Сборник логических задач по математике, решаемых с использованием кругов Эйлера

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ - СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 1

Сборник

олимпиадных задач по математике

для учащихся 5-6 классов

Выполнила:

Янзина Наталия

ученица 6 ,,Б’’

МОУ СОШ №1

Руководитель: Янзина Н.П.

учитель информатики

МОУ СОШ №1

г. КРАСНЫЙ КУТ

Оглавление

Введение 3 Немного из истории 4

Методы и способы решения логических задач. 5

1. Метод рассуждений 5

2. Метод таблиц 6

3. Решение логических задач

с помощью блок-схем. 8

4. Задачи, решаемые с конца. 9

5. Метод кругов Эйлера 9

Порядок решения задач с помощью кругов Эйлера. 11

Задачи для самостоятельного решения. 24 Собственные задачи 29

Литература 31

Актуальность создания данного сборника в том, что в наших учебниках нет задач для подготовки к математическим олимпиадам, и я хочу своим продуктом создать задачник математических логических задач для использования на занятиях нашего математического кружка и для подготовки к математическим олимпиадам.

В настоящее время существует множество приемов и способов решения нестандартных олимпиадных задач. Часто при их решении используются рисунки. Это делает решение задачи более простым и наглядным. Одним из таких способов решения задач является метод кругов Эйлера.  Задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера, обычно носят занимательный характер и не требуют больших математических знаний, поэтому привлекают даже тех учащихся, которые не очень любят математику.

Кроме того, подобные задачи часто имеют практический характер, что важно в современной жизни. Они заставляют задумываться и подходить к решению какой-нибудь проблемы с разных сторон. Учат выбирать из множества способов - наиболее простой и легкий. А умение правильно рассуждать необходимо в любой области человеческой деятельности: науке и технике, юстиции и дипломатии, планировании экономики и в военном деле.

Немного из истории

Математическая логика тесно связана с логикой и обязана ей своим появлением. Основы логики, науки о законах и формах человеческого мышления (отсюда одно из ее названий - формальная логика), были заложены величайшим древнегреческим философом Аристотелем (384-322 гг. до н. э.). В своих работах он подробно разобрал теорию умозаключений и доказательств, описал ряд логических операций, сформулировал основные законы мышления.

В дальнейшем многие философы и математики развивали отдельные положения логики. Готфрид Лейбниц в начале 18 века сделал попытку создать формальную логическую систему, введя законы сочетания высказываний.

Важный период становления математической логики начинается с работы английского математика и логика Джорджа Буля (1815-1864 гг.). Разработал алгебру логики «Исследования законов мышления» (1854), основу функционирования цифровых компьютеров.

Однако нет ученого, чье имя упоминалось бы в литературе по математике так же часто, как имя Эйлера.

Леонард Эйлер (1707-1783). Леонард Эйлер, крупнейший математик XVIII века, родился в Швейцарии в 1707 году. Научное наследие Эйлера поражает своим объёмом и разносторонностью. В списке его трудов более 800 названий. Полное собрание сочинений ученого занимает 72 тома. Среди его работ – первые учебники по дифференциальному и интегральному исчислению.

Эйлер много работал в области математического анализа. У него были труды по гидравлике, кораблестроению, артиллерии, геометрической оптике и даже по теории музыки. Эйлер нашел доказательства всех теорем Ферма, показал неверность одной из них. Для многих поколений математиков Эйлер был учителем. По его математическим руководствам, книгам по механике и физике училось несколько поколений. Основное содержание этих книг вошло и в современные учебники.

Методы и способы решения логических задач.

Решать логические задачи очень увлекательно. Известно несколько различных способов решения логических задач:

1. Метод рассуждений

2. Метод таблиц

3. Метод блок-схем

4. Задачи, решаемые с конца

5. Метод кругов Эйлера.

Остановимся отдельно на каждом из методов, иллюстрируя их примерами решения конкретных задач.

1 Метод рассуждений

Этим способом обычно решают несложные логические задачи.

Задача 1. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: английский, немецкий и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает английский, Сергей не изучает английский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение: Имеется три утверждения:

1. Вадим изучает английский;

2. Сергей не изучает английский;

3. Михаил не изучает арабский.

Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно.

Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает английский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно.

Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно, Вадим не изучает английский, английский изучает Сергей.

Ответ: Сергей изучает английский язык, Михаил — немецкий, Вадим — арабский.

2 Метод таблиц

Основной прием, который используется при решение текстовых логических задач, заключается в построение таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или её ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задач. Рассмотрим подобную задачу:

Задача 2: Пятеро одноклассников – Аня, Саша, Лена, Вася и Миша – стали победителями олимпиад школьников по физике, математике, информатике, литературе и географии. Известно, что:

1) победитель олимпиады по информатике учит Аню и Сашу работать на компьютере;
2) Лена и Вася тоже заинтересовались информатикой;
3) Саша всегда побаивался физики;
4) Лена, Саша и победитель олимпиады по литературе занимаются плаванием;
5) Саша и Лена поздравили победителя олимпиады по математике;
6) Аня сожалеет о том, что у нее остается мало времени на литературу.
Победителем какой олимпиады стал каждый из ребят?

Решение: Построим таблицу, где строками будут предметы олимпиады, а столбцами – имена ребят. В клетку поставим знак «+», если между объектами  имя и предмет есть связь, и знак «–», если - связи нет.

1. В соответствии с условиями задачи поставим знак «–» в соответствующие клетки.

	Аня	Саша	Лена	Вася	Миша
Физика		–
Математика		–	–
Информатика	–	–	–	–
Литература	–	–	–
География

2. В строке Информатика четыре минуса. Значит, в пятую клетку ставим «+», и это значит, что Миша – победитель олимпиады по информатике.
3. В столбце Миша заполняем все оставшиеся клетки минусами.
4. В столбце Литература остается одна пустая клетка, ставим в нее «+». Значит, Вася – победитель олимпиады по литературе.
5. В столбце Вася все пустые клетки заполняем минусами.
6. В столбце Саша стоит четыре минуса, ставим в пятую клетку плюс. Значит Саша – победитель олимпиады по географии.
7. Заполняем в строке География все оставшиеся клетки минусами.
8. В столбце Лена осталась одна свободная клетка, ставим там плюс. Лена – победитель олимпиады по физике.
9. Аня – победитель олимпиады по математике.

	Аня	Саша	Лена	Вася	Миша
Физика	–	–	+	–	–
Математика	+	–	–	–	–
Информатика	–	–	–	–	+
Литература	–	–	–	+	–
География	–	+	–	–	–

3 Решение логических задач с помощью блок-схем.

 Этот метод широко используется в программировании и решении логических задач на взвешивание и переливание. Он заключается в том, что сначала выделяются операции, которые позволяют нам точно выполнять ту или иную задачу. Эти операции называются командами. Затем устанавливается последовательность выполнения выделенных команд. Эта последовательность оформляется в виде схемы. Подобные схемы называются блок-схемами и широко используются в программировании. Составленная блок-схема является программой, выполнение которой может привести нас к решению поставленной задачи.

Задача 3. В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе -мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье - чай и компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?

Решение. Оформим решение в виде блок схемы:

Компот

Чай

Борщ

Солянка

Гр.суп

Борщ

Солянка

Гр.суп

Мясо

Рыба

Курица

Мясо

Мясо

Мясо

Мясо

Мясо

Курица

Курица

Курица

Курица

Курица

Рыба

Рыба

Рыба

Рыба

Рыба

Ответ: 18 вариантов.

4 Задачи, решаемые с конца.

Есть такой вид логических задач, которые решаются с конца. Рассмотрим пример решения таких задач.

Задача 4. Группа туристов отправилась в поход. В первый день они прошли 1/3 пути, в второй – 1/3 остатка, в третий – 1/3 нового остатка. В результате им осталось пройти 32 км. Сколько километров был маршрут туристов?

Решение. Так как осталось 32 км, а в третий день туристы прошли остаток, то 32 км будут составлять последнего 2/3 остатка, тогда сам последний остаток будет равен 32 : 2/3 = 48 (км). Эти 48 км будут составлять 2/3 длины маршрута, оставшегося пройти после первого дня. Тогда весь маршрут, который осталось пройти, будет равен 48 : 2/3 = 72 (км). Эти 72 км составляют вновь 2/3, но уже всего маршрута туристов, а значит, весь маршрут будет равен 72 : 2/3 = 108 (км).

Ответ: 108 км

5 Метод кругов Эйлера

Этот метод является еще одним наглядным и довольно интересным способом решения логических задач. В основе этого метода лежит построение знаменитых кругов Эйлера. Леонард Эйлер считал, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». При решении целого ряда задач, он использовал идею изображения множеств с помощью кругов, поэтому они и получили название «круги Эйлера».

В математике множеством называют совокупность, набор каких-либо предметов (объектов). Предметы, составляющие множество, называются его элементами. Условно принято, что круг наглядно изображает объем одного какого-нибудь понятия. Например, наш 6 «Б» класс – это множество, а количество учеников в классе – это его элементы.

В математике множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы прописными. Часто записывают в виде  A = {a, b, c, ...}, где в фигурных скобках указываются элементы множества A.

Если каждый элемент множества В является в то же время элементом множества А, то говорят, что В подмножество множества А. Например, множество учеников нашего класса есть подмножество всех учеников нашей школы.

С множествами, как с объектами, можно выполнять определенные действия (операции). Для того чтобы нагляднее представлять себе действия с множествами, используют специальные рисунки – диаграммы (круги) Эйлера. Познакомимся с некоторыми из них. 

Множество общих элементов А и В называют пересечением множеств А и В и обозначают с помощью знака ∩.

   

Множества А и С не имеют общих элементов, поэтому пересечением данных множеств является пустое множество:   А∩ С =∅.

Если из элементов множеств А и В составить новое множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее других элементов, то получится объединение множеств А и В, которое обозначается с помощью знака ∪.

Порядок решения задач с помощью кругов Эйлера.

1. Внимательно читаем и записываем краткое условие задачи.

2. Определяем количество множеств и обозначаем их.

3. Выполняем рисунок.

4. Записываем исходные данные на рисунок.

5. Выбираем условие, в котором содержится больше свойств.

6. Записываем недостающие данные в круги Эйлера (рассуждая и анализируя)

7. Проверяем решение задачи 

8. Записываем ответ. 

Задача 5. У нас большой дом и все мои соседи любят выращивать. 16 из них выращивают только розы, 17 – только лилии и 20 только гладиолусы. 9 соседей выращивают розы и лилии, 11 – выращивают розы и гладиолусы и 10 соседей – лилии и гладиолусы. 8 человек выращивают все три вида цветов. Сколько у меня соседей?

Решение:

1. П о условиям задачи у нас даны три множества, поэтому чертим три круга. А так как множества пересекаются друг с другом, чертеж будет выглядеть так:

1. По условиям задачи 8 человек выращивают все три вида цветов, а 9 соседей выращивают розы и лилии, 11 – выращивают розы и гладиолусы и 10 соседей – лилии и гладиолусы, значит получаем следующий рисунок

1. Д альше по условию 16 человек выращивают только розы, 17 – только лилии и 20 только гладиолусы.

2. Таким образом

9-8 = 1 - сосед выращивают только лилии и розы;

10-8=2 - соседа выращивают только лилии и гладиолусы;

11-8=3 - соседа выращивают только розы и гладиолусы;

17+16+20+1+2+3 = 59 – у меня соседей

Это и есть ответ на поставленный в задаче вопрос.

Задача 6. Учащиеся 6 класса отправились в поход. 16 участников взяли с собой бутерброды с колбасой, 13 - бутерброды с сыром, а 9 человек взяли и бутерброды с сыром и бутерброды с колбасой. Сколько всего туристов пошло в поход?

Р ешение:

1. В задаче одно множество и два подмножества. 1 круг - всего учащихся, которые пошли в поход. 2 круг количество учащихся, взявших с собой бутерброды с колбасой (обозначим буквой К). 3 круг - количество учащихся, взявших с собой бутерброды с сыром (обозначим буквой С).

2. Выполним рисунок

1. Всего учащихся класса изобразим с помощью большого круга. Внутри поместим круги поменьше, имеющие общую  часть, т.к. несколько человек взяли и бутерброды с сыром и бутерброды с колбасой.

2. Внутри круга К ставим 16 учеников, взявших с собой бутерброды с колбасой. Внутри круга С ставим 13 учеников, взявших с собой бутерброды с сыром. В общей части ставим цифру 9, т.к. 9 человек взяли и бутерброды с сыром и бутерброды с колбасой

1. Запишем ответ из рисунка: (16+13) – 9= 20 (учащихся) – всего туристов пошло в поход. Ответ: 20 туристов.

Задача 7.

В моем классе 25 учащихся. Из них 9 занимаются в секции лёгкой атлетики, 15 – в секции плавания и 3 – в обеих секциях. Сколько учащихся класса не посещают секции?

Решение.

1. В задаче одно множество и два подмножества. 1 круг - всего учащихся. 2 круг – количество учащихся, занимающихся легкой атлетикой. 3 круг - количество учащихся, занимающихся плаванием.

2. Всего учащихся изобразим с помощью большего круга. Внутри поместим круги поменьше, причём нарисуем их так, чтобы у них была общая часть (так как трое ребят занимаются в обеих секциях).

1. Выполним рисунок.

2. Внутри большого круга 25 учеников. В общей части кругов поменьше ставим цифру 3. В оставшейся части круга л/а ставим цифру 6 (9-3=6). В оставшейся части круга п - поставим цифру 2 (15-3=12).

3. Записываем по рисунку ответ: 25-(6+3+12) = 4 (учеников) не занимаются ни в одной из этих секций.

Задача 8. В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют «тройки» 19 человек, по математике – 17 человек и по истории – 22 человека. Только по одному предмету имеют «тройки»: по русскому языку – 4 человека, по  математике – 4 человека, по истории – 11 человек. Семь учеников имеют «тройки» и по  математике и по истории, а 5 учеников – «тройки» по всем предметам. Сколько человек учится без «троек»? Сколько человек имеют «тройки» по двум из трех предметов? 

Решение:

1. В задаче одно множество и три подмножества. 1круг большой - всего учащихся в классе. 2 круг поменьше количество учащихся, имеющих тройки по математике (обозначим буквой М), 3 круг поменьше- количество учащихся, имеющих тройки по русскому языку (обозначим буквой Р), 4 круг поменьше – количество учащихся, имеющих тройки по истории (обозначим буквой И)

2. Н арисуем круги Эйлера. Внутри большего круга, изображающего всех учеников класса, поместим три меньших круга М, Р, И, означающих соответственно математика, русский язык и история, причем все три круга пересекаются, так как 5 учеников имеют «тройки» по всем предметам.

3. Запишем данные в круги, рассуждая, анализируя  и выполняя необходимые расчеты. Так как число ребят, имеющих «тройки» по математике и истории, равно 7, то число учеников, имеющих только две «тройки» - по математике и по истории, равно 7-5=2. Тогда 17-4-5-2=6 учеников имеют две «тройки»  - по математике и по русскому языку, а 22-5-2-11=4 ученика только две «тройки»  - по истории и по русскому языку. В этом случае без «тройки»  учится 40-22-4-6-4=4 ученика. А имеют «тройки»  по двум предметам из трех 6+2+4=12 человек.

1. 7-5=2  - число учеников, имеющих только две «тройки» - М, И.

2. 17-4-5-2=6 - число учеников, имеющих только две «тройки» - М, Р.

3. 22-5-2-11=4 - число учеников, имеющих только две «тройки» - И, Р.

4. 40-22-4-6-4=4 - число учеников, занимающихся без «тройки»  

5. 6+2+4=12 - число учеников, имеющих «тройки» - по двум предметам из трех

1. Ответ: 4 ученика, занимаются без «троек», 12 учеников имеют «тройки» по двум предметам из трех

Задача 9.  В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 — автобусом, 23 — троллейбусом, 10 — и метро, и троллейбусом, 12 — и метро, и автобусом, 9 — и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта? 

Р ешение.  1 способ. Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера:

Пусть х человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются только метро и троллейбусом — (10 − х) человек, только автобусом и троллейбусом — (9 − х) человек, только метро и автобусом — (12 − х) человек. Найдем, сколько человек пользуется одним только метро:

20 − (12 − х) − (10 − х) − х = х − 2

Аналогично получаем: 15 –(12 − х) -(9 − х)  - x = х − 6 — только автобусом  и

23 - (9 − х) — (10 − х) – x = х + 4 — только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение:

Х + (12 − х) + (9 − х) + (10 − х) + (х + 4) + (х − 2) + (х − 6) = 30. отсюда х = 3.

2 способ. А можно эту задачу решить задачу другим способом:

20+15+23-10-12-9+х=30, 27+х=30, х=3.

Ответ: 3 человека ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта.

Задача 10. В  5А классе 15 человек. В кружок «Эрудит» ходят 5 человек, в кружок «Путь к слову» 11 человек, спортивную секцию посещают 3 человека.  Причем 2 человека посещают кружок «Эрудит» и кружок «Путь к слову», «Эрудит» и спортивную секцию, спортивную секцию и «Путь к слову». Сколько человек посещают все три кружка?

Решение:

1.Пусть х человек посещают все три кружка, тогда

2. 5+11+3-2-2-2+х=15, 13+х=15, х=2

Ответ: 2 человека посещают все три кружка.

Задача 11.   Известно, что ученики 6Б класса зарегистрированы в социальных сетях: «ВК», «Одноклассники», «Галактика знакомств».  2 ученика не зарегистрированы ни в одной социальной сети, 7 учеников зарегистрированы и в «Одноклассниках», и в «ВК»; 2 ученика только в «Одноклассниках»  и 1- только в «ВК»; а 2 ученика  зарегистрированы во всех 3-х    социальных сетях. Сколько человек класса зарегистрированы в каждой  социальной сети? Сколько человек   класса приняло участие в опросе?

Решение: Воспользовавшись кругами Эйлера получаем:

1. В «ВК» зарегистрировано 1+5+2=8 человек,

2. В «Одноклассниках» 2+5+2=9 человек,

3. В «Галактике знакомств» только 2 человека.

4. Всего приняло участие в опросе 1+5+2+2+2=12 человек

Ответ: 12 человек.

Задача 12. Домашние любимцы. У всех моих подруг есть домашние питомцы. Шестеро из них любят и держат кошек, а пятеро - собак. И только у двоих есть и те и другие. Угадайте, сколько у меня подруг?

Решение: Изобразим два круга, так как у нас два вида питомцев. В одном будем фиксировать владелиц кошек, в другом - собак.

Поскольку у некоторых подруг есть и те, и другие животные, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть. В этой общей части ставим цифру 2 так как кошки и собаки есть у двоих. В оставшейся части "кошачьего" круга ставим цифру 4 (6 - 2 = 4). В свободной части "собачьего" круга ставим цифру 3 (5 - 2 = 3). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 4 + 2 + 3 = 9 подруг.

Ответ. 9 подруг.

Задача 13. Библиотеки. В классе 30 учеников. Все они являются читателями школьной и районной библиотек. Из них 20 ребят берут книги в школьной библиотеке, 15 - в районной. Сколько учеников не являются читателями школьной библиотеки?

Решение: Пусть круг Ш изображает читателей только школьной библиотеки, круг Р - только районной. Тогда ШР - изображение читателей и районной, и школьной библиотек одновременно.

Из рисунка следует, что число учеников, не являющихся читателями школьной библиотеки, равно:

( не Ш) = Р - ШР. Всего 30 учеников, Ш = 20 человек, Р = 15 человек. Тогда значение ШР может быть найдено так (см. рисунок): ШР = (Ш + Р) - 30 = (20 + 15) - 30 = 5, т.е. 5 учеников являются читателями школьной и районной библиотек одновременно. Тогда (не Ш)=Р- ШР=

15 - 5= 10.

Ответ: 10 учеников не являются читателями школьной библиотеки.

Задача 14. Любимые мультфильмы. Среди школьников пятого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: "Белоснежка и семь гномов", "Винни Пух", "Микки Маус". Всего в классе 28 человек. "Белоснежку и семь гномов" выбрали 16 учеников, среди которых трое назвали еще "Микки Маус", шестеро - "Винни Пух", а один написал все три мультфильма. Мультфильм "Микки Маус" назвали 9 ребят, среди которых пятеро выбрали по два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм "Винни Пух"?

Р ешение: В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Только "Белоснежку" выбрали 16-6-3-1=6 человек. Только "Микки-Маус" выбрали 9-3-2-1=3 человека.

Только "Винни-Пух" выбрали

28-(6+3+3+2+6+1)=7 человек. Тогда, учитывая, что некоторые выбрали по несколько мультфильмов, получаем, что "Винни-Пух" выбрали 7+6+1+2=16 человек.

Задача 15. Хобби. Из 24 учеников 5 класса музыкальную школу посещают 10 человек, художественную школу - 8 человек, спортивную школу - 12 человек, музыкальную и художественную школу- 3, художественную и спортивную школу - 2, музыкальную и спортивную школу - 2, все три школы посещает 1 человек. Сколько учеников посещают только одну школу? Сколько учащихся ни в чем себя не развивают?

Решение: В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой.

Только музыкальную школу посещают 10-3-2-1=4 учащихся. Только художественную школу посещают 8-3-2-1=2 учащихся. Только спортивную школу посещают 12-2-2-1=7 учащихся.

Только одну школу посещают 4+2+7=13 учеников.

Ни в чем себя не развивают 24-(4+2+7+3+2+2+1)=3 учащихся.

Ответ. 13 учеников посещают только одну школу, 3 учащихся себя не развивают.

З адача 16. О головоломках. На полке стояло 26 различных математических игр - головоломок. В 4 из них поиграл и Гриша, и Саша. Игорь попробовал проиграть 7 игр, которых не касались ни Гриша, ни Саша, и две головоломки, в которые играл Гриша. Всего Гриша играл в 11 математических игр - головоломок. Во сколько головоломок сыграл Саша?

Решение: В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой.

Так как Гриша всего проиграл в 11 игр, из них 4 головоломки решены Сашей и 2 головоломки - Игорем, то 11 - 4 - 2 = 5 - игр проиграно только Гришей. Следовательно, 26 - 7 - 2 - 5 - 4 = 8 - головоломок решено только Сашей. А всего Саша играл в игр.

Ответ. 12 игр решил Саша.

Задача 17. Спорт для всех. В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 - в хоккей, 18 - в футбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и хоккеем - четверо, баскетболом и футболом - трое, футболом и хоккеем - пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни футболом. Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта? Сколько ребят увлекается лишь одним из этих видов спорта?

Р ешение. Воспользуемся кругами Эйлера.

Пусть большой круг изображает всех учащихся класса, а три меньших круга Б, Х и Ф изображают баскетболистов, хоккеистов и футболистов. Тогда фигура Z, общая часть кругов Б, Х и Ф, изображает ребят, увлекающихся тремя видами спорта. Из рассмотрения кругов Эйлера видно, что одним лишь видом спорта - баскетболом занимаются 16 - (4 + z + 3)= 9 - z; одним лишь хоккеем 17 - (4 + z + 5) = 8 - z; одним лишь футболом 18 - (3 + z + 5) = 10 - z. Составляем уравнение, пользуясь тем, что класс разбился на отдельные группы ребят; количества ребят в каждой группе обведены на рисунке рамочкам: 3 + (9 - z) + (8 - z) + (10 - z) + 4 + 3 + 5 + z = 38,z = 2. Таким образом, двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта. Складывая числа 9 - z, 8 - z и 10 - z, где z = 2, найдем количество ребят, увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек.

Ответ: Двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта человека. Увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек.

Задача 18. На пикник поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 50 человек, с сыром - 60 человек, с ветчиной - 40 человек, с сыром и колбасой - 30 человек, с колбасой и ветчиной = 15 человек, с сыром и ветчиной - 25 человек, 5 человек взяли с собой все три вида бутербродов, а несколько человек вместо бутербродов взяли пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки?

Решение

Сначала отметим 5 человек, которые взяли с собой все три вида бутербродов; затем вычислим:

15 - 5 = 10 человек взяли 2 вида бутербродов с колбасой и ветчиной;

25 - 5 = 20 человек взяли два вида бутербродов с сыром и ветчиной;

30 - 5 = 25 человек взяли два вида бутербродов с сыром и колбасой;

50 - (10 + 5 + 25) = 10 человек взяли бутерброды только с колбасой;

60 - (25 + 5 + 20) = 10 человек взяли бутерброды только с сыром;

40 - (10 + 5 + 20) = 5 человек взяли бутерброды только с ветчиной.

Пирожки взяли 92 - (10 + 25 + 10 + 10 + 5 + 20 + 5) = 7 человек.

к 50

30-5 15-5

5

с 60 25-5 в 40

92

Ответ: 7 человек взяли с собой пирожки.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. В школьных кружках занимаются 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре

Ответ: 10 ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке. 11 человек заняты только спортом.

Задача 2. Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3 . Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

Ответ: 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

Задача 3. В классе 35 учеников. 24 из них играют в футбол, 18 — в волейбол, 12 — в баскетбол. 10 учеников одновременно играют в футбол и волейбол, 8 — в футбол и баскетбол, а 5 — в волейбол и баскетбол. Сколько учеников иг­рают и в футбол, и в волейбол, и в баскетбол одновременно?

Ответ: 4 ученика играют и в фут­бол, и в волейбол, и в баскетбол одно­временно.

Задача 4. При опросе 100 учеников 6-х классов выяснилось, что у 78 человек есть планшет, у 85 - смартфон, а у 8 учеников нет ни планшета, ни смартфона. У скольких учеников есть и планшет, и смартфон?

Ответ: 71 ученик имеет и планшет и смартфон

Задача 5. На стройке работают 30 рабочих. 17 рабочих строят обувной магазин, 20 рабочих строят парикмахерскую. Сколько рабочих работают на обоих объектах?

Ответ: 7 человек работают на обоих объектах.

Задача 6. Часть туристов разговаривает на английском, а часть на немецком. На английском – 90% , на немецком - 60%.Сколько туристов разговаривают сразу на двух языках.

Ответ: 50% туристов разговаривают сразу на двух языках.

Задача 7. В классе 30 человек.19-ходят на кружок по математике, 10-на кружок по русскому языку, 1-человек ходит на русский и на математику. Сколько человек не посещают кружки?

Ответ: 2 ученика не посещают кружки.

Задача 8. Из 90 детей на футбол ходят 35 детей, на волейбол 28 и на баскетбол 27 детей. На футбол и волейбол ходят одновременно 10 детей, на футбол и баскетбол – 8 детей, на волейбол и баскетбол - 5, на все три – 4. Сколько детей никуда не ходят?

Ответ: 19 детей никуда не ходят

Задача 9. При обследовании 85 студентов были получены следующие данные о числе студентов, изучающих различные языки: немецкий – 53 человек, французский – 48, немецкий и французский – 28 человек, французский и испанский – 8, немецкий и испанский – 24 человека, все три языка – 7 человек. Сколько студентов изучают испанский язык?

Ответ: 37 студентов изучают только испанский язык.

Задача 10. Каждый из 50 парней силён, умён, красив. Сильных и умных – 17 человек, умных и красивых – 25 человек, сильных и красивых – 16, сильных – 30, умных – 35, красивых – 28. Сколько парней обладают всеми тремя качествами

Ответ: 15 парней обладают всеми тремя качествами

Задача 11. В группе 35 студентов. Из них отличников 20, спортсменов 15, активистов 16, отличников и спортсменов 7, активистов и отличников 3, активистов и спортсменов 8. Сколько студентов являются отличниками, спортсменами и активистами

Ответ: 2 студента являются отличниками, спортсменами и активистами

Задача 12. Каждая из 45 девушек умна, воспитана или красива. Воспитана и умна -20, красива и умна –10, воспитана и красива –8, воспитанных –30, умных – 25, красивых – 20. Сколько девушек обладает всеми тремя указанными качествами?

Ответ: 8 девушек обладает всеми тремя указанными качествами

Задача 13. Из 220 школьников 163 играют в баскетбол, 175 в футбол, 24 не играют в эти игры. Сколько человек одновременно играют в баскетбол и футбол?

Ответ: 142 одновременно играют в баскетбол и футбол

Задача 14. Среди 35 туристов одним английским владеют 11 человек, английским и французским 5 человек. 9 человек не владеют ни английским, ни французским. Сколько человек владеют только французским языком?

Ответ: 10 человек владеют только французским языком

Задача 15. В течении 30 дней сентября было 12 дождливых дней, 8 ветреных, 4 холодных, 5 дождливых и ветреных, 3 дождливых и холодных и 2 ветреных и холодных, а один день был и дождливым, и ветреным, и холодным. В течении скольких дней в сентябре стояла хорошая погода?

Ответ: В течении 15 дней в сентябре стояла хорошая погода

Задача 16: «Гарри Поттер, Рон и Гермиона» На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?

 

Задача 17: «Пионерский лагерь» В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

 Ответ: 10 человек

Задача 18: «Экстрим» Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

 Ответ: 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

Задача 19: «Футбольная команда»

 В футбольной команде «Спартак» 30 игроков, среди них 18 нападающих, 11 полузащитников, 17 защитников и вратари. Известно, что трое могут быть нападающими и защитниками, 10 защитниками и полузащитниками, 6 нападающими и защитниками, а 1 и нападающим, и защитником, и полузащитником. Вратари незаменимы. Сколько в команде «Спартак» вратарей?

 

Задача 20:  «Магазин» В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 - и микроволновку, и телевизор, 15- холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

Задача 21:  «Детский сад» В детском саду 52 ребенка. Каждый из них любит либо пирожное, либо мороженое, либо и то, и другое. Половина детей любит пирожное, а 20 человек — пирожное и мороженое. Сколько детей любит мороженое?

Ответ: 26 детей любит только мороженое, 46 детей любит мороженое

Задача 22:  «Ученическая бригада»

В ученической производственной бригаде 86 старшеклассников. 8 из них не умеют работать ни на тракторе, ни на комбайне. 54 ученика хорошо овладели трактором, 62 — комбайном. Сколько человек из этой бригады могут работать и на тракторе, и на комбайне?

Собственные задачи

Задача 1. В моем классе 15 девочек. Из них 9 занимаются в художественной школе, 5 – занимаются танцами и 3 – в обеих секциях. Сколько девочек не посещают секции?

Ответ: 4 девочки.

Задача 2. В классе 27 учеников, 12 занимаются в математическом кружке, 8 в биологическом, а 9 ребят не посещают эти кружки. Сколько математиков увлекаются биологией?

Ответ: 2 математика увлекаются биологией

Задача 3. Часть туристов разговаривает на английском, а часть на французском. На английском – 80% , на французском - 50%.Сколько туристов разговаривают сразу на двух языках.

Ответ: 30% туристов разговаривают сразу на двух языках.

Задача 4. В классе 25 учеников. Из них отличников 10, спортсменов 15, активистов 16, отличников и спортсменов 7, активистов и отличников 3, активистов и спортсменов 8. Сколько учеников являются отличниками, спортсменами и активистами

Ответ: 2 ученика являются отличниками, спортсменами и активистами

Задача 5. Каждая из 43 учениц шестых классов умна, воспитана или красива. Воспитана и умна -21, красива и умна –11, воспитана и красива –8, воспитанных –30, умных – 25, красивых – 20. Сколько девушек обладает всеми тремя указанными качествами?

Ответ: 8 девушек обладает всеми тремя указанными качествами

Литература

1. Орлова Е. Методы решения логических задач и задач на числа // Математика. – 1999

2. Фарков А.: Математические олимпиады. 5-6 классы. Ко всем действующим учебникам.// М.: Экзамен, 2013.

3. http://ru.wikipedia.org

4. http://school-collection.lyceum62.ru/

5. https://открытыйурок.рф/статьи/

6. https:// tutoronline.ru

7. https://infourok.ru/