Система задач на закрепление аксиом взаимного расположения

Система задач на закрепление аксиом взаимного расположения.

Аксиома 1.Каждой прямой принадлежит по крайней мере две точки.

Задача 1.

Дана салатовая линия Московского метрополитена???, на которой отмечено одна станция.
Сколько станций можно отметить на данной прямой.
Устно дайте станциям названия. Переформулируй задание. Плохо

Решение:

По аксиоме №1 можно где? отметить по крайней мере две точки = мы можем отметить как минимум две станции на данной прямой, таким образом количество станций на данной прямой увеличится

Аксиома 2. Имеются по крайне мере три точки ,не лежащие на одной прямой.

Задача 1.

Даны прямые а,b и с. Прямая а содержит(на прямой а отмечено 5 точек) 5 точек, прямая b содержит 3 точки и прямая с содержит 4 точки. Возможно ли такое количество точек? Возможно ли такое расположение точек?

Решение:

1. По аксиоме №1 каждой прямой принадлежит по крайней мере 2 точки =

мы можем утверждать, что такое количество точек возможно.

1. По аксиоме №2 имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой = возможно , что точки 1,2 и 3 не лежат на прямой а. Аналогично для других точек и прямых.

Аксиома 3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

Задача 1.На плоскости даны три точки. Сколько прямых можно провести через каждые две точки. Какая фигура получится ,если соединить все прямые?

Решение:

1.По аксиоме 3 через любые две точки можно провести только одну прямую

2.АВС –треугольник.

Задача 2.  Даны три прямые: а,b,c. Прямая a не параллельна b, а не параллельна с, прямая b не параллельна c. Доказать, что либо 3 прямые пересекаются в одной точке либо в 3-х точках.

Доказательство:

Допустим 3 прямые имеют две точки пересесения. Пусть прямые а и b пересекаются в точке 1.

т. 1∈а,b
А прямая с пересекает прямую b в точке 2.
т. 2∈b,c = т. 1,2∈b
Тогда прямая с пересекает прямую а либо в точке 1, либо в точке 2.

  Если прямая с пересекает прямую а в точке 1, тогда точки 1,2∈с и прямая с совпадет с b. Т.е. две точки принадлежат одновременно двум прямым b и с. Согласно аксиоме 3 это невозможно, т.к. через две точки можно провести только одну прямую.

   Если прямая с пересекает прямую а в точке 2, тогда т.1,2∈а и прямая а совпадет с b. Следовательно через две точки проходят две прямые а и b, что тоже невозможно согласно аксиоме 3.
Отсюда следует, что прямая с может пересекать прямую а в третьей точке, так что:
1,2∈b
1,3∈а
2,3∈c
или прямая с пересекает прямую а в точке 1, тогда
т. 1∈а,b,с и т. 2∈b,c
но две прямые b и с могут иметь только одну точку пересечения; следовательно точки 1 и 2 совпадают. И следовательно три прямые а,b,с пересекаются в одной точке - в точке 1.

Вывод: Следовательно наше утверждение неверно и три прямые не могут пересекаться в двух точках. Три прямые пересекаются либо в одной, либо в трех точках.

Аксиома 4. Из трёх точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Задача 1. Рассмотрим три любых рядом находящихся голубя на проводе. Сколько голубей может находится между двумя другими?

Решение:

Допустим, что голубь на проводе это точка на прямой. По аксиоме 4 Из трёх точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими = только один голубь может находится между двумя другими.

Аксиома 5. Каждая точка О прямой разделяет её на две части(два луча) так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О.

Аксиома 6. Каждая прямая а разделяет плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой а.

Задача1.Прямые a b параллельны. можно ли найти на прямой b две точки которые лежат в разных в полуплоскостях относительно прямой a? Ответ поясните.

Решение:

Нельзя, т.к. прямые а и b параллельны= все точки прямой b лежат в одной полуплоскости относительно прямой a. (По аксиоме 6 и 1)