1 ehtimol bilan qabul qiluvchi diskret tasodifiy miqdor sifatida qaraymiz. Demak,

1. eslatma. C oʻzgarmas miqdorini X diskret tasodifiy miqdorga koʻpaytmasi deb, shunday CX diskret tasodifiy miqdorini olamizki, uning mumkin boʻlgan qiymatlari X ning mumkin boʻlgan qiymatlarini C oʻzgarmasga koʻpaytmalariga teng; CXning mumkin boʻlgan qiymatlarining ehtimollari X ning mumkin boʻlgan tegishli qiymatlarining ehtimollariga teng. Masalan, mumkin boʻlgan x qiymatning ehtimoli p ga teng boʻlsa, u holda CX miqdorning Cx qiymatni qabul qilish ehtimoli ham p ga teng boʻladi.

Misol. Erkli X va Y tasodifiy miqdorlar quyidagi taqsimot qonunlari orqali berilgan:

X 5 2 4 Y 7 9

p 0,6 0,1 0,3 g 0,8 0,2.

XY tasodifiy miqdorning matematik kutilishini toping.

Yechilishi. Berilgan miqdorlarning har birining matematik kutilishini topamiz:

M(X) =5·0,6+2·0,1 +4·0,3=4,4;

M(Y) =7·0,8 + 9·0,2 = 7,4.

X va Y tasodifiy miqdorlar erkli boʻlganligi uchun izlanayotgan matematik kutilish quyidagiga teng:

= 4,4·7,4=32,56.

Natija. Bir nechta oʻzaro erkli masodifiy miqdorlar koʻpaytmasining matematik kutilishi ularning matematik kutishlari koʻpaytmasiga teng.

Masalan, uchta tasodifiy miqdor uchun:

4-xossa. Ikkita tasodifiy miqdor yigʻindisining matematik kutilishi qoʻshluvchilarning matematik kutilishlar yig’indisiga teng:

Isboti. X va Y tasodifiy miqdorlar quyidagi taqsimot qonunlar orqali berilgan boʻlsin:

X + Y ning barcha mumkin boʻlgan qiymatlarini tuzamiz, buning uchun X ning mumkin boʻlgan har bir qiymatiga Y ning mumkin boʻlgan har bir qiymatini qoʻshamiz: ni hosil qilamiz. Bu qiymatlarning ehtimollarini mos ravishda orqali belgilaymiz.

X+Y miqdorning matematik kutilishi mumkin boʻlgan qiymatlarni ularning ehtimollariga koʻpaytmalari yigʻindisiga teng:

Yoki

ekanligini isbotlaymiz. X tasodifiy miqdor x₁ qiymatni qabul qilish hodisasi (bu hodisani ehtimoli p₁ ga teng) X+Y tasodifiy miqdor yoki qiymatni qabul qilish hodisasini (bu hodisaning ehtimoli qoʻshish teoremasiga koʻra ga teng) ergashtiradi va aksincha. Bundan tenglik kelib chiqadi. Ushbu tengliklar xam shunga oʻxshash isbotlanadi. Bu tengliklarning oʻng tomonlarini (*) munosabatga qoʻyib quyidagini hosil qilamiz:

yoki uzil-kesil

.

Natija. Bir nechta tasodifiy miqdorlar yigʻindisining matematik kutilishi qoʻshiluvchilar matematik kutilishlarining yigʻindisiga teng.

Masalan, uchta qoʻshiluvchi uchun quyidagini hosil qilamiz.

Misol. Ikkita oʻyin soqqasi tashlanganda tushishi mumkin boʻlgan ochkolar yigʻindisining matematik kutilishini toping.

Yechilishi. Birinchi soqqada tushishi mumkin boʻlgan ochkolar sonini X orqali, ikkinchisinikini Y orqali belgilaymiz. Bu miqdorlarning mumkin boʻlgan qiymatlari bir xil boʻlib, ular 1, 2, 3, 4, 5 va 6 ga teng, shu bilan birga bu qiymatlardan har birining extimoli _{ } ga teng.

Birinchi soqqada tushishi mumkin boʻlgan ochkolar sonining matematik kutilishini topamiz:

ekanligi ham ravshan.

Izlanayotgan matematik kutilish:

=_{ } = 7

3. Diskret tasodifiy miqdor tarqoqligining sonli xarakteristikalari

Matematik kutilishlari bir xil, lekin mumkin boʻlgan qiymatlari har xil boʻlgan tasodifiy miqdorlarni koʻrsatish qiyin emas.

Masalan, quyidagi taqsimot qonunlari bilan berilgan X va Y diskret tasodifiy miqdorlarni koʻraylik:

X -0,01 0,01 Y -100 100

P 0,5 0,5 p 0,5 0,5

miqdorlarning matematik kutulishlarini topamiz:

M(X) = -0,01 0,5 + 0,01 0,5 = 0,

M(Y)=-100 0,5+100 0,5 = 0.

Bu yerda ikkala miqdorining ham matematik kutilishi bir xil, mumkin boʻlgan qiymatlari esa har xil, shu bilan birga X ning mumkin boʻlgan qiymatlari uning matematik kutilishiga yakin. Y ning mumkin boʻlgan qiymati esa oʻzining matematik kutilishidan ancha uzoq. Shunday qilib, tasodifiy miqdorning fakat matematik kutilishini bilgan holda uning qanday qiymatlar qabul qilishi mumkinligi haqida ham, bu qiymatlar matematik kutilish atrofida qanday sochilganligi haqida ham biror mulohaza yuritish mumkin emas. Boshqacha qilib aytganda, matematik kutilish tasodifiy miqdorni toʻliq xarakterlamaydi. Shu sababli matematik kutilish bilan bir qatorda boshqa sonli xarakteristikalar ham kiritiladi. Jumladan, tasodifiy miqdorning mumkin boʻlgan qiymatlari uning matematik kutilishi atrofida qanchalik tarqoqligini baholash uchun dispersiya deb ataluvchi sonli xarakteristikadan foydalaniladi.

Aytaylik, X - tasodifiy miqdor. M(X) uning matematik kutilishi boʻlsin. Yangi tasodifiy miqdor sifatida X–M(X)ayirmani qaraymiz. Chetlanish deb, tasodifiy miqdor bilan uning matematik kutilishi orasidagi farqqa aytiladi.

X ning taqsimot qonuni maʼlum boʻlsin:

Chetlanishning taqsimot qonunini yozamiz. Chetlanish X–M(X) qiymat qabul qilishi uchun tasodifiy miqdor x₁ qiymat qabul qilishi kifoya. Bu hodisaning ehtimoli esa p₁ ga teng; demak, chetlanishning ham x₁–M(X) qiymat qabul qilish ehtimoli p₁ ga teng. Chetlanishning boshqa mumkin boʻlgan qiymatlari uchun ham yuqoridagiga oʻxshash mulohazalar oʻrinli.

Shunday qilib, chetlanish quyidagi taqsimot qonuniga ega.

Chetlanishning keyinchalik qoʻllanadigan muhim xossasini keltiramiz.

Teorema. Chetlanishning matematik kutilish nolga teng:

.

Isboti. Matematik kutilishining xossalaridan (ayirmaning matematik kutilishi matematik kutilishlar ayirmasiga teng, oʻzgarmas sonning matematik kutilishi oʻsha oʻzgarmasning oʻziga teng) foydalanib va M(X) oʻzgarmas ekanligini nazarda tutib, quyidagini hosil qilamiz:

Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi (tarqoqligi) deb, tasodifiy miqdorni oʻzining matematik kutilishidan chetlanishi kvadratining matematik kutilishiga aytiladi:

.

Tasodifiy miqdor taqsimot qonuni bilan berilgan boʻlsin:

U holda chetlanish kvadrati quyidagi taqsimot qonuniga ega bo’ladi:

Shunday qilib, dispersiyani hisoblash uchun chetlanish kvadratining mumkin boʻlgan qiymatlarini ularning ehtimollariga koʻpaytmalari yigʻindisini hisoblash kifoya.

Misol. Quyidagi taqsimot qonuni bilan berilgan X diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasini toping.

X 1 2 5

p 0,3 0,5 0,2.

Yechilishi. Matematik kutilishni topamiz:

M(X)= 1· 0,3 +2· 0,5 +5· 0,2= 2,3.

Chetlanish kvadratining mumkin boʻlgan barcha qiymatlarini topamiz:

= (1-2,3)²=1,69;

= (2 - 2,3)²=0,09;

=(5 -2,3)²= 7,29.

Chetlanish kvadratining taqsimot qonunini yozamiz:

1,69 0,09 7,29

p 0,3 0,5 0,2.

Taʼrifga koʻra dispersiya quyidagiga teng:

D(X)= 1,69 ·0,3 +0,09· 0,5+7,29· 0,2 = 2,01.

Teorema. Dispersiya X miqdor kvadratining matemamik kutilishidan X ning matematik kutilishi kvadratini ayirilganiga teng:

Isboti. M(X) matematik kutilish oʻzgarmas miqdor. demak, 2M(X) va M²(X) ham oʻzgarmas miqdorlardir. Buni nazarda tutib va matematik kutilishning xossalaridan (oʻzgarmas koʻpaytuvchini matematik kutilish belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, yigʻindining matematik kutilishi qoʻshiluvchilar matematik kutilishlarining yigʻindisiga teng) foydalanib, dispersiya taʼrifini ifodalovchi formulani soddalashtiramiz:

Shunday qilib,

Misol. Quyidagi taksimot qonuni bilan berilgan X tasodifiy miqdorning dispersiyasini toping:

X 2 3 5

p 0,1 0,6 0,3.

Yechilishi. M(X) matematik kutilishni topamiz:

M (X)=2· 0,1 +3·0,6 +5·0,3 = 3,5.

X² tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini topamiz:

X² 4 9 25

p 0,1 0,6 0,3.

M (X²) matematik kutilishni topamiz:

M(X²)=4·0,1 +9·0,6+25·0,3=13,3.

Izlanayotgan dispersiya:

= 13,3- (3,5)²=1,05.

4. Dispersiyaning xossalari

1-xossa. C o`zgarmas miqdorning dispersiyasi nolga teng:

Isboti. Dispersiya ta’rifiga ko`ra:

Matematik kutilishning birinchi xossasidan (o`zgarmasning matematik kutilishi uning o`ziga teng) foydalanib quyidagini hosil qilamiz:

Shunday qilib,

O`zgarmas miqdor hamma vaqt bir xil qiymat saqlashini, va demak, tarqoqlikka ega emasligini inobatga olsak, bu xossa oydin bo`lib qoladi.

2-xossa. O`zgarmas ko`paymuvchini kvadratga oshirib, dispersiya belgisidan tashqariga chiqarish mumkin:

Isboti. Dispersiya ta`rifiga ko`ra:

Matematik kutilishning ikkinchi xossasidan (o`zgarmas ko`paytuvchini matematik kutilish belgisidan tashqariga chiqarish mumkin ) foydalanib ,quyidagini hosil qilamiz:

Shunday qilib ,

Agar bo`lsa, CX miqdorning mumkin bo`lgan qiymatlari (absolyut qiymat bo`yicha ) X miqdorning qiymatlaridan kata bo`lishini e`tiborga olsak ,bu xossa tushunarli bo`ladi.Bundan CX qiymatlarining M(CX) matematik kutilish atrofida tarqoqligi X qiymatlarining M(CX) matematik kutilish atrofida tarqoqligi X qiymatlarining M(X) atrofida tarqoqligidan ko`proq bo`lishi ,ya`ni

D(CX)D(X) kelib chiqadi.Aksincha ,agar bo`lsa,u holda D(CX)

3-xossa. Ikkita erkli tasodifiy miqdor yig`indisining dispersiyasi bu miqdorlar dispersiyalarning yig`indisiga teng:

Isboti .Dispersiyani hisoblash formulasi bo`yicha :

_{ }.

Qavslarini ochib hamda bir nechta miqdorlar yig`indisining va ikkita erkli tasodifiy miqdor ko`paytmasining matematik kutilishlari xossalaridan foydalanib,quyidagini hosil qilamiz:

Shunday qilib,

1-natija.Bir nechta o`zaro erkli tasodifiy miqdorlar yig`indisining dispersiyasi bu miqdorlarning dispersiyalari yig`indisiga teng.

Masalan,uchta qo`shiluvchi uchun

Ixtiyoriy sondagi qo`shiluvchilar uchun isbot mtematik induksiya metodi bilan olib boriladi,

2-natija.O`zgarmas miqdor bilan taodifiy miqdor yig`indisining dispersiyasi tasodifiy miqdorning dispersiyasiga teng:

Isboti. C va X miqdorlar o`zaro erkli,shuning uchun uchinchi xossaga asosan:

Birinchi xossaga asosan D(C)=0 .Demak,

X va X+C miqdorlar faqat sanoq boshi bilan farq qilishi ,va demak, ular o`zlarining matematik kutishlari atrofida bir xil tarqoqligini e`tiborga olsak, xossa tushunarli bo`ladi.

4-xossa.Ikkita erkli tasodifiy miqdor ayirmasining dispersiyasi ularning dispersiyalari yig`indisiga teng:

Isboti.Uchinchi xossaga asosan:

Ikkinchi xossaga asosan :

yoki

Bir xil taqsimlangan va demak ,bir xil xarakteristikalarga ( matematik kutilish dispersiya va boshqalar ) ega bo`lgan o`zaro erkli n ta tasodifiy miqdorlarni qaraylik.Shu miqdorlarning arifmetik o`rtacha qiymatining sonli xarakteritikalarini o`rganish katta ahamiyayga ega.Biz bu paragrafda shu masala bilan shug`ullanamiz.

Qaralayotgan tasodifiy miqdorlarning arifmetik qiymatini orqali belgilaymiz:

Quyidagi uch holat _{ } arifmetik o`rtacha qiymatning sonli xarakteristikalari orasida aloqa o`rnatadi.

1.O`zaro erkli va bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlarning arifmetik o`rtacha qiymatining matematik kutilishi har bir miqdorning matematik kutilishi a ga teng:

Isboti.Matematik kutilish xossalaridan ( o`zgarmas ko`paytuvchini matematik kutilish belgisidan tashqariga chiqarish mumkin; yig`indining matematik kutilishi qo`shiluvchilarning matematik kutilishlari yig`indisiga teng) quyidagi xossani hosil qilamiz:

Miqdorlardan har birining matematik kutilishi a aga tengligini nazarga olib, quyidagini hosil qilamiz:

2.N ta o`zaro erkli,bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar arifmetik o`rtacha qiymatining dispersiyasi miqdorlardan har birining D dispersiyasidan n marta kichik:

(*)

Isboti.Dispersiya xossalaridan foydalanib ( o`zgarmas ko`paytuvchini dispersiya belgisidan tashqariga kvadratga oshirib chiqarish mumkin ; erkli miqdorlar yig`indisining dispersiyasi qo`shiluvchilar dispersiyalari yig`indisiga teng ,quyidagini hosil qilamiz:

3. Miqdorlardan har birining dispersiyasi shartga ko`ra D ga tengligini e`tiborga olib,quyidagini hosil qilamiz:

n ta o`zaro erkli ,bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar arifmetik o`rtacha qiymatining o`rtacha o`rtacha kvadratik chetlanishi shu miqdorlardan har birining o`rtacha kvadratik chetlanishi dan marta kichik:

(**)

Isboti . bo`lgani uchun ning o`rtacha kvadratik chetlanishi

(*) va (**) formulalardan kelib chiqadigan umumiy xulosa:dispersiya va o`rtacha kvadratik chetlanish tasodifiy miqdorning tarqoqlik o`lchovlari bo`lgani uchun yetarlicha katta sondagi o`zaro erkli tasodifiy miqdorlarning arifmetik o`rtacha qiymati har bir miqdorga qaraganda ancha kichik tarqoqlikka ega .

21