"РОМБ", урок геометрии в 8 классе. (ФГОС)

О какой фигуре идет речь?

• Чуть приплюснутый квадрат
• Приглашает опознать:
• Острый угол и тупой
• Вечно связаны судьбой.
• Догадались дело в чем?
• Как фигуру назовем?

• Р о м б

Тема урока

Р О М Б

Геометрия

8 класс

УМК А.Г.Мерзляк

ФОРМИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Предметные : формировать умение распознавать

ромб и его элементы, доказывать и

применять свойства и признаки ромба.

Личностные : формировать умение доказывать

собственное мнение.

Метапредметные : формировать умение

устанавливать причинно-

следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение (индуктивное, дедуктивное и по аналогии) и делать выводы.

Актуализация знаний

Работаем устно :

• Сформулируйте свойства равнобедренного треугольника.

• Сформулируйте признаки равнобедренного треугольника

Изучение нового материала

• Термин «ромб» образован от греч. qоubоc — «бубен». Если сейчас бубны, в основном, делают круглой формы, то раньше их делали как раз в форме квадрата или ромба. Кстати, название карточной масти бубны, знаки которой имеют ромбическую форму, происходит ещё с тех времён когда бубны не были круглыми.

• Слово «ромб» впервые употребляется

у Герона и Паппа Александрийского.

Это интересно !

• Ромб симметричен относительно любой из своих диагоналей, поэтому часто используется в орнаментах и паркетах.

Ромбические звёзды

Ромбический орнамент

Более сложный орнамент

Это интересно !

• Ромб симметричен относительно любой из своих диагоналей, поэтому часто используется в орнаментах и паркетах.

Определение ромба

Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны

Новые определения ромба

• Прямоугольник с равными сторонами
• Параллелограмм у которого диагонали взаимно-перпендикулярны
• Параллелограмм, диагональ которого является биссектрисой угла

Квадрат, как частный случай ромба

Из определения квадрата, как четырёхугольника, у которого все стороны и углы равны, следует, что квадрат — частный случай ромба. Иногда квадрат определяют, как ромб, у которого все углы равны.

Иногда под ромбом может

пониматься только четырёхугольник

с непрямыми углами, то есть с парой

острых и парой тупых углов

Теорема 5.1

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Дано:

ABCD — ромб,

AC и BD — диагонали.

Доказать:

АС ┴ВD

AC и BD — биссектрисы углов ромба.

Теорема 5. 1

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов .

Доказательство:

Рассмотрим треугольник ABC.

AB=BC ( по определению ромба ).

Следовательно, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC ( по определению равнобедренного треугольника ).

Так как диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, то AO=OC.

Значит, BO — медиана треугольника ABC ( по определению медианы ).

Следовательно, BO — высота и биссектриса треугольника ABC ( по свойству равнобедренного треугольника).

То есть, АС ┴ ВД.

BD — биссектриса углов ABC (и ADC).

Теорема 5.2

Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм - ромб

Доказательство.

Пусть ABCD – данный параллелограмм и AC ⊥ BD.

Δ AOB = Δ COB по первому признаку равенства треугольников (∠ AOB = ∠ BOC, по условию, AO = OC – по свойству диагоналей параллелограмма, BO – общая). Следовательно, AB = BC. По свойству противолежащих сторон параллелограмма AB = DC,

BC = AD, т.е. все стороны равны,

значит ABCD – ромб.

Теорема доказана.

Теорема 5.3

Если диагональ параллелограмма

является биссектрисой его угла,

то этот параллелограмм - ромб

Доказательство :

Пусть ABCD – данный параллелограмм и ∠ CAB = ∠ CAD.

∠ CAD = ∠ ACB как внутренние накрест лежащие при прямых BC и AD и секущей AC. А по условию ∠ CAB = ∠ CAD, следует что Δ ABC – равнобедренный (∠ CAB = ∠ ACB, признак равнобедренного треугольника). Поэтому, AB = BC. Так как ABCD – параллелограмм, то AB = CD, BC = AD. Тогда AB = BC = CD = AD. Таким образом, ABCD – ромб.

Теорема доказана.

Признаки ромба

Параллелограмм ABCD будет ромбом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

• Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны): АВ = ВС = СD = AD

2. Его диагонали пересекаются под прямым углом.

3. Одна из диагоналей (биссектриса) делит содержащие её углы пополам: ∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

4. Если все высоты равны.

5. Если диагонали делят параллелограмм на четыре равных прямоугольных треугольника:

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

6. Если в параллелограмм можно вписать круг.

Первичное закрепление нового материала

№ 1

Начертите ромб со стороной 3 см и углом 40 º.

Проведите две высоты из вершины его острого угла и две высоты из вершины тупого угла.

Первичное закрепление нового материала

№ 2

Докажите, что если две соседние стороны параллелограмма равны, то он является ромбом.

Дано : АВСD- параллелограмм; АВ=АD

Доказательство :

Т.к. АВСD- параллелограмм, то АВ=СD и АD=ВС .

Т.к. АВ=АD

АВ=СD ВС=СD = АD= АВ , значит АВСD- ромб

АD=ВС

В

С

А

D

Первичное закрепление нового материала

№ 3

Диагональ АС ромба АВСD образует со стороной АD угол 46 º.

Найдите углы ромба.

Первичное закрепление нового материала

№ 4

Одна из диагоналей ромба равна его стороне.

Найдите углы ромба.

Ответ : 60 º; 120º; 60º; 120º

Первичное закрепление нового материала

№ 5

Периметр ромба равен 24 см, а высота равна 3 см.

Найдите углы ромба.

Ответ : 30 º; 150º; 30º; 150º

Первичное закрепление нового материала

№ 6

Угол D ромба АВСD в 8 раз больше угла САD.

Найдите угол ВАD

Ответ : 36 º

П о в т о р е н и е

№ 7

На сторонах угла с вершиной в точке А

Отложены равные отрезки АВ и АС.

Через точки В и С проведены прямые, перпендикулярные сторонам АВ и АС соответственно, которые пересекаются в точке D.

Докажите, что луч АD является биссектрисой угла ВАС.

В

D

А

С

Выберите номера верных утверждений

1) любой ромб является параллелограммом;

2) любой параллелограмм является ромбом;

3) диагонали ромба пересекаются под прямым углом;

4) диагонали ромба равны

5) диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам;

6) у ромба все углы равны;

7) параллелограмм, у которого все углы прямые называется ромбом;

8) противолежащие стороны и противолежащие

углы ромба равны;

9)диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Номера верных утверждений

5

1

9

8

3

Рассуждаем, решаем :

• В ромбе одна из диагоналей равна его стороне.

Найти углы ромба.

2) Один из углов ромба равен 130°.

Найдите углы треугольника ВОС, где О – точка пересечения диагоналей ромба

3) Углы, образованные стороной ромба с его диагоналями,

относятся как 3: 5. Найти углы ромба.

В

О

С

А

D

Р Е Ф Л Е К С И Я

1.Сегодня на уроке я запомнил…

2. Сегодня на уроке я научился…

3. Сегодня на уроке я узнал …

4) Сегодня на уроке я выучил…

5. Сегодня на уроке было интересно …

6. Сегодня на уроке мне понравилось…