"Средняя линия треугольника" ( 8 класс), ФГОС

Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение.

(В. Произволов)

8 класс - геометрия

Средняя

линия

треугольника

Характеристика темы урока

Тип урока : Изучение нового материала

Характеристика темы урока : В результате изучения § 7 учащиеся должны знать теоремы о среднем линии треугольника, о точке треугольника, о точке пересечения медиан треугольника; уметь их доказывать и применять к решению задач .

Цели урока

• Образовательная : выработка у учащихся навыков и умении, формирование новых понятий и знаний; в частности изучение теоремы о среднем линии и теоремы о медианах треугольника и научиться использовать их при решении задач;

• Воспитательная : развивать аккуратность, целеустремленность и самостоятельность в ходе решения задач;

• Развивающая : выработать потребности логического определения понятий, т.е. формирование логического-математического языка и навыков логического мышления, развивать образное мышление;

Определение

Средней линией треугольника называется отрезок,

соединяющий средины двух его сторон.

В

M — середина AB,

N — середина BC.

MN — средняя линия треугольника ABC.

М

N

С

А

Т е о р е м а

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Доказательство.

Пусть дан Δ ABC и его средняя линия ED.

Проведем прямую параллельную стороне AB через точку D. По теореме Фалеса она пересекает отрезок AC в его середине, т.е. совпадает с DE.

Значит, средняя линия параллельна AB.

Проведем теперь среднюю линию DF.

Она параллельна стороне AC. Четырехугольник AEDF – параллелограмм.

По свойству параллелограмма ED=AF, а так как AF=FB по теореме Фалеса, то ED = ? AB. Теорема доказана.

С в о й с т в а

• средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

• при пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.

• средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.

• Три средние линии треугольника разбивают его на 4 равных (одинаковых) треугольника, подобных исходному треугольнику. Все 4 таких одинаковых треугольника называют серединными треугольниками. Центральный из этих 4 одинаковых треугольников называется дополнительным треугольником .

С в о й с т в а

Так как в треугольнике три стороны, треугольник имеет три средние линии.

Три средние линии треугольника разбивают его на 4 равных (одинаковых) треугольника, подобных исходному треугольнику. Все 4 таких одинаковых треугольника называют серединными треугольниками. Центральный из этих 4 одинаковых треугольников называется дополнительным треугольником.

MN, MP, PN — средние линии треугольника ABC.

П р и з н а к и

Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину одной стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то это средняя линия.

Первичное закрепление

нового материала

№ 1

Является ли отрезок МК средней линией треугольника АВС, если АМ = 4см, МВ =4см, АК= 3см, КС=3 см. ?

Ответ :

Да, является,

т.к. МК соединяет середины сторон треугольника АВС.

В

М

А

С

К

Первичное закрепление

нового материала

№ 2

Является ли отрезок ЕF средней линией треугольника МКР, если МЕ= 8 см, ЕР= 8см, РF = 5см, FК= 3см ?

К

Ответ :

Нет, не является,

т.к. точка F - не является серединой стороны КР .

F

Р

М

Е

Первичное закрепление

нового материала

№ 3

Отрезки DЕ и DF –средние линии треугольника АВС. Является ли отрезок ЕF средней линией треугольника?

Ответ :

ЕF является средней линией треугольника АВС, т.к. DЕ – средняя линия по условию , следовательно Е-середина отрезка ВС,

DF– средняя линия по условию , следовательно F- середина отрезка АС, значит ЕF - средняя линия.

В

Е

D

С

F

А

Первичное закрепление

нового материала

№ 4

Дано :

АВС- треугольник

АВ= 6 см, ВС=8 см, СА= 12 см.

МN , NК, МК- средние линии.

Найти : МN , NК, МК-

В

N

М

А

С

К

Первичное закрепление

нового материала

№ 5

Дано :

АВС- треугольник

М ͼ АВ,

АМ=МВ,

К ͼ АС,

АК = КС,

Периметр ∆ МАК =17 см.

Найти : периметр ∆ АВС-?

В

М

А

С

К

ЕF на 7 см. Найти : сторону АС. № 6 В Е F С А " width="640"

Первичное закрепление

нового материала

Решение :

По свойству средней линии ∆ :

ЕF = ½ АС.

По условию: АС = ЕF + 7 см.

Следовательно, АС= ½ АС + 7 см,

Значит АС = 14 см.

Дано :

АВС- треугольник

Е- середина АВ,

F – середина ВС

АС ЕF на 7 см.

Найти : сторону АС.

№ 6

В

Е

F

С

А

П о в т о р е н и е

№ 7

К окружности с центром О через точку С проведены касательные СА и СВ ( А и В – точки касания).

Отрезок АD – диаметр окружности.

Докажите, что ВD ‖ СО.

Р е ф л е к с и я

Закончите фразу:

«Сегодня на уроке я повторил…»,

«Сегодня на уроке я узнал, …»,

«Сегодня на уроке я научился, …»,

Домашнее задание

§ 7 ; стр. 41 вопросы

№ 194, 199, 213 .