Школьный проект по решению задач на нахождение углов в стереометрии

« Нахождение углов в пространстве»

Учебный проект

Выполнил: Арикулов Максим Андреевич

ученик 10 а класса

Руководитель проекта: Маркелова С.В.,

учитель математики

• Почему я выбрал эту тему?

Выбор темы обоснован сложностью построения углов в пространстве, необходимостью выработки навыков решения более сложных задач.

Цель: Совершенствование умений решать пространственные задачи на нахождение углов с целью подготовки к ЕГЭ.

Задачи:

1. Повторить понятие углов в пространстве, систематизировать материал.

2. Самостоятельно решить подборку задач ЕГЭ.

3. Самостоятельно создать презентацию по решению более сложных задач.

Виды углов в пространстве

• 1. Угол между двумя прямыми
• 2. Угол между прямой и плоскостью
• 3. Угол между плоскостями (двугранный угол)

α

α

α

Задача 1: в правильной четырёхугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 3. На ребре AA 1 отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА 1 =1:2. Найдите угол между плоскостями АВС и BED 1 .

B 1

C 1

A 1

D1

2x

E

B

C

x

A

D

D 1 H QS по теореме о трёх перпендикулярах DH QS, D 1 H QS, = угол между (QDS) и (QSD 1)= B 1 C 1 D1 A 1 P S 2x H E B C x D Q A " width="640"

Построение:

D 1 D (QDS), DH QS, = D 1 H QS по теореме о трёх перпендикулярах

DH QS, D 1 H QS, = угол между (QDS) и (QSD 1)=

B 1

C 1

D1

A 1

P

S

2x

H

E

B

C

x

D

Q

A

∟ ∟ ∟ ~ , = = AQ= ; DQ= AD+AQ= 2+1=3 = CS= 2*D 1 C 1 = 2*2=4; DS= DC+CS= 2+4=6 ~ ; DH= 2) ΔQDS- прямоугольный, DQ=3, DS=6, = QS= B 1 C 1 = 3) tgx D1 A 1 D 1 P S 2x 2x 3 3 4 H E B C x D H 2 Q 2 A 1 D " width="640"

Решение :

1) Δ EA 1 D 1 ΔEAQ по двум углам

ΔD 1 C 1 P ΔSCP по двум углам, =

∟

∟

∟

~

, =

= AQ=

; DQ= AD+AQ= 2+1=3

= CS= 2*D 1 C 1 = 2*2=4;

DS= DC+CS= 2+4=6

~

; DH=

2) ΔQDS- прямоугольный, DQ=3, DS=6, = QS=

B 1

C 1

=

3) tg

x

D1

A 1

D 1

P

S

2x

2x

3

3

4

H

E

B

C

x

D

H

2

Q

2

A

1

D

Задача 2: Основанием прямой призмы ABCA 1 B 1 C 1 является прямоугольный треугольник ABC, где угол С-прямой, АВ=5, ВС=√5. Высота призмы равна √3. Найдите угол между прямой BC 1 и плоскостью ABB 1 .

A 1

B 1

C 1

√ 3

5

A

B

√ 5

C

H ∈ A 1 B 1   C 1 H (ABB 1 ), = угол между BC 1 и (ABB 1 )= H A 1 B 1 C 1 √ 3 5 A B √ 5 C " width="640"

Построение угла:

С 1 H (ABB 1 ), (A 1 C 1 B 1 ) (ABB 1 ), = H ∈ A 1 B 1

C 1 H (ABB 1 ), = угол между BC 1 и (ABB 1 )=

H

A 1

B 1

C 1

√ 3

5

A

B

√ 5

C

H A 1 2 B 1 ∟ C 1 2 H C 1 √ 3 45 5 A B √ 5 B C " width="640"

Решение:

1) В ΔA 1 B 1 C 1: по т. Пифагора A 1 C 1 =

2) В ΔСС 1 B: по т. Пифагора С 1 B=

C 1 H =

3) sin

, =

H

A 1

2

B 1

∟

C 1

2

H

C 1

√ 3

45

5

A

B

√ 5

B

C

Задача 3: Дана прямая призма ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Основание призмы - ромб со стороной 4 и острым углом 60. Высота призмы равна 5. Найдите угол между плоскостью ABC 1 и плоскостью ABD.

D 1

C 1

A 1

B 1

C

D

60

A

B

D 1 H AB по теореме о трёх перпендикулярах   D 1 H AB, DH AB, = угол между (ABD) и (ABC 1 )= C 1 D 1 A 1 B 1 D C 60 A H B " width="640"

Построение угла:

• D 1 D (ABC), DH AB, = D 1 H AB по теореме о трёх перпендикулярах

• D 1 H AB, DH AB, = угол между (ABD) и (ABC 1 )=

C 1

D 1

A 1

B 1

D

C

60

A

H

B

2) tgC 1 D 1 D 1 A 1 B 1 5 5 D C 60 A D H H 2 B 2 " width="640"

∟

Решение :

1) ΔADH-прямоугольный, DH=AH

, =

2) tg

C 1

D 1

D 1

A 1

B 1

5

5

D

C

60

A

D

H

H

2

B

2

• Заключение: Повторил понятие углов в пространстве, систематизировал материал. В процессе создания проекта я решил 6 задач ЕГЭ, оформил их решения. Выбрал для презентации 3 самых сложных и интересных, с решение которых мне помогал руководитель моего проекта Маркелова С.В. В итоге я создал продукт, которым смогут пользоваться ученики 10 и 11 классов, чтобы упорядочить знания по построению и нахождению углов в стереометрии.

источники

• https://fipi.ru /

• https://ege.sdamgia.ru /

• https://alexlarin.net /

Спасибо за внимание!