Решение комбинаторных задач

Комбинаторика для великих комбинаторов

Методы решения комбинаторных задач

Тип урока: урок построения системы знаний.

Цели урока: создать организационные и содержательные условия для формирования умений решения комбинаторных задач

Задачи:

обучающие: закреплять знания учащихся о комбинаторике; продолжить формировать умения решать комбинаторные задачи, учить находить возможные комбинации, составленные из чисел, предметов отвечающих условию задачи;

развивающие: развивать логическое мышление, умение анализировать, сравнивать, сопоставлять, делать выводы;

воспитательные: владеть интеллектуальными умениями и мыслительными операциями; развивать внимание, аккуратность в построении чертежей, умение работать в паре, воспитывать чувство коллективизма, уверенности в себе.

Планируемые результаты изучения темы:

Личностные: Ученик получит возможность для формирования устойчивых эстетических предпочтений, способности к эмоциональному восприятию материала, положительного отношения к учению, к предмету; получит возможность для формирования коммуникативной компетентности в общении.

Предметные: Ученик научиться: анализировать объекты, сравнивать, сопоставлять, устанавливать взаимосвязь объектов, делать выводы, составлять логическую цепочку рассуждений, создавать схемы и модели задачи.

Ученик получит возможность: научиться организовывать учебное сотрудничество со сверстниками.

Метапредметные: Ученик научиться: отбирать метод решения комбинаторной задачи по её содержанию; решать простейшие комбинаторные задачи. Ученик получит возможность: углубить и развить представления о комбинаторных задачах.

Ресурсы: мультимедийный проектор, ПК, учебник, фломастеры, листы А2, карточки с незаполненными таблицами.

Ход урока

Ребята, послушайте, какая тишина!

Это в школе начались уроки.

Мы не будем тратить время зря

И приступим все к работе.

- Девиз нашего урока:

Учитесь думать, объяснять,

Учитесь мыслить, рассуждать,

Ведь в математике, друзья,

Без логики никак нельзя!

- В старинных русских сказаниях повествуется, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до распутья, читает на камне: “Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься”. Ребята, с какой проблемой сталкивается добрый молодец на перепутье? (с проблемой выбора дальнейшего пути движения)

- Верно! А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора. Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Это сделать очень трудно не потому, что его нет или оно одно и поэтому его трудно найти, а приходится выбирать из множества возможных вариантов, различных способов, комбинаций. И нам всегда хочется, чтобы этот выбор был оптимальный.

- Оказывается, существует целый раздел математики, который занят поисками ответов на эти вопросы. Как он называется? (примерный ответ детей: речь идет о комбинаторике – разделе математики, в котором рассматриваются задачи – подсчета числа комбинаций (вариантов)). Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Я назвала наш сегодняшний урок не совсем обычно «Комбинаторика для великих комбинаторов» и под названием оставила место не случайно. Как можно по-другому сформулировать тему урока? Один из предложенных вариантов записывается на доску, например, «Решение комбинаторных задач» или «Методы решения комбинаторных задач». Запишите число и тему урока.

- Задачи, которые мы сегодня будем решать, помогут вам творить, думать необычно, оригинально, смело, видеть то, мимо чего вы часто проходили не замечая, любить неизвестное, новое; преодолевать трудности.

- И еще сегодня в очередной раз убедимся, что наш мир полон математики, и продолжим исследование на предмет выявления математики вокруг нас.

- Придя в школу, повесив одежду, вы очень часто отправляетесь к расписанию, посмотреть порядок уроков на день. А представьте на миг, что бы стало в школе, если бы не было расписания. Трудно пришлось бы всем: и детям, и учителям.

На дом была задана задача в помощь Ирине Алексеевне. Составить расписание уроков в 6 А классе на сегодня - 5 уроков: физкультура, русский язык, литература, история и математика. Сколько можно составить вариантов расписания на день, зная точно, что математика – последний урок? Какими способами вы решали? Почему математика в переборе не участвовала? (Ответы детей: 1. кодирование, 2. построение дерева возможных вариантов) Что получилось? Ответ: 24 варианта

ЛИРФ ИЛФР РЛФИ ФЛРИ

ЛРИФ ИРЛФ РИЛФ ФИЛР

ЛРФИ ИРФЛ РИФЛ ФИРЛ

ЛФИР ИФЛР РФЛИ ФИРЛ

ЛФРИ ИФРЛ РФИЛ ФРИЛ

Ребята, у вас есть таблица, давайте начнем ее заполнение.

Выберем оптимальный вариант на сегодня. (Повесить расписание на доску)

Хорошо. Заглянем на каждый из уроков: обществознание, физкультуру, русский язык и литературу. И по возможности отыщем на них математические задания.

Начнем с истории.

Задача: Руководство страны КОМБИНАТОРИКА решило сделать свой государственный флаг таким: на одноцветном прямоугольном полотне в одном из углов помещается квадратик другого цвета. Цвета решено выбрать из трёх возможных: красного, белого, зеленого. Сколько вариантов такого флага существует? Построим дерево возможных вариантов.(слайд)

Итак, можно составить 24 варианта. Представьте, что именно вам поручили изобразить этот флаг. И сейчас я вам предлагаю это сделать. Работайте в парах. Решите задачу, используя цветные заготовки.

Давайте продолжим заполнять таблицу. Какой метод мы вспомнили?

(физ.минутка)

Раз, два, три, четыре, пять –

Все умеем мы считать.

Раз! Подняться, потянуться.

Два! Согнуться, разогнуться.

Три! В ладоши три хлопка,

Головою три кивка.

На четыре – руки шире.

Пять – руками помахать.

Шесть - за парту мы присели.

Значит, хватит отдыхать!

Ребята, вы должны заметить, что при увеличении количества элементов число комбинаций резко увеличивается и уже для пяти элементов построить дерево возможных вариантов непросто, как же быть если элементов, например, 20? Значит, есть какой – то другой способ? Более рациональный, который быстрее приведет нас к ответу.

Попробуем решить эту же задачу другим способом. Итак, мы можем взять одно из трех полотнищ, остается два на выбор, потом один. В каком углу расположить квадрат? Четыре положения (правый верхний, нижний; левый верхний, нижний)

(3*2*1)*4=24 про этот способ рассуждений обычно говорят так: мы использовали правило умножения.

А сейчас физкультура.

Меньше года остается до чемпионата мира по футболу все спортсмены страны КОМБИНАТОРИКА готовятся к этому знаменательному событию и принимают участие в различных турнирах.

Задача: сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2,0,1,8?

1 цифра – 3 (0 не может стоять на первом месте) 2 цифра: все 4 3 цифра: все 4

Ответ:

3*4*4=48

Задача: Антон, Борис и Василий купили 3 билета на 1-е, 2-е и 3-е места первого ряда на футбольный матч. Сколькими способами они могут занять имеющиеся места?

Ответ: 6 =3*2*1

Задача: В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они использовали для трусов и футболок два разных цвета из пяти возможных: белый, красный, синий, зеленый, желтый. Выяснилось, что были использованы все возможные варианты. Сколько команд участвовало в турнире?

Решение: Для выбора цвета футболки существует пять возможностей (способов). Тогда для выбора цвета трусов остается только 4 возможности (способа), поскольку трусы и футболки должны быть разных цветов. Итак, на каждый из пяти цветов футболок приходится 4 цвета трусов. Всего 20 =(4*5) вариантов.

Ответ: 20 команд.

Настало время перекусить. Мы идем в школьную столовую.

Задача. Сколько и какие различные завтраки, состоящие из 1 напитка и 1 вида выпечки, можно составить из чая, кофе, булочки, печенья и вафель?

Ребята, каким способом, кроме метода перебора вы можете решить данную задачу? (ответы детей).

Давайте решим задачу с помощью метода – дерево вариантов. Один ученик идет решать задачу к доске. (6)

Начинаем русский язык.

Задача: Различные игры со словами – одно из самых известных и любимых развлечений многих, в том числе для жителей страны КОМБИНАТОРИКА. Для большинства из этих игр необходимы только карандаш и бумага, а нередко и того не требуется. Зато в этих задачах нужны наблюдательность, эрудиция и умение решать комбинаторные задачи.

В течение 1 минуты составьте как можно больше слов, состоящих из букв слова КОМБИНАТОРИКА (время).

У кого слово из 10 букв, 8 букв, и т.д.

Ком, комбинат, комбинатор, тор, рот, банк, банка, кот, ток, рота, тина, тон, нота, каток, мина, бином, мот, том, икра, мир,…

Как богат, не правда ли, русский язык? Но мы все больше убеждаемся, что и математика очень интересна и связана со многими науками.

Следующий урок  литература.

Внимание, перед вами лежат листочки с текстом отрывка из одного известного произведения. Прочитайте его.

Проказница Мартышка,

Осел,

Козел,

Да косолапый Мишка

Затеяли сыграть ...

Ударили в смычки, дерут, а толку нет.

………………..

«Стой, братцы, стой!» - кричит Мартышка.-

Погодите.

Как музыке идти? Ведь Вы не так сидите!

- Из какого произведения данный отрывок и кто автор? (басня Ивана Андреевича Крылова «Квартет»)

1) Кто участники этого музыкального коллектива? (Осел, козел, мартышка, мишка)

2) Что они делали? (играли на муз. инструментах)

3) Получилась у них музыка? (нет)

4) Что они для этого делали? (пересаживались)

5) Почему музыка опять не получалась? (не умели играть)

6) Сколько существует способов посадки этих животных? Используя правило умножения решите. Ответ: 4

7) Почему басню так назвали квартет? (четыре исполнителя)

Даже сказочные герои задают похожие задачи.

В некотором царстве, в некотором государстве жил-был Иван-Царевич. Пошел он Василису Прекрасную спасать. Дошел до Кикиморы. От Кикикморы до Бабы Яги три дорожки ведут, а от Бабы Яги до Кощея – две. Сколько вариантов есть у Ивана- Царевича, чтобы дойти до Кощея?

Ответ 32=6

И последний урок  математика.

Задача: Школьники из Волгограда собрались на каникулы поехать в Москву, посетив по дороге Нижний Новгород. Сколькими различными способами могут ребята осуществить свое путешествие, если из Волгограда в Нижний Новгород можно отправиться на теплоходе или поезде, а из Нижнего Новгорода в Москву на самолете, теплоходе, поезде или автобусе. Ответ: 8=2

Подведем итоги нашей работы. Назовем эту часть урока «Открытый микрофон»

Вам предлагаю закончить предложения:

- С чем вы познакомились сегодня на уроке? (с комбинаторными задачами)

- Каким способом вы научились решать такие задачи? («дерево возможных вариантов», метод перебора, правило умножения)

- Итак, ученику приходится встречаться с математикой, практически, постоянно. В частности, вы просчитываете различные комбинации,

• когда выбираете меню в столовой,

• формулируете свой ответ на уроках,

• составляете график дежурства по классу,

• планируете, как провести свои выходные или каникулы и так далее.

- В каких областях применяется комбинаторика?

• -учебные заведения ( составление расписаний)

• -сфера общественного питания (составление меню)

• -лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)

• -спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)

• -агротехника (размещение посевов на нескольких полях)

• -география (раскраска карт)

• -криптография (разработка методов шифрования)

• -доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)

• -военное дело (расположение подразделений)

- Ребята, нарисуйте дерево возможных эмоций, которые можно испытывать во время урока, в виде различных смайликов. Закрасьте желтым цветом тот смайлик, который соответствовал вашему настроению на уроке.

Математика повсюду –
Глазом только поведешь,
И примеров сразу уйму
Ты вокруг себя найдешь…

Спасибо за урок, дети!