Старые и новые способы решения задач на клетчатой бумаге. Формула Пика.

Старые и новые способы решения задач на клетчатой бумаге.

Выполнил: Москвин А., 5 «Ж» класс

Научный руководитель: Луценко Н.Н.

«В задачах по элементарной геометрии приходится пользоваться очень остроумными, подчас тонкими приемами, и тот, кто в молодости вкусил их прелесть, никогда их не забудет»

Э. Борель

• Клетчатая бумага у многих ассоциируется с математикой
• Математика – удивительная наука
• Записывать числа, чертить фигуры на бумаге в клетку значительно легче;

• Клетка – это квадрат, сторонами которого можно измерять длины отрезков без линейки, а самими квадратами можно измерить площадь, ведь 4 клетки – это квадратный сантиметр.

Задачи с клетчатой бумагой:

• Задачи на разрезание и замощение;
• Задачи на раскраску;
• Целочисленные решетки;
• Магические квадраты;
• Игры на клетчатой бумаге;
• Задачи на шахматной доске и мн. др.

ВПР

ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ФИГУР НА КЛЕТЧАТОЙ БУМАГЕ

ДКР

ЕГЭ

СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ФИГУР НА КЛЕТЧАТОЙ БУМАГЕ

Прямоугольный треугольник

Прямоугольник

Квадрат

S= a*b

S= a*a

S= (а*b) :2

Основные свойства площадей:

• Равные фигуры имеют равные площади

• Площадь фигуры равна сумме площадей ее частей

• Фигуры на клетчатой бумаге можно делить на части, площади которых мы умеем находить

Формула Пика

Возможно эта формула может заменить все остальные?

Формула Пика – самый рациональный способ решения задач на вычисление площадей фигур на клетчатой бумаге.

Гипотеза

• Объект исследования : Формула Пика.

• Предмет исследований : различные способы решения задач на нахождение площадей многоугольников на клетчатой бумаге.

• Цель : исследование преимуществ и минусов использования формулы Пика при решении задач в сравнении с другими способами решений

• Задачи:

• Собрать, проанализировать и изучить информацию о задачах на клетчатой бумаге и способах их решения.
• Научиться применять формулу Пика и узнать больше о её создателе.
• Выяснить насколько хорошо учащиеся нашей школы умеют решать задачи на вычисление площадей на клетчатой бумаге и применяют ли они при этом формулу Пика.
• Сравнить способы решения и выявить их плюсы и минусы.
• Провести эксперимент с целью выяснить, влияет ли выбор способа решения на скорость выполнения задания.

Задачи на вычисление площадей фигур на клетчатой бумаге из ОГЭ, ЕГЭ:

• на вычисление углов;
• вычисление длин отрезков;
• площадей разных фигур – 2 способа:

Способ достраивания фигур

Способ разбиения фигур

Примеры применения этих способов:

1).

Разобьем трапецию АВСD на 2 части

По свойству площадей:

S = S1 + S2 =

= (2∙3):2 + 3∙2 = 3 + 6 = 9 см²

Ответ: 9 см²

Примеры применения этих способов:

2).

Достроим АВСD до прямоугольника.

Из площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных простых фигур (1, 2, 3 и 4):

S = S п – S1 – S2 – S3 – S4 = 4∙4 – (3∙1):2 – (3∙1):2 – (3∙1):2 – (3∙1):2 = 16 – 1,5 – 1,5 – 1,5 – 1,5 = 10 см²

Вывод:

• Вычислять площади фигур перечисленными способами не очень сложно, но нужно знать формулы и быть сообразительным.
• Есть ещё один способ вычисления площадей, но он подходит только для многоугольников, вершины которых расположены в узлах клеток. Рассмотрим его подробнее

Георг Пик и его замечательная формула:

Георг Пик   (1859 - 1942)

• был австрийским математиком еврейского происхождения.
• Он умер в концлагере Терезиенштадт.
• С именем Пика связаны математические понятия: матрица Пика, интерполяция Пика, лемма Шварца – Пика.
• Но более всего он известен как автор теоремы или формулы Пика , для расчета площади многоугольника, которую он доказал в 1899 году.
• В Германии эта формула, которая привлекает многих своей простотой и изяществом, включена в школьные учебники.

Формула Пика

• Формула основана на подсчёте количества узлов, лежащих внутри фигуры и на её границе.
• Узел клетки – это точка пересечения двух линий клетчатой бумаги.
• По формуле Пика для того, чтобы вычислить площадь многоугольника, нужно посчитать N – число узлов внутри фигуры и M – число узлов на её границах.

Формула Пика

• Задача 1 : Найти площадь треугольника.

Отметим внутренние узлы и узлы, которые находятся на границах.

N = 7 (внутренние)

M = 8 (узлы на границах).

Площадь треугольника: S = 7 + 8:2 -1 = 10.

Формула Пика

• Задача 2: Найти площадь трапеции по клеточкам.

Отметим все узлы и подсчитаем их количество.

N = 11 (внутренние).

M = 12 (узлы на границах).

Площадь трапеции: S = 11 + 12:2 - 1 = 10.

Исследовательская часть:

Сравнительный анализ способов решения задач на вычисление площадей многоугольников по клеткам:

Исследовательская часть:

• мы решили несколько задач на клетчатой бумаге двумя разными способами : достраивая фигуру или деля фигуру на части;

по формуле Пика.

• сравнили способы решения и сделали выводы по преимуществам применения того или иного способа решения.

Исследовательская часть:

1.

1)Можно воспользоваться формулой площади треугольника:

S=9*9:2=81:2=40, 5.

2)Можно достроить треугольник до квадрата со стороной 9. Затем разбить данный треугольник на д ва и увидеть, что его площадь составляет половину площади квадрата.

S=81:2=40,5.

M=15, N=34,

S=(15:2)+34-1=7,5+33=40,5

Вывод по задаче.

• все способы решения равнозначны по сложности применения.
• В каждом требуется знать только одну формулу и считать клеточки или узлы клеток.

Исследовательская часть:

2.

1) Воспользуемся формулой параллелограмма:

S=ah

S=7*4=28.

2)Путём разбиения и перестановки частей параллелограмма = прямоугольник с такой же площадью. Останется только вычислить площадь прямоугольника с помощью формулы или посчитать, сколько клеточек в нем помещается .

M=18, N=20,

S=18:2+20-1=28.

Вывод по задаче.

первый способ более короткий, но нужно знать формулу площади параллелограмма.

Исследовательская часть:

3.

1)Здесь можно применить формулу нахождения S трапеции:

S= (a+b):2*h

S=(6+12):2*4=36

2)Также можно воспользоваться

разбиением фигуры на части,

дополняя и достраивая ее , считая

по клеточкам, допускается использование различных формул .

M=24, N=25,

S=24:2+25-1=36

Вывод по задаче. Решение первым способом довольно легкое , достаточно знать формулу площади трапеции или с помощью достраивания и формул вычислить S. Во втором варианте много точек и долго их считать, можно ошибиться . В этой задаче легче и удобнее оказался 1-й способ решения задачи.

Исследовательская часть:

4.

S=S 1- S 2 -S 3 -S 4 -S 5 =11*7-15:2-24:2-9:2-8:2=77-7,5-12-4,5-4=77-28=49.

Достраиваем фигуру до прямоугольника , затем из его площади вычитаем площади четырёх треугольников .

M=14,N=43,

S=14:2+43-1=49

Вывод по задаче. Первый способ занимает много времени, не смотря на простые формулы и достраивание пятиугольника до прямоугольника, использование формул площади треугольника и прямоугольника. Формула Пика же занимает гораздо меньше времени, и значит можно считать 2-ой способ более уместным в этой задаче.

Исследовательская часть:

5.

Разбиваем фигуру на прямоугольник и три треугольника, которые являются половинами прямоугольников.

S 1 =6, S 2 =3:2=1,5; S 3 +S 4 =2.

S=6+1,5+2=9,5.

M=11, N=5,

S=11:2+5-1=9,5.

Вывод по задаче. Оба способа здесь не занимают много времени, но по первому способу сложнее догадаться, как разбить фигуру и вычислений больше. Второй способ в этой задаче я бы применил более охотно.

Исследовательская часть:

6.

M=7, N=2,

S=7:2+2-1=4,5.

Разбиение показано.

16-4,5-2-2-3=4,5.

Вывод по задаче. Второй способ здесь несколько проще.

Исследовательская часть:

7.

M=4, N=0,

S=4:2+0-1=1.

Достраиваем фигуру до прямоугольника: S пр =3*3=9. Вычитаем площади двух равновеликих прямоугольника и площадь четырехугольника.

S=9-6-2=1.

В этой задаче удобнее применять формулу Пика. Тогда не придётся ломать голову над тем как разбить фигуру и вычислить искомую площадь.

Исследовательская часть:

Выявление наличия навыков решения подобных задач среди учащихся 5 и 11 классов нашей школы и самых распространенных способов решения, которые они применяют

Исследовательская часть:

11 А, 11 В классы

Исследовательская часть:

Исследовательская часть:

Исследовательская часть:

5А, 5Б, 5Ж классы

Исследовательская часть:

Исследовательская часть:

Исследовательская часть:

Выводы:

• В классах, где учащиеся хорошо знают формулы площадей и умеют их применять нет смысла изучать ещё одну формулу дополнительно к остальным.
• Вводить для изучения в младших классах эту формулу тоже опасно. Это может привести к тому, что учащиеся потеряют интерес к изучению формул для вычисления площади, а с помощью их решаются различные задачи, в которых формулу Пика применить нельзя.

Исследовательская часть:

• Чтобы выяснить, каким способом можно вычислить площадь быстрее, мы провели эксперимент по вычислению средней скорости решения.

Исследовательская часть:

Группе учащихся 11 класса, которые хорошо владеют всеми способами решения, предложили решить два контрольных задания с небольшим промежутком времени между их выполнением.

Первое задание нужно было выполнить, используя формулу Пика , а второе любым из старых способов решения. После этого мы вычислили среднюю скорость решения одной задачи каждым из способов.

Старый способ решения

Определение способа решения, который экономит время на экзамене.

Формула Пика

Определение способа решения, который экономит время на экзамене.

Среднее время решения

Определение способа решения, который экономит время на экзамене.

Выводы:

• Только один человек показал время хуже при использовании формулы Пика. При этом всё равно среднее время решения, по формуле Пика меньше, чем при решении методом разбиения или достраивания.
• Метод Пика экономит время при решении и значит, может с успехом применяться на экзаменах и контрольных работах, где время ограниченно.

Выводы:

• Работая над проектом, я узнал много нового.
• Собрал, изучил и проанализировал информацию по теме проекта.
• Научился решать новые олимпиадные задачи на клетчатой бумаге, узнал новые формулы и способы решения, научился находить площади разных фигур методом разбиения или достраивания и по формуле Пика.
• Я сравнил способы решения, решая одни задачи разными способами, выяснил, как умеют решать задачи на клетчатой бумаге мои сверстники и выпускники нашей школы и какой способ решения самый экономичный по времени.

Выводы:

• Мы считаем, что формула Пика должна изучаться наряду с остальными способами решения, но на этапах подготовки к ОГЭ или ЕГЭ.
• Она упрощает и ускоряет решение в некоторых , особенно сложных задачах.
• Но заменить старые способы решения и другие формулы ей нельзя.

То есть наша гипотеза нашла своё подтверждение частично.

Благодарю за внимание!