Сборник понятий по математике 5 класс

ПОНЯТИЕ

СОДЕРЖАНИЕ

ОБЪЁМ

Цифры

Знаки , при помощи которых записываются числа.

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Натуральные числа.

Числа, которые употребляют при счёте.

1,2,3,4,5,6…..

Сложение

Арифметическое действие, которое выполняется с помощью знака «+»

а+в =с

Слагаемое

Число, которое участвует в операции сложения

а, в – слагаемые

Сумма

Результат операции сложения или выражение а+в

с, (а+в) - сумма

Свойства сложения

1)переместительное

При перестановке мест слагаемых сумма не изменится

2)сочетательное

Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом к полученной сумме – второе слагаемое.

3)От прибавления нуля число не изменится

2+3=3+2

2+(3+4)=(2+3)+4

Вычитание

Арифметическое действие, которое выполняется с помощью знака «-»

а-в=с

Уменьшаемое

Число из которого вычитают

а-вычитаемое

Уменьшаемое

Число, которое вычитают

в-вычитаемое

Разность

Результат операции вычитания или выражение а-в

с, (а-в) - разность

Свойства вычитания

1.вычитание суммы из числа

Чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое, а потом из полученной разности – второе слагаемое.

2вычитание числа из суммы

Чтобы число вычесть из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить другое слагаемое.

3.Если из числа вычесть нуль, оно не изменится.

4Если из числа вычесть это число, получится нуль.

Числовые выражения.

Выражения, состоящие из чисел и знаков математических действий.

2+3:3

Буквенные выражения.

(выражения с переменной)

Выражения, в которых некоторые числа обозначены буквами.

2а+в,

Значение буквы

Число, которым заменяют букву

Значение буквенного выражения

Число, которое получается в результате выполнения арифметических действий в буквенном выражении после замены буквы её значением

Уравнение.

Равенство, содержащее неизвестное число.

1. с одной переменной

2. с несколькими перем.

Корень уравнения.

Найденное значение неизвестного.

Решить уравнение.

Найти все его корни или доказать что корней нет.

Умножение

Арифметическое действие, выполняемое с помощью знака «^.»

а^.в=с

множитель

Число, участвующее в операции умножения

а, в - множители

произведение

Число, являющееся результатом операции умножения или выражение вида а ^. в

с, а^.в - произведение

Свойства умножения

1)переместительное (при перестановке множителей произведение не меняется)

2)сочетательное (чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель)

3)распределительное

а)относительно сложения(чтобы умножить число на сумму, можно это число умножить на каждое слагаемое и сложить полученные произведения);

б)относительно вычитания(чтобы умножить число на разность, можно это число умножить на уменьшаемое и вычитаемое, а полученные произведения вычесть)

4)умножение на 1 (при умножении любого числа на единицу получается это же число

5)умножение на 0 (при умножении любого числа на нуль получается всегда нуль)

а*в=в*а (ав=ва)

а*(в*с)=(а*в)*с

( а(вс)=(ав)с )

а(в+с)=ав+ас

а(в-с)=ав-ас

а*1=а

а*0=0

деление

Арифметическое действие с помощью которого по произведению и одному из множителей находят другой множитель

а : в = с

Делимое

Число, которое делят

а

Делитель

Число, на которое делят

в

Частное

1)Число, которое является результатом операции деления.

2)выражение а:в

с

Нахождение неизвестного делимого

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель

х : в =с , х = с*в

Нахождение неизвестного делителя

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное

а : х = с, х = а:с

Свойства деления

1. а:а=1(при делении числа на это же число получается 1)

2. а:1=а (при делении числа на единицу получается это же число)

3. 0:а=0 (при делении нуля на число получается нуль)

4. На нуль делить нельзя!

Деление с остатком

Деление при котором остаётся остаток, который больше нуля но меньше делителя

Компоненты при делении с остатком

Делимое, делитель, неполное частное, остаток

23:4=5(3ост.)

Делимое-23, делитель-4, неполное частное-5, остаток-3.

Нахожденин делимого при делении с остатком

Чтобы найти делимое при делении с остатком, надо умножить неполное частное на делитель и к полученному произведению прибавить остаток

23=5*4+3

Степень числа (аⁿ )

Произведение n множителей каждый из которых равен а, где а-основание степени, n-показатель степени

2³, 4² и т. д.

Основание степени (а)

Число, указывающее какие множители участвуют в операции умножения

Показатель степени

Число, указывающее сколько множителей взято

Возведение в степень

Операция нахождения значения степении, т.е. умножения основания степени самого на себя n раз (действие третьей ступени)

2⁴=2*2*2*2=16

Квадрат числа

а²=а*а

3²=3*3

Куб числа

а³=а*а*а

4³=4*4*4

Доля

Одна из равных частей единицы

Дробь

Число, состоящее из одной или нескольких долей единицы.

По форме записи:

1)обыкновенная дробь

2)десятичная дробь

Обыкновенная дробь.

Дробь вида где

а – числитель,

в - знаменатель

По величине числителя:

1. правильные

2. неправильные

Знаменатель

Число, указывающее на сколько долей разбито одно целое

Числитель

Число, указывающее сколько долей взято

Правильная дробь

Дробь, числитель которой меньше знаменателя

Неправильная дробь

Дробь, числитель которой больше или равен знаменателю

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

1. из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше знаменатель.

2. Любая правильная дробь меньше единицы

3. Неправильная дробь больше или равна единице

4. Любая правильная дробь меньше любой неправильной дроби

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить (вычесть) дроби с одинаковыми знаменателями нужно сложить (вычесть) их числители, а знаменатель оставить без изменения.

Смешанное число

Число, состоящее из целой и дробной частей (одна из форм записи неправильной дроби)

Выделение из неправильной дроби целой части

Чтобы из неправильной дроби выделить целю часть, надо:

1) разделить с остатком числитель на знаменатель;

2) неполное частное будет целой частью;

3) остаток(если он есть) даёт числитель. А делитель – знаменатель дробной части.

Представление смешанного числа в виде неправильной дроби

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, надо:

1)множить знаменатель на целю часть;

2)к полученному произведению прибавить числитель дробной части;

3)записать полученную сумму числителем неправильной дроби, а знаменатель дробной части оставить без изменения.

Сложение (вычитание) смешанных чисел с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить(вычесть) смешанные числа, надо сложить(вычесть) целые части, а затем дробные части

Вычитание смешанных чисел, где дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого

Чтобы вычесть из смешанного числа, дробная часть которого меньше дробной части вычитаемого, надо взять единицу у целой части уменьшаемого и прибавить в числителе число, равное знаменателю и выполнить вычитание

Вычитание смешанного числа из натурального числа

Чтобы из натурального числа вычесть смешанное число, надо: 1)натуральное число представить в виде смешанного числа, у которого дробная часть записывается по знаменателю вычитаемого

2)выполнить вычитание смешанных чисел с одинаковыми знаменателями.

Десятичная дробь

дробь, знаменатель которой равен степени числа 10 и которая записывается в одну строчку, где целая часть отделяется от дробной с помощью запятой.

( В десятичной дроби после запятой стоит столько же цифр, сколько нулей в знаменателе соответствующей ей обыкновенной дроби.)

2,5; 0,03; 11,0013

Алгоритм записи десятичной дроби

1. Уравнять, если необходимо, число цифр в числителе с числом нулей в знаменателе.

2. Записать целую часть (она может быть равна нулю).

3. Поставить запятую, отделяющую целую часть от дробной.

4. Записать числитель дробной части.

(знаки стоящие в десятичной дроби после запятой ,называют десятичными знаками)

Алгоритм сравнения десятичных дробей

Для того чтобы сравнить две десятичные дроби, надо:

1.Уравнять у них число десятичных знаков, приписав к одной из них справа нули;

2.Отбросив запятую, сравнить получившиеся натуральные числа.

12, 136 и 12,3

1. 12,136 и 12,300

2. 12136 ‹ 123000

12,136 ‹ 12,3

Алгоритм сложения (вычитания) десятичных дробей

Для того чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби, нужно:

1) записать их друг под другом так, чтобы запятая была под запятой;

2) уравнять в этих дробях количество знаков после запятой;

3)выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания на запятую;

4)поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.

округление

Замена числа приближённым значением, при котором все цифры после заданной заменяются нулями.

1)Округление с недостатком

2)Округление с избытком

Округление с недостатком

Округление, при котором заданная цифра оставляется без изменения, а все стоящие после неё заменяются нулями

1253 1250

Округление с избытком

Округление, при котором к заданной цифре прибавляется единица, а все стоящие после неё заменяются нулями

43683 43700

Алгоритм умножения десятичной дроби на натуральное число

Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, надо:

1) умножить её на это число, не обращая внимания на запятую;

2) в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их отделено запятой в десятичной дроби.

1,83 ^. 4 = 7,32

Умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д. надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько нулей в разрядной единице.

0,65^.10=6,5

0,65^.

Алгоритм деления десятичной дроби на натуральное число

Чтобы десятичную дробь разделить на натуральное число, надо:

1)выполнить деление, не обращая внимания на запятую;

2)поставить в частном запятую после того, как закончится деление целой части.

19,2 : 8 =

Алгоритм деления десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, … , надо перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево, сколько нулей в разрядной единице

12,5:10=1,25

12,5 : 100 = 0,125

Алгоритм деления десятичной дроби на натуральное число

Чтобы десятичную дробь разделить на натуральное число, надо:

1)выполнить деление, не обращая внимания на запятую;

2)поставить в частном запятую после того, как закончится деление целой части.

19,2 : 8 =

Алгоритм деления десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, … , надо перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево, сколько нулей в разрядной единице

12,5:10=1,25

12,5 : 100 = 0,125

Алгоритм умножения десятичных дробей

Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:

1) выполнить умножение, не обращая внимания на запятые;

2) отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

Умножение числа на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.

Чтобы число умножить на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д. надо перенести запятую влево на столько цифр, сколько нулей в разрядной единице, считая 0 целых.

6,45^. 0,1=0,645

2,5 ^. 0,01=0,025

Алгоритм деления числа на десятичную дробь

Чтобы число разделить на десятичную дробь, надо:

1) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе;

2) после этого выполнить деление на натуральное число.

Алгоритм деления числа на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.

Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д., надо перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько нулей в разрядной единице, считая 0 целых.

56,87 : 0,1 = 568,7

56,87 : 0,01 = 5687

56,87 : 0,001 = 56870