Решение логарифмических уравнений и неравенств

Тема «Решение логарифмических уравнений и неравенств»

Вид урока: заключительный урок этапа самореализации

Цель: рефлексия уровня достигнутого результата.

1. Этап урока. (10-12 минут)

Учитель: Мы заверш аем работу над темой «Решение логарифмических уравнений и неравенств», на следующем уроке будет самостоятельная работа. Задача сегодняшнего урока, проверить себя, насколько мы готовы к ее выполнению, то есть насколько хорошо, владеем способами решения задач, в которых необходимо применение изученного материала.

Для этого на первом этапе урока предлагаю выполнить задания в совместной деятельности с объяснением.

1.Объясните решение уравнения

Ученик: ОДЗ уравнения: x² + x, отсюда х(-

Напрашивается новая переменная log _½ (x² + x) = y , тогда уравнение примет вид у ² – 4у =0. Откуда у=0 и у=4.Вернемся к замене.

log _½ (x² + x) = 0 и log _½ (x² + x) = 4

Представим 0 и 4 логарифмом по основанию 1/2

log _½ (x² + x) = log _½ 1 log _½ (x² + x) = log _½ 1/16

потенцируя получим

x² + x=1 x² + x= 1/16

Д=5 Д=1,25

х₁= , х₂= х ₃ =, х ₄ =

полученные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: х₁= , х₂= , х ₃ =, х ₄ =

Учитель: Верно. Что скажите про следующее уравнение?

б) += 1+ -

Ученик: ОДЗ: значит х

В левой части уравнения запишем логарифмы с основанием 10, а в правой 1:

: += + -

затем деление заменим умножением на обратную дробь и сократим,

+ - + -

применив свойства произведения и частного логарифмов получим:

=

Теперь потенцируя, решим уравнение:

=

Найденные корни проверим по ОДЗ.

Учитель: Молодцы! А как решать логарифмические неравенства?

Ученик: логарифмические неравенства решаются теми же приемами, что и уравнения, только в неравенствах нужно обращать особое внимание на основания логарифма: если ато знак неравенства сохраняется, если 0 а 1, то знак неравенства меняем на противоположный и учитывать ОДЗ.

Учитель: как решить неравенство

0 ?

Ученик: ОДЗ:

Преобразуем, сначала 0, заменим логарифмом по основанию 0,5:

, т.к. основание 0,5 меньше 1, значит, потенцируя, сменим знак на противоположный, имеем:

представим 1 логарифмом по основанию 6, знак неравенства оставим таким же, используя потенцирование. В итоге получим систему неравенств:

а значит, без всякого ущерба для решения системы можно отбросить первое неравенство и решить только второе методом интервалов.

Учитель: достаточно, молодцы! Что скажите про следующее неравенство

Ученик: ОДЗ: х

Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 2

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени. Имеем:

(2 - 4log ₂ x + log ₂ ² x)log ₂ x - log ₂ x

Введем замену, пусть log ₂ x = у, получим:

(2 - 4у + у² )у - у ,решим это неравенство методом интервалов:

2у – 4у² +у³ + у .

у³ – 4у² + 3у

найдем нули функции: у (у² – 4у +3) =0, откуда у=0, у=1 и у=3

решение неравенства у0 и 1

возвращаемся к замене

log ₂ x 1 log ₂ x 3

х 2 х 8 и, учитывая ОДЗ, получаем ответ

Ответ: (0;1) (2;8)

Учитель: верно! Обсудим последнее неравенство

0

Ученик: решим его методом рационализации. Чтобы сохранить знак неравенства перейдем к логарифму с основанием 10

Вычтем в числителе и в знаменателе

В виду монотонного возрастания функции у= неравенство равносильно системе

Учитель: достаточно, отлично! Остались ли у кого – либо вопросы по способам решения такого вида задач? Тогда прошу приступить к решению задач самостоятельно.

1. Этап урока. (12-15 минут)

Учитель: Выполните задания самостоятельно в совместной деятельности. То есть можно общаться и обсуждать решение. Если затрудняетесь можно обращаться за помощью к соседу по парте или к учителю.

Учитель ходит по рядам, оказывает помощь, отмечает верно решенные задачи.

1.Решите уравнения и неравенства:

1. + = 1+;

2. log₂ ² x² + 6 log_0,25 x – 1= 0;

3. ;

4. ;

2.Решите систему:

Учитель ходит по рядам и все видит и оказывает помощь. Никому больше ничего демонстрировать не надо. Просто дает свою оценку, в чем видит еще недоработку, что еще не до конца усвоено.

3. Этап урока. (5 минут)

Учитель: Мне понравилось, как Вы работали. С первыми заданиями справились достаточно легко. Поэтому проверять не будем. Давайте проверим и посмотрим, что вызвало основные затруднения? В каком задании? Кто объяснит решение?

Какие есть вопросы, в чем ошиблись те, у кого не сразу получилось?

д/з: повторить свойства, дорешать задачи.