Сборник дивергентных задач по математике для учащихся 5-9 классов

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 8»

Рузаевского муниципального района Республики Мордовия

СБОРНИК

ДИВЕРГЕНТНЫХ ЗАДАЧ

ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

5-9 КЛАССОВ

Рузаевка 2022

ИЗ ОПЫТА ПРИМЕНЕНИЯ ДИВЕРГЕНТНЫХ ЗАДАЧ

НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

Математика имеет большие возможности в развитии не только абстрактного, понятийного, алгоритмического мышления, но и творческого. Огромное количество математических задач, накопленных и проверенных в ходе многовековой педагогической практики, исправно служили и служат средством развития всех видов мышления. Математическая задача – это первая искорка, начало познавательного, поискового, эвристического, творческого процесса. Она пробуждает мысль, будоражит мышление и развивает креативность мышления.

Обычно в школе рассматриваются конвергентные задачи, т.е. имеющие вполне определенное условие, строгий алгоритм решения и единственно верный ответ, которые рассчитаны на развитие главным образом конвергентного мышления.

Как известно, конвергентное мышление – это последовательное, логическое, однонаправленное мышление. Как отмечает А.И. Савенков, «этот тип мышления считается более простым по сравнению с творческим, но от того важность его при формировании обучаемости ребенка не уменьшается. Формируемые в ходе решения данных задач интеллектуальные умения имеют общий, универсальный характер».

Конвергентные задачи в процессе развития мышления ребенка играют такую же роль, какую играют простые задачи при формировании общего умения решать задачи.

Многие десятилетия усилия методистов в соответствии с традициями отечественных образовательных программ и учебников были главным образом направлены на разработку методических подходов к решению конвергентных задач.

Однако жизнь, как известно, ставит перед человеком дивергентные задачи, т.е. имеющие много вариантов правильных ответов и соответственно различные варианты решений. При традиционном обучении математике задачи дивергентного типа встречаются крайне редко, тогда как эффективность развития креативности мышления при использовании таких задач весьма высока, ибо многовариантность ответов и решений задач создает оптимально благоприятные условия для реализации творческого потенциала ребенка, позволяет ему проявлять беглость, гибкость и оригинальность мышления в процессе работы над задачей.

Проанализировав свою деятельность на уроках, я поняла, что стереотипы практически все ученики усваивают без затруднений, а познавательная деятельность остается недостаточно востребованной. Ознакомившись с работами А. И. Савенкова, М. А. Холодной, А. В. Сгибнева, четко для себя определила: необходимо так организовать учебный процесс, чтобы учащиеся на занятиях были не объектом, воспринимающим готовые знания, а исследователями, ведущими активную поисковую деятельность, желающими научиться быстро и легко решать задачи.

Основными приемами исследования математических задач в системе педагогического опыта, которые на практике показали свою эффективность как средство развития креативности мышления школьников, являются следующие:

1. Математика как наука для учащихся начинается с загадки, проблемы. Ввод проблемной ситуации через задачу – средство, которое помогает учащимся не только качественно усвоить материал, но и испытать радость открытия.

2. При изучении теоретического материала школьники раскрывают взаимосвязи, что способствует мотивации введения новых понятий, выявлению их существенных свойств, усвоению математической символики и терминологии,

В качестве иллюстрации приведу фрагмент урока геометрии по теме «Теорема Пифагора».

Мотивирующая задача: «Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?»

Анализируя математическую модель этой практической задачи, учащиеся формулируют проблему – нужно найти гипотенузу прямоугольного треугольника по двум известным катетам. Для решения этой проблемы организую практическую работу исследовательского характера, предложив учащимся задание по рядам: построить прямоугольные треугольники с катетами 12 и 5; 6 и 8; 8 и 15 см и измерить гипотенузу. Результаты заносятся в таблицу.

Затем учащимся предлагается выразить формулой зависимость между длинами катетов и гипотенузой в прямоугольных треугольниках. Школьники выдвигают свои гипотезы, которые обсуждаются. После установления зависимости между сторонами прямоугольного треугольника эмпирический вывод требует теоретического обоснования, т.е. доказывается теорема Пифагора.

Хочу отметить, что не следует заставлять учащихся «переоткрывать» все правила и теоремы. Но рассмотренный метод очень эффективен в отношении развития самостоятельного, творческого мышления. А это значит, что его необходимо разумно применять.

3. Формирование умения учащихся проводить содержательный анализ задачи осуществляется с помощью следующих видов деятельности в решении задач:

1. Решить задачу, если возможно, разными способами.

2. Выявите наиболее рациональный способ решения.

3. Составьте и решите задачу, аналогичную данной по способу решения.

4. Составьте и решите задачу, обратную данной.

5. Составьте и решите задачу, используя данные, полученные при решении задачи.

Все эти виды деятельности создают предпосылки для формирования у ученика умения находить свой оригинальный способ решения задачи, воспитывает стремление вести самостоятельный поиск.

4. Важным элементом системы работы являются задачи с несформулированным вопросом, некие «заготовки задач». Данные есть; требуется поставить разумный вопрос, чтобы на него можно было найти ответ.

5. Варьирование условия задачи. Часто при решении единичной задачи перехожу к изучению ее окрестностей. Исследование некоторой «окрестности», целого семейства задач способствует развитию активного, самостоятельного мышления школьников.

Пример. Из сел А и В, расстояние между которыми 30 км, одновременно в противоположных направлениях выехали два велосипедиста. Скорость первого 12км/час, другого в 1,25 раза больше. Какое расстояние будет между ними через 0,5 часа?

Чуть изменим условие задачи.

Опустим слова «в противоположных направлениях» и откроется простор для творчества. Дети составляют 4 задачи по условию, и это при том, что велосипедисты движутся по прямой. А ведь это необязательно, можно на самом деле ехать в перпендикулярных направлениях или вообще под произвольным углом. В первом случае для решения нужна теорема Пифагора, во втором – теорема косинусов. Но уже пятиклассникам полезно рассмотреть эти случаи, хотя решение задачи для них откладывается. Но они могут предложить, например, такой способ решения: вычислить расстояние, которое проезжает каждый велосипедист, построить на бумаге в каком-то масштабе и измерить необходимое расстояние.

Варьирование условия задачи может привести к мини-исследованию, которое продолжается дома.

Особо хочу сказать о типах задач, которых в современных учебниках мало. В школьных задачах данных ровно столько, сколько требуется для решения задачи. Я предлагаю своим ученикам также задачи с недостаточным и избыточным составом условия.

Например, в задачах с неполным составом условия для получения конкретного ответа не хватает одной или нескольких величин или каких-то указаний на свойства объекта или его связи с другими объектами. Указать на недостающие данные учащиеся смогут только тогда, когда ими воспринимается формальная структура задачи, комплекс взаимосвязанных величин, составляющих ее сущность.

В своей работе учитель использует задачи различных авторов, указанных ниже в списке литературы (см.: Литература).

ЗАДАЧИ ДЛЯ 5-6 КЛАССОВ

1. На протяжении 155 м уложено 25 труб длиной 5 м и 8 м. (Сколько уложено тех и других труб?)

2. Мы сделали покупку. Если заплатить за нее трехрублевыми купюрами, то придется выдать восемью денежными знаками более, чем в том случае, если заплатить пятирублевыми. (Сколько стоит покупка?)

3. До конца суток осталось 4/5 того, что уже протекло от начала суток. (Который сейчас час?)

4. Автобус шел 4 ч со скоростью 60 км/ч и 3 ч со скоростью 55 км/ч. (Какой путь прошел автобус за эти 7 часов?)

5. Витя, Саша и Коля вместе имеют массу 103 кг. Витя с Колей вместе имеют массу 77 кг, а Саша с Колей 58 кг. (Какова масса каждого мальчика?)

6. Длина прямоугольника 12 см, а ширина 4 см. Прямоугольник разделили на две части так, что площадь одной из них в 5 раз больше площади другой. (Найти площадь каждой части прямоугольника.)

7. В одной пачке 26 книг и в ней на 7 книг меньше, чем во второй, а в третьей пачке на 11 книг больше, чем во второй. (Сколько книг в трех пачках?)

8. Арбуз, дыня и тыква вместе весят 20 кг. Масса дыни составляет общей массы, а масса тыквы общей массы. (Какова масса арбуза?)

9. В полном мешке было 60 кг картофеля. В первый день было израсходовано мешка картофеля, во второй день - на мешка меньше. (Сколько кг картофеля было израсходовано за два дня?)

10. Расстояние между двумя городами равно 840 км. Одновременно навстречу друг другу из этих городов вышли два поезда. Один идет со скоростью 60 км/ч, другой - 80 км/ч. (Через сколько часов они встретятся?)

11. Одна из сторон треугольника имеет длину 4 дм 6 см, а другая вдвое короче. Длина третьей стороны на 1 дм 9 см меньше, чем сумма длин первых двух сторон. (Найти периметр треугольника.)

12. Мастерская получила 800 м сатина. Из м полученной ткани сшили юбки, а из оставшейся ткани сшили платья. (Сколько метров ткани осталось?)

13. В первый день турист прошел всего пути, а во второй день - всего пути. Известно, что за эти два дня он прошел 24 км. (Сколько километров составляет весь путь туриста?)

14. В куске 136 м материи. Из куска сшили костюмы. (Сколько материи осталось?)

15. Теплоход идет вниз по реке. Скорость течения реки 4 км/ч, собственная скорость теплохода 21 км/ч. (Какова скорость движения теплохода?)

16. Самолет вылетел из аэропорта со скоростью 500 км/ч. Через 2 часа из этого же аэропорта в том же направлении вылетел другой самолет со скоростью 700 км/ч. (Через сколько часов второй самолет догонит первый?)

17. Скорость теплохода по течению равна 37,6 км/ч, а скорость течения реки - 3,9 км/ч. (Найдите собственную скорость теплохода или скорость теплохода против течения.)

18. Скорость дельфина в два раза больше скорости акулы. Скорость акулы на 25 км/ч меньше скорости дельфина. (Какова скорость каждого животного?)

19. Магазин за три дня продал 1240,8 кг муки. В первый день было продано 543 кг, во второй - в 2 раза больше, чем в третий. (Сколько кг муки было продано в третий день?)

20. Завод изготовил 3,75 тыс. деталей и продал их по цене 950 р. за штуку. Расходы завода на изготовление одной детали составили 703,3 р. (Какую прибыль получил завод от продажи этих деталей?)

21. В библиотеке 3200 книг. Из них 40% книг в твердом переплете, в мягком переплете - 115% от книг в твердом переплете, остальные - в электронном виде. (Сколько книг в электронном виде?)

22. При ремонте квартиры в первый день отрезали рулона линолеума и еще 0,8 м, во второй день отрезали остатка и еще 0,2 м, после чего в рулоне осталось 0,4 м линолеума. (Сколько метров линолеума было в рулоне?)

23. Маша сказала Даше: «Дай мне 8 конфет, тогда у меня будет в 2 раза больше конфет, чем у тебя». А Даша ответила: «Лучше ты дай мне 8 конфет, тогда у нас конфет будет поровну». (Сколько конфет было у каждой девочки?)

24. Аня купила 5 яблок. Все они без первого весили 798 г, без второго - 794 г, без третьего - 813 г, без четвертого - 806 г, без пятого - 789 г. (Какова масса всех пяти яблок?)

25. Даны два прямоугольных параллелепипеда. Длина одного из них в 4 раза больше длины другого, ширина - в 6 раз больше ширины другого, высота - в 8 раз меньше высоты другого. (Объем какого параллелепипеда больше и во сколько раз?)

26. Площадь огорода 6,4 а. В первый день вскопали 30% огорода, а во второй день - 35% огорода. (Сколько аров осталось еще вскопать?)

27. Периметр прямоугольника 0,36 м. Его длина в 2 раза больше ширины. (Чему равна площадь прямоугольника?)

28. Банка с медом весит 500 г. Такая же банка с керосином - 350 г. Сколько весит пустая банка? (Нужно знать отношение веса меда и керосина.)

29. Собака погналась за лисицей, находящейся от нее в 30 м. Скачок собаки — 2 м, скачок лисицы— 1 м. Какое расстояние должна пробежать собака, чтобы догнать лисицу? (Нет данных относительно отношения частоты скачков, например, в то время как лисица делает 3 скачка, собака делает 2 скачка.)

30. Даны две окружности, радиус одной из них - 3 см, расстояние между их центрами - 10 см. Пересекаются ли эти окружности? (Требуется знать радиус другой окружности.)

31. Соблюдая какой порядок могут идти по улице всадник со своим малолетним сыном?

32. Нужно доставить 60 т продукции на двух машинах. За день машина может выполнить 1 рейс с грузом 2 т или 3 рейса с грузом 1 т. Как выгодно организовать доставку продукции?

33. Расстояние между двумя муравейниками 20 метров. Из этих муравейников одновременно вылезли 2 муравья и побежали в противоположных направлениях со скоростью 5 м в минуту. На каком расстоянии они окажутся через 1 мин?

34. Школьники из Ставрополя собрались на каникулы поехать в Москву, посетив попутно город-герой Волгоград. Из Ставрополя в Волгоград можно отправиться на поезде или автобусом, а из Волгограда в Москву на самолете, поездом или теплоходом. Какие маршруты могут выбрать ребята для осуществления своего путешествия?

35. Какой знак надо поставить между 7 и 8, чтобы получилось число больше 7, но меньшее 8?

36. Два мотоциклиста едут навстречу друг другу. Скорость одного из них равна (в км/ч) площади прямоугольника со сторонами 31 и 2. Скорость другого мотоциклиста составляет 10% от 540. Через сколько часов мотоциклисты встретятся, если сейчас между ними расстояние, равное (в км) количеству кубиков с ребром, равным 1, составляющих прямоугольный параллелепипед с измерениями 29, 4 и 3?

37. Задача из рассказа А. П. Чехова «Репетитор».

Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 р. Спрашивается: сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 р. за аршин, а черное 3 р?

38. Пользуясь цифрами от 1 до 9 и знаками действий, напишите число 100, выполняя условие, что цифры надо писать по порядку.

39. (Старинная задача). Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 сажен, а собака в 5 минут – 1300 сажен. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца?

40. Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?

41. В 12.00 из деревни Шахматово вышел шахматист со скоростью 4 км/ч. В тот же момент по той же дороге навстречу ему из деревни Шашкино вышел шашист со скоростью 6 км/ч. Они встретились, поговорили 5 мин и пошли дальше. Каждый дошел до другой деревни, побыл там 15 мин и пошел обратно. На обратном пути они снова встретились и, не останавливаясь, пошли дальше, каждый в свою деревню. Расстояние между деревнями 12 км.

42. Из сел А и В, расстояние между которыми 30 км, одновременно в противоположных направлениях выехали два велосипедиста. Скорость первого 12км/час, другого в 1,25 раза больше. Какое расстояние будет между ними через 0,5 часа?

43. Из двух сел вышли одновременно два пешехода и встретились . Расстояние между селами 36 км. Скорость одного пешехода 4 км/ч. Найдите скорость второго пешехода.

44. По реке движутся плот и катер навстречу друг другу. Сейчас расстояние между ними 52 км. Скорость плота 4 км/ч, а скорость катера 9 км/ч. На сколько изменится расстояние между ними за час?

45. Велосипедист ехал два часа с некоторой скоростью. После того как проедет еще 60 км с этой же скоростью, его путь станет равным 48 км. С какой скоростью ехал велосипедист?

46. Турист проехал поездом и на лошадях 288 км, причем на лошадях он проехал 48 км. Поездом он ехал 4 часа, а на лошадях - 3 ч. С какой скоростью ехал турист на лошадях, если скорость поезда 60 км/ч?

47. Турист проехал поездом и на лошадях 288 км. Поездом он ехал 4 ч, а на лошадях - 3 ч. С какой скоростью ехал турист на лошадях?

48. За 3 м ткани заплатили 120 р. В другой раз купили 6 м ткани. Сколько рублей заплатили за ткань, купленную в другой раз?

ЗАДАЧИ ДЛЯ 7-9 КЛАССОВ

1. В параллелограмме стороны равны 3 см и 5 см, а высота 4 см. Найти площадь параллелограмма.

2. В параллелограмме стороны 4 см и 5 см, а высота 3 см. Найти площадь параллелограмма.

3. В треугольнике одна сторона имеет длину 10 см, а другая 8 см. Найти длину третьей стороны.

4. Поезд состоит из цистерн, товарных вагонов и платформ. Цистерн на 4 меньше, чем платформ, и на 8 меньше, чем вагонов. Какой длины поезд, если каждая цистерна, вагон и платформа имеют длину 25 м?

5. Заасфальтировали на 30 км больше, чем осталось. Сколько процентов дороги покрыто асфальтом?

6. Найти площадь прямоугольного треугольника с катетами 9 см и 40 см и гипотенузой 41 см.

7. Найти площадь треугольника со сторонами 10 см, 19 см и 8 см.

8. В прямоугольнике стороны равны 8,4 см и 3,9 см, а периметр 24,6 см. Найти площадь прямоугольника.

9. В прямоугольнике длины сторон равны 6,7 см и 4,2 см, а площадь равна 25,3 кв. см. Требуется найти периметр прямоугольника.

10. В одной мензурке имеется некоторое количество кислоты, в другой мензурке такое же количество воды. Для приготовления раствора сначала вылили из первой мензурки во вторую 30 граммов кислоты. Затем 2/3 раствора, получившегося во второй мензурке перелили в первую. После этого в первой мензурке оказалось в 1,4 раза меньше жидкости, чем во второй мензурке. Сколько кислоты и воды было взято первоначально?

РАСШИРЕННАЯ СИСТЕМА ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ

«СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА»

Применение свойства углов для произвольного треугольника

1. Два угла треугольника равны 26° и 118°. Найти величину третьего угла треугольника.

2. Два угла треугольника равны 118° и 62°. Найти величину третьего угла.

3. Найти углы треугольника, если они пропорциональны числам 3, 4, 5.

4. В треугольнике ABC угол A равен 24,° угол C в два раза больше угла B. Найти неизвестные углы треугольника.

5. Найти углы треугольника, если один из его углов равен сумме двух других, а два меньших угла относятся как 2:3.

6. Найти попарные отношения углов треугольника, если один из них равен 36°, а второй – 84°. (Задача имеет 6 ответов).

7. В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол B равен 70°, два угла относятся как 7:8. Найти углы треугольника ABC.

8. В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол B равен 70°, два угла относятся как 4:7. Найти углы треугольника ABC.

9.В треугольнике ABC угол A равен 30° и углы относятся как 1:1:4. Найти углы треугольника ABC.

10.В треугольнике ABC угол А равен 30° и углы относятся как 1:2:6. Найти углы треугольника ABC.

11.В треугольнике АВС угол А равен 70° и два угла относятся как 5:6. Найти углы треугольника АВС.

Применение свойства углов для равнобедренного треугольника

1. Найти углы равнобедренного треугольника, если угол при его вершине равен 28°.

2. Найти углы равнобедренного треугольника, если угол при его основании равен 28°.

3. Может ли равнобедренный треугольник иметь углы величиной 55° и 70°? 24° и 62°?

4. Найти углы равнобедренного треугольника, если один из них равен 100°.

5. Найти углы равнобедренного треугольника, если два его угла соответственно равны: а) 55° и 70°; б) 40° и 110°; в) 20° и 20°; г) 60° и 60°.

6. Может ли биссектриса, медиана или высота треугольника разбивать его на два равносторонних треугольника?

7. Найти углы равнобедренного треугольника, у которого высота, проведённая к основанию, разбивает его на 2 треугольника так, что соотношение острых углов каждого из полученных треугольников равно 1:2.

8. Доказать, что равнобедренный треугольник с углом 60° является равносторонним.

9. Какими могут быть углы равнобедренного треугольника, если биссектриса одного из углов разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника.

10. Доказать, что если любые две биссектрисы треугольника, пересекаясь, образуют со сторонами равнобедренные треугольники, то данный треугольник равносторонний.

11. Доказать, что отрезки высот равностороннего треугольника образуют со сторонами этого треугольника 3 равнобедренных треугольника.

Последние две задачи этого раздела – привычные задачи школьного учебника. Но решать такие задачи ученики не любят именно потому, что здесь требуется выполнить перебор всех возможных вариантов, к чему они не очень хорошо подготовлены. Поэтому предыдущие задачи в большей своей части и содержат необходимость выполнения перебора вариантов, что, как нам представляется, и должно подготовить учащихся к решению двух последних задач.

Применение свойства углов для прямоугольного треугольника

1. Один из углов прямоугольного треугольника равен 73°. Найти другой его острый угол.

2. В прямоугольном треугольнике один угол равен 65°. Найти величины остальных углов.

3. Один из острых углов прямоугольного треугольника в 5 раз больше другого. Найти эти углы.

4. Найти острые углы прямоугольного треугольника, если один из них на 32° больше другого.

5. Острые углы прямоугольного треугольника пропорциональны числам 5 и 7. Найти эти углы.

6. Разность острых углов прямоугольного треугольника равна 15°. Найти эти углы.

7. Найти углы прямоугольного треугольника, если один из них в 5 раз больше другого.

8. Найти углы прямоугольного треугольника, если один из них на 32° больше другого.

9. Найти углы прямоугольного треугольника, если один из них в 3 раза меньше другого.

10. Углы треугольника пропорциональны числам Х, 8 и 10. Каким может быть число Х, если треугольник прямоугольный?

11. Два угла прямоугольного треугольника пропорциональны числам 2 и 3. Найти углы треугольника.

12. Можно ли найти отношение сторон прямоугольного треугольника (хотя бы некоторых), если известно, что один из его углов в 2 раза больше другого?

Первые шесть задач этого раздела традиционные. Пять следующих (от седьмой до одиннадцатой) внешне похожи на первые шесть, но содержат одну неопределённость, существенно влияющую на характер решения: речь уже не идёт об острых углах и потому к числу затронутых в условии углов придётся теперь относить и прямой угол. Таким образом, задача получит несколько возможных ответов. Последняя задача не может быть решена в полном виде до изучения теоремы Пифагора, поэтому в седьмом классе возможно лишь её частичное решение: либо равнобедренный прямоугольный треугольник с отношением катетов 1:1, либо прямоугольный треугольник с углом 30°, где отношение катета к гипотенузе равно 1:2.

Применение свойства углов в треугольнике с дополнительными построениями

1. В треугольнике АВС биссектрисы углов А и В пересекаются в точке К. Найти величину угла АКВ, если угол А равен 50°, угол В=100°.

2. В равнобедренном треугольнике угол равен 68°. Под каким углом пересекаются биссектрисы двух других его углов?

3. Под каким углом пересекаются биссектрисы равностороннего треугольника? высоты равностороннего треугольника?

4. Треугольник имеет углы 36° и 74°. Под каким углом пересекаются высоты, проведенные из вершин этих углов? Под каким углом пересекаются биссектрисы этих углов?

5. В треугольнике АВС (АВ=ВС) проведена биссектриса СМ. Найти углы треугольника АВС, если величина угла АМС равна 120°.

6. В треугольнике АВС угол А равен 40°, угол С - 70°, биссектрисы углов А и С пересекаются в точке К, угол АКС равен 125°. Найти угол В.

7. В треугольнике АВС угол А равен 30°, угол С равен 80°, биссектрисы углов А и В пересекаются в точке К, угол АКВ равен 135°. Найти угол В.

8. Под каким углом пересекаются неравные биссектрисы равнобедренного треугольника, один из углов которого 96°? 90°? 86°?

9. В равнобедренном треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Найти углы треугольника АВС, если угол АМС равен 64°.

10. Биссектрисы углов А и В треугольника АВС пересекаются в точке К. Найти величину угла АКВ, если величина угла АСВ равна 170°.

11. Найти величину угла треугольника, если биссектрисы двух других его углов пересекаются под углом 100°.

12. В каком треугольнике биссектрисы пересекаются под прямым углом?

13. В треугольнике АВС биссектрисы углов А и В пересекаются в точке К. Угол BАC равен 70°. Найти угол АКВ.

В задачах этого раздела также запланирован переход от традиционных задач к задачам, требующим анализа условия и рассмотрения различных вариантов.

Задачи с внешними углами треугольника

1. Внешний угол треугольника равен 130°, один из не смежных с ним внутренних 70°. Найти углы треугольника.

2. Углы треугольника равны 47°, 69° и 64°. Найти внешние углы треугольника.

3. Внешний угол треугольника равен 130°, а два внутренних 60° и 70°. Найти углы треугольника.

4. Внешний угол треугольника равен 130°, а два внутренних – 30° и 60°. Найти углы треугольника.

5. Один из внутренних углов прямоугольного треугольника равен 47°, а один из внешних – 137°. Найти величины остальных внутренних углов.

6. В прямоугольном треугольнике внутренний угол равен 47°, внешний 133°. Найти величины остальных внутренних углов.

7. В прямоугольном треугольнике внутренний угол равен 47°, внешний 143°. Найти величины остальных внутренних углов.

8. Найти углы равнобедренного треугольника, если один из его внешних углов равен 30°.

9. Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 107°. Найти его внутренние углы.

10. Один из внешних углов треугольника равен 130°, а один из внутренних – 46°. Найти другие внутренние и внешние углы треугольника.

11. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 96°. Найти внутренние углы треугольника.

12. Сумма внешних углов с вершинами А и В равна 186°. Найти величину угла С треугольника АВС.

13. Сумма двух внешних углов с вершинами А и В равна 172°. Найти величину угла С треугольника АВС.

14. Внешний угол прямоугольного треугольника в 7 раз больше внутреннего с той же вершиной. Найти углы треугольника.

15. Внешний угол прямоугольного треугольника в 4 раза больше внутреннего. Найти углы треугольника.

16. Найти сумму внешних углов прямоугольного треугольника (по одному при каждой вершине).

17. Разность двух внешних углов треугольника равна третьему внешнему углу. Найти внутренние углы треугольника.

18. Найти отношение внешних углов равнобедренного треугольника, если отношение его внутренних углов 2:5.

19. Под каким углом пересекаются две прямые, если при пересечении их третьей сумма внутренних односторонних углов равна 215°?

20. Один из углов треугольника в 3 раза больше другого, а разность внешних углов при этих же вершинах равна 80°. Найти углы треугольника.

21. Один из углов треугольника в 2 раза больше другого, а разность внешних углов при этих же вершинах равна 80°. Найти углы треугольника.

22. Внешние углы треугольника пропорциональны числам 3, 7, 8. Каким числам пропорциональны его внутренние углы?

23. Прямые a и b пересекаются под углом 85°. Прямая c пересекает a и b так, что разность внутренних односторонних углов равна 75°. Определить вид полученного треугольника.

24. Прямые a и b пересекаются под углом 75°. Прямая c пересекает a и b так, что разность внутренних односторонних углов равна 85°. Определить вид полученного треугольника.

25. Определить, под каким углом пересекаются прямые c и d, если прямая а пересекает их так, что сумма внутренних односторонних углов равна 54°.

26. Прямые k и l пересекаются под углом 33°. Прямая р пересекает их так, что один из внутренних односторонних углов в 2 раза больше другого. Найти углы треугольника, образованного этими прямыми.

27. Прямые a и b пересекаются под углом 40°. Прямая р пересекает их так, что в получившемся треугольнике углы относятся как 1:7:28. Найти углы треугольника, образованного этими прямыми.

28. Под каким углом пересекаются прямые c и d, если прямая а пересекает их так, что разность внутренних односторонних углов равна 90°.

КОНСПЕКТ УРОКА МАТЕМАТИКИ В 5 КЛАССЕ

УРОК-СКАЗКА ПО ТЕМЕ «ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ»

I. Организационный момент.

Приветствие, проверка готовности к уроку.

Давайте друзья улыбнемся друг другу,

Улыбки подарим гостям.

У вас все готово? Тогда за работу.

Удачи желаю всем нам!

А удача нам сегодня очень нужна, потому что мы отправляемся в путешествие по сказке.

В тридевятом царстве, в тридевятом государстве жили-были Иван-царевич и Василиса Прекрасная. Все у них в царстве было хорошо. Но вдруг нежданно-негаданно откуда-то появился Змей Горыныч и унес Василису Прекрасную к себе в подземелье, заточил в темницу. А Ивану-царевичу оставил письмо заколдованное: «Казнить нельзя помиловать!» да примеры неправильные.

Испугался Иван, задрожал. К счастью для Ивана, плохо знал Змей Горыныч грамматику, запятую не поставил. А значит, что всё еще можно исправить.

Давайте поможем ему правильно прочитать письмо. Кто прочитает так, чтобы Василиса осталась жива? «Казнить нельзя, помиловать».

Да, в русском языке запятая очень важна, но не менее важна ее роль и в математике. От ее положения зависит верность равенства. Зная это, вы легко расшифруете следующие заколдованные примеры.

II. Актуализация опорных знаний, умений.

Устная работа.

1. Расставьте запятые так, чтобы равенства стали верными:

1,2 + 3,8 = 5 83 – 2,7 = 80,3

9,81 - 5,81 = 4 5 + 1,47 = 6,47

1,4 * 5 = 7 1,2 * 50 = 60

Молодцы, мы помогли Ивану справиться с испугом. Пошел Иван-царевич спасать Василису. Без нашей помощи ему не обойтись. Давайте проверим, насколько мы готовы помогать Ивану.

Запишите в тетрадях число, классная работа.

2. Выполните указанные действия, запишите в тетради решения.

Тесты с сигнальными карточками:

а) 0,769+42,389=

50, 459 43,158 * 4,3158

б) 5,8+22,191=

27,991 * 80,195 27,199

в) 11,1-2,8=

8,3 * 83,0 0,83

г) 6,6-5,99=

6,1 0,07 0,61*

Давайте проверим. У вас на столах лежат карточки трех цветов. Покажите карточку того цвета, рядом с которым записан ваш ответ.

Вы справились с заданием и готовы помочь Ивану-царевичу спасти Василису Прекрасную.

А что же Иван-царевич?

III. Решение задач.

Скоро ль сказка сказывается, да не быстро дело делается. Съел Иван-царевич все припасы, истоптал башмаки, а до царства Змея Горыныча далеко. Шел-шел Иван-царевич, устал, проголодался. И тут на его пути попадается чудесная яблоня. Яблоки наливные, волшебные, съешь одно - и силы удесятерятся. А съесть их можно, только правильно решив задачу. Встал Иван перед яблонькой, задумался. Уж очень сложная задача! Давайте, ребята, поможем ему.

1. В волшебном саду 3 яблони. На одной 2,7 ц яблок, на второй на 0,3 ц меньше, чем на первой, а на третьей на 0,2 ц больше. Сколько яблок на всех трех яблонях?

Ребята, кто знает, как решить задачу?

Давайте составим план решения задачи:

1) Вопрос + как?

2) Вопрос +как?

В задаче не сказано, с каким количеством сравнивают количество яблок на третьей яблоне! Это задача с неполным условием!

Так вот, оказывается, почему задумался Иван!

А как можно изменить условие, чтобы задача имела решение?

Решение трех возможных вариантов задач:

Молодцы, помогли мы Ивану-царевичу. Отведал он наливного яблочка, набрался сил и пошел дальше.

А мы с вами, ребята, тоже немного отдохнем.

Физкультминутка.

Это легкая забава

Повороты влево-вправо,

Это легкая забава.

Нам известно всем давно,

Там стена, а там окно.

Приседаем быстро, ловко.

Здесь видна уже сноровка.

Чтобы мышцы развивать,

Надо много приседать.

А теперь ходьба на месте -

Это тоже интересно.

Отдых кончен наш, ребята,

Нам пора опять за парты.

Молодцы, зарядились энергией. Пора нам вернуться к Ивану-царевичу. Долго он шел, устал. Вдруг перед ним появилась река. А в реке плавала рыба, не простая, а волшебная. Спросил Иван-царевич у нее, как найти логово Змея Горыныча. А рыбка ему в ответ: «Я не могу тебе сказать, как добраться до Змея Горыныча, но знаю, где живет Баба-Яга, уж она-то сможет тебе помочь найти Змея Горыныча. Я тебе скажу, как до нее добраться.

2. У меня есть две лодки. Одна может развивать скорость в стоячей воде 5,4 км/ч, другая 7,4 км/час. Баба-Яга живет в 16 км вверх по течению реки. Помни, что доплыть до нее ты должен за 4 часа. Выбирай любую лодку!

Только подумай, чтобы не ошибиться. Помни, что река будет тебе мешать.

Растерялся Иван, боится сделать неправильный выбор. Давайте ему поможем!

Давайте вспомним, в чем заключается особенность движения по реке? (При движении по течению реки к скорости лодки прибавляется скорость реки, при движении против течения реки скорость лодки уменьшается на скорость течения реки). Лодка Ивана-царевича должна плыть вверх по течению реки, что это значит? Как же называется скорость лодки в этом случае? Что можно узнать из этого условия? По условию нам известна скорость лодки в стоячей воде. А сможем ли мы, исходя из условий задачи, найти скорость лодки против течения? (Да. 16:4=4). То есть нам нужно узнать, какую собственную скорость должна иметь лодка, чтобы она смогла проплыть 16 км за 4 ч. Какая же из лодок сможет плыть с такой скоростью?

Обсуждение задачи.

Какого условия недостает в задаче? Правильно, нам не известна скорость течения реки.

Вот и Иван-царевич догадался, что не хватает данных в задаче. Спросил он у рыбки про скорость течения реки, а она только засмеялась и говорит: «Даю тебе три уравнения. Решив их, ты сможешь найти скорость течения реки».

А чтобы быстрее справиться с решением, мы разделимся на группы. Первый ряд решает первое уравнение, второй – второе, третий – третье. Нам важно, чтобы все правильно решили уравнения, поэтому вы можете работать в парах. Как вы думаете, корень какого уравнения может выражать скорость течения реки?

Правильно, корень второго уравнения - 3,4 км/ч.

А почему вы выбрали именно это значение? (Да, действительно, у нас река протекает в лесу, на равнине. Ее скорость не может быть такой большой как 18,4 или 66 км/ч). Ну а теперь мы можем решить задачу. (Один ученик записывает решение у доски).

1) 16:4=4 (км/ч)

Мы знаем уже, что скорость против течения 4 км/ч, а скорость течения 3,4 км/ч. Какой должна быть собственная скорость?

2) 4+3,4=7,4 (км/ч)

Ответ: 7,4 км/ч собственная скорость лодки.

Ребята, вы молодцы! Помогли Ивану сделать правильный выбор!

И поплыл Иван-царевич к Бабе-Яге ровно через 4 часа, видит: стоит избушка на курьих ножках. А в этом доме живет Баба-Яга, вот только попасть к ней можно, если Иван сможет отгадать спрятанные цифры.

Я предлагаю вам снова поработать в парах и разгадать этот ребус.

* 2 , 4 * 1 5

* , 7 9 * 9

3 , * 8 0 *

Разгадал с нашей помощью Иван ребус. Указала Баба-Яга ему дорогу и открыла такой секрет: «Коль нужно тебе какой запор отпереть или закрыть накрепко, произнеси вслух верные ответы. Мигом исполнится». Пошел Иван-царевич дальше. Быстро сказка сказывается, но не быстро дело делается. Добрался Иван до логова Змея Горыныча. А на воротах новое задание, новая преграда. Правильно ответив на вопросы, мы поможем Ивану открыть ворота.

Математический диктант.

1. Найдите периметр квадрата, если длина его стороны 3,04. (12,16).

2. Найдите площадь прямоугольника. Если его стороны 5 м и 0,4 м. (2).

3. Скорость автомобиля 64 км/ч. Какое расстояние он проедет за 0,5 ч? (32).

4. Автобус проехал 165 км со скоростью 55 км/ч. Найти время движения. (3).

5. Купили 6 пирожных по цене 14,5 руб. Сколько заплатили за покупку? (87).

6. На пошив кухонного полотенца требуется 0,45 м ткани. Сколько ткани необходимо на пошив 100 полотенец? (45).

Ребята, я думаю, если ворота еще не открылись, а мы с вами верно выполнили все задания, значит нам нужно из этих букв составить кодовое слово, которое и откроет ворота.

И с последним заданием Иван-царевич справился. Ворота открылись, и увидел он Василису Прекрасную. Забрал он ее, и поехали они домой. Жили долго и счастливо. А вы молодцы! Помогли Ивану-царевичу спасти Василису Прекрасную.

Кто в дружбу верит горячо,

Кто рядом чувствует плечо,

Тот никогда не упадет,

В любой беде не пропадет.

А если и споткнется вдруг,

То встать ему поможет друг,

Всегда ему надежный друг

В беде протянет руку.

Заканчивается наш урок. Мне очень понравилось работать с вами. Вы были активны, показали свои знания, желание помочь не только Ивану-царевичу, но друг другу.

IV. Рефлексия.

Мне хочется узнать, было ли вам интересно на уроке. Ребята, я прошу вас дать самооценку своей деятельности. Дорисуйте каждый своему смайлику подходящую улыбку (каждому выдаётся лицо, ребятам необходимо нарисовать рот) и покажите мне.

Я вижу, что ваши смайлики мне улыбаются. А у меня вот такой смайлик!

Спасибо вам, ребята, за урок! Я желаю вам много интересных уроков, замечательных друзей. Урок окончен!

Презентация к уроку с конспектом размещена в сети Интернет по адресу: http://hansever.ucoz.ru/index/metodicheskie_razrabotki/0-6.

ЛИТЕРАТУРА

1. Атанасян, Л.С. и др. Геометрия: учебник для 7–9 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1990.

2. Буловацкий, М.П. Разнообразить виды задач // Математика в школе. – 1988. – № 5.

3. Виленкин Н.Я. и др. Математика. 5 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2007.

4. Дегтянникова, И.Н. Остроугольный или тупоугольный // Математика в школе. – 1998. – № 5. - С. 43.

5. Дидактические материалы по математике. 5 класс / Чесноков А.С, Нешков К.И. – М.,1990.

6. Игнатенко, В.З. Сюрпризы биссектрисы // Математика в школе. – 1998. – № 5. -С. 42.

7. Касумова, Б.С-А. Дивергентные математические задачи как средство развития креативности мышления у младших школьников: диссертация. - Махачкала, 2010. - 147 с.: ил. РГБ ОД, 61 10-13/710.

8. Нестандартные задачи в курсе школьной математики (неполное и избыточное условие): реферат. – Режим доступа: http://www.bibliofond.ru/view.aspx?id=96487.

9. Погорелов, А.В. Геометрия 7–11. – М.: Просвещение, 1998.

10. Пойа, Д. Как решать задачу. – Львов, 1991.

11. Самостоятельные и контрольные работы по математике для 5 класса / Ершова А.П., Голобородько В.В. - 5-е изд., испр. - М.: ИЛЕКСА, 2010.

12. Самостоятельные и контрольные работы по математике для 6 класса / Ершова А.П., Голобородько В.В. - 5-е изд., испр. - М: ИЛЕКСА, 2010.

13. Фридман, Л.М. Турецкий, Е.Н. Как научиться решать задачи: – М.: Просвещение, 1989.

14. Эрдниев, П.М. Преподавание математики в школе – М.: Просвещение, 1978.

СОДЕРЖАНИЕ

Для заметок

37