Решение всех прототипов задания 20 (база ЕГЭ)

Решение всех прототипов задания 20 (база ЕГЭ)

Задача №5922.

Хозяин договорился с рабочими, что они копают колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3500 рублей, а за каждый следующий метр – на 1600 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько денег хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 9 метров?

Решение скрыть

Так как оплата каждого следующего метра отличается от оплаты предыдущего на одно и то же число, перед нами арифметическая прогрессия.

В этой прогрессии  - плата за первый метр,  - разница в оплате каждого последующего метра,  - количество рабочих дней.

Сумма  членов арифметической прогрессии находится по формуле:

Подставим данные задачи в эту формулу.

Ответ: 89100.

Задача №5943.

В об­мен­ном пунк­те можно со­вер­шить одну из двух опе­ра­ций:

 · за 2 зо­ло­тые мо­не­ты по­лу­чить 3 се­реб­ря­ные и одну мед­ную;

 · за 5 се­реб­ря­ных монет по­лу­чить 3 зо­ло­тые и одну мед­ную.

У Ни­ко­лая были толь­ко се­реб­ря­ные мо­не­ты. После не­сколь­ких по­се­ще­ний об­мен­но­го пунк­та се­реб­ря­ных монет у него стало мень­ше, зо­ло­тых не по­яви­лось, зато по­яви­лось 100 мед­ных. На сколь­ко умень­ши­лось ко­ли­че­ство се­реб­ря­ных монет у Ни­ко­лая?

Решение задачи см. здесь.

Задача №5960.

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 5 прыжков, начиная прыгать из начала координат?

Решение. скрыть

Если кузнечик сделает пять прыжков в одном направлении (вправо или влево), то он окажется в точках с координатами 5 или -5:

 Заметим, что кузнечик может прыгать и вправо и влево. Если он сделает 1 прыжок вправо и 4 прыжка влево (в сумме 5 прыжков), то окажется в точке с координатой -3. Аналогично, если кузнечик сделает 1 прыжок влево и 4 прыжка вправо (в сумме 5 прыжков), то окажется в точке с координатой 3:

Если кузнечик сделает 2 прыжка вправо и 3 прыжка влево (в сумме 5 прыжков), то окажется в точке с координатой -1. Аналогично, если кузнечик сделает 2 прыжка влево и 3 прыжка вправо (в сумме 5 прыжков), то окажется в точке с координатой 1:

Заметим, что если общее количество прыжков нечетное, то в начало координат кузнечик не вернется, то есть он сможет попасть только в точки с нечетными координатами:

Этих точек всего 6.

Если бы количество прыжков было четным, то кузнечик смог бы вернуться в начало координат и все точки на координатной прямой, в которые он мог бы попасть имели бы четные координаты.

Ответ: 6

Задача №5990

Улитка за день залезает вверх по дереву на 2 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 9 м. За сколько дней улитка доползет до вершины дерева?

Решение. скрыть

Заметим, что в этой задаче следует различать понятие "сутки" и понятие "день".

В задаче спрашивается именно за сколько дней улитка доползет до вершины дерева.

За один день  улитка поднимается на 2 м, а за одни сутки улитка поднимается на 1м  (за день поднимается на 2 м, а потом за ночь спускается на 1 м).

За 7 суток улитка поднимается на 7 метров. То есть утром 8-го дня ей останется доползти до вершины 2 м. И за восьмой день она преодолеет это расстояние.

Ответ: 8 дней. 

Задача №6010.

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 105 квартир?

Решение. скрыть

Чтобы найти число квартир в доме, нужно число квартир на этаже () умножить на число этажей () и умножить на число подъездов ().

То есть нам нужно найти (), исходя из следующих условий:

 (1)

Последнее неравенство отражает условие  "число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного".

То есть () - самое больше число.

Разложим 105 на простые множители:

С учетом условия (1), .

Ответ: 7.

Задача №6036.

В корзине лежат 30 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?

Решение. скрыть

Так как среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик (или больше) число груздей должно быть меньше или равно чем .

Отсюда следует, что число рыжиков больше или равно чем .

Так как среди любых 20 грибов хотя бы один груздь  (или больше), число рыжиков должно быть меньше или равно чем 

Тогда получили, что с одной стороны, число рыжиков больше или равно чем 19, а с другой - меньше или равно чем 19.

Следовательно, число рыжиков равно 19.

Ответ: 19.

Задача №6047.

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде в квартире № 333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На каждом этаже число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

Решение. скрыть

Пусть на каждом этаже  квартир.

Тогда число квартир в первых шести подъездах равно 

Найдем максимальное натуральное значение , удовлетворяющее неравенству   (  -  номер последней квартиры в шестом подъезде, и он меньше, чем 333.)

Отсюда 

Номер последней квартиры в шестом подъезде - 

Седьмой подъезд начинается с 325-й квартиры.

, следовательно, 333 квартира находится на втором этаже.

Ответ: 2

Задача №6060.

На поверхности глобуса фломастером проведены 17 параллелей и 24 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделяют поверхность глобуса? Меридиан – это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюса. параллель – это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.

Решение. скрыть

Представим себе арбуз, который мы разрезаем на кусочки.

Сделав два разреза от верхней точки к нижней (проведя два меридиана), мы разрежем арбуз на две дольки. Следовательно, проведя 24 разреза (24 меридиана) мы разрежем арбуз на 24 дольки.

Теперь будем разрезать каждую дольку.

Если мы сделаем 1 поперечный разрез (параллель), то разрежем одну дольку на 2 части.

Если мы сделаем 2 поперечных разреза (параллели), то разрежем одну дольку  на 3 части.

Значит, сделав 17 разрезов мы разрежем одну дольку на 18 частей.

Итак, мы разрезали 24 дольки на 18 частей, и получили  куска.

Следовательно, 17 параллелей и 24 меридиана разделяют поверхность глобуса на 432 части. 

Ответ: 432.

Задача №6069

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 5 кусков, если по жёлтым – 7 кусков, а если по зелёным – 11 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?

Решение. скрыть

Если сделать 1 разрез, то получится 2 куска.

Если сделать 2 разреза, то получится 3 куска.

В общем случае: если сделать  разрезов, то получится  кусок.

Обратно: чтобы получить  кусков, нужно сделать  разрез.

Найдем общее количество линий, по которым  разрезали палку.

Если распилить палку по красным линиям, получится 5 кусков - следовательно, красных линий было 4;

если по жёлтым – 7 кусков - следовательно, желтых линий было 6;

а если по зелёным – 11 кусков - следовательно, зеленых линий было 10.

Отсюда общее количество линий равно . Если распилить палку по всем линиям, то получится 21 кусок.

Ответ: 21.

Задача №9626.

На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки: A, Б, B, и Г. Расстояние между A и Б – 50 км, между A и В – 40 км, между В и Г – 25 км, между Г и A – 35 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги в кратчайшую сторону). Найдите расстояние между Б и В.

Решение. скрыть

Посмотрим, как могут быть расположены бензоколонки. Попробуем расположить их так:

При таком расположении расстояние между Г и А не может быть равно 35 км.

Попробуем так:

При таком расположении расстояние между А и В не может быть 40 км.

Рассмотрим такой вариант:

Этот вариант удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 10. 

Задача №10041.

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 9 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 56 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Решение. скрыть

Пусть ученик дал  правильных ответов и   неправильных (). Так как возможно были еще вопросы, на которые он на ответил, получаем неравенство:

Кроме того, по условию,

Так как правильный ответ добавляет 7 очков, а неправильный убавляет 9, и в конечном итоге ученик набрал 56 очков, получаем уравнение:

Это уравнение надо решить в целых числах.

Так как 9 на 7 не делится,  должен делиться на 7.

Пусть , тогда  .

В этом случае  - все условия выполняются.

Ответ: 17.

Задача №10056.

Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трех из них, начиная с левого верхнего и далее почасовой стрелке равны 15, 18, 24. Найдите площадь четвертого прямоугольника.

Решение скрыть

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон.

Желтый и голубой прямоугольники имеют общую сторону, поэтому отношение площадей этих прямоугольников равно отношению длин других сторон (не равных между собой).

То есть

Белый и зеленый прямоугольники также имеют имеют общую сторону, поэтому отношение их площадей равно отношению других сторон (не равных между собой), то есть тому же отношению:

По свойству пропорции получим 

Отсюда .

Ответ: 20.

Задача №10071.

Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трех из них, начиная с левого верхнего и далее почасовой стрелке равны 17, 12, 13. Найдите периметр четвертого прямоугольника.

Решение скрыть

Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон.

Обозначим стороны прямоугольников как указано на рисунке и выразим через указанные переменные периметры прямоугольников. Получим:

Теперь нам нужно найти, чему равно значение выражения .

Вычтем из третьего уравнения второе и прибавим третье. Получим:

Упростим правую и левую части, получим:

Итак, .

Ответ: 18.

Задача №10086.

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы поставили по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 72, во втором – 81, в третьем – 91, а сумма чисел в каждой строке больше 13, но меньше 16. Сколько всего строк в таблице?

Решение скрыть

Найдем сумму всех чисел в таблице: .

Пусть число строк в таблице равно .

По условию задачи сумма чисел в каждой строке больше 13, но меньше 16.

Так как сумма чисел - натуральное число, этому двойному неравенству удовлетворяют только два натуральных числа: 14 и 15.

Если предположить, что сумма чисел в каждой строке равна 14, то тогда сумма всех чисел в таблице равна , и эта сумма  удовлетворяет неравенству .

Если предположить, что сумма чисел в каждой строке равна 15, то тогда сумма всех чисел в таблице равна , и это число удовлетворяет неравенству .

Итак,  натуральное число  должно удовлетворять системе неравенств:

Единственное натуральное , удовлетворяющее этой системе - это 

Ответ: 17.