Решение задачи типа С2 в ЕГЭ по математике

Решение задачи C2 в ЕГЭ по математике 2012года

Выполнила ученица 11 класса МБОУ СОШ № 1 Глущенко Мария

Под руководством учителя математики Кожухарь Н.В.

• В основании четырехугольной пирамиды MABCD с вершиной M стороны основания равны 6 см, бокового ребра-16 см. Точка L принадлежит MC , причем ML:LC=2:1 . Найдите S сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку D и L параллельно прямой AC .

ДАНО: четырехуголь. Пирамида MABCD, M – вершина, AB=BC=CD=AD=6см, МА=MD=MC=MB=16 см; L € MC; ML:LC=2:1.

НАЙТИ: Sсеч., проходящего через точки D и L || AC.

РЕШЕНИЕ:

• Построим сечение, проходящие через точку D и L || АС. Через точку L построим LK || AC;

М

▲ AMC – р/б, → MO₁ является медианой и высотой ▲ АМС. ;

KL пересекает MO₁ в т. О. → сечение проходит через т. О;

S

16

Соединим D и O и продолжим до пересечения с ребром BM; DO пересечет BM в точке S

L

O

К

Получим четырёхугольник SLDK – искомое сечение.

В

O₁

С

А

6

D

2) Т.к. MO ₁ - медиана р/б ▲AMC и ML:LC=2:1 (по условию) → MO:O O ₁=2:1;

3) Т.к. AD=DC=6см → AC = 6√2 (по т. Пифагора);

4) ▲MKLподобен ▲MAC по 2 углам (M-общий, K и L соотв.) ; → ML:MC=2:3→

KL 2 (6 √ 2 × 2)

= →KL= =4 √ 2

AC 3 3

М

S

16

L

O

К

4√2

В

O₁

6√2

С

А

6

D

2) Т.к. MO ₁ - медиана р/б ▲AMC и ML:LC=2:1 (по условию) → MO:O O ₁=2:1;

3) Т.к. AD=DC=6см → AC = 6√2 (по т. Пифагора);

4) ▲MKLподобен ▲MAC по 2 углам (M-общий, K и L соотв.) ; → ML:MC=2:3→

KL 2 (6 √ 2 × 2)

= →KL= =4 √ 2

AC 3 3

М

________ ___

S

5) MO ₁ =√16-(3 √ 2) ² = √ 238 (по т. Пифагора из ▲MO ₁C )

16

L

O

К

4√2

В

O₁

6√2

С

6

А

D

2) Т.к. MO ₁ - медиана р/б ▲AMC и ML:LC=2:1 (по условию) → MO:O O ₁=2:1;

3) Т.к. AD=DC=6см → AC = 6√2 (по т. Пифагора);

4) ▲MKLподобен ▲MAC по 2 углам (M-общий, K и L соотв.) ; → ML:MC=2:3→

KL 2 (6 √ 2 × 2)

= →KL= =4 √ 2

AC 3 3

М

________ ___

S

5) MO ₁ =√16-(3 √ 2) ² = √ 238 (по т. Пифагора из ▲MO ₁C )

16

6) ▲AMC=▲BMD (по 3-ем сторонам), и MO:OO₁=2:1 → O- т. пересечения медиан в этих ▲ → в ▲BMD DO:OS=2:1

L

O

4√2

К

√ ¯¯¯

238

3

7) MO:MO₁=3:1 →OO₁= ───

В

O₁

6√2

С

А

6

D

1

2

8) Т.к. O₁D= BD=AC=3√2→

По теореме Пифагора найдем DO = √¯¯¯¯¯¯¯¯ = ──

20

3

OO₁²+O₁D²

9)Т.к. DO:OS=2:1 → SD:DO=3:2;

(20 × 3)

SD= =10

(3 × 2)

М

1

10) Sceч= KL × SD × sin 90° = 0,5 × 4√2 × 10=20 √ 2

2

S

16

L

O

4√2

К

В

O₁

6√2

С

А

6

D