Решение задач рубрики "Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте" (7 класс, Мерзляк А.Г. и др.)

Решение задач рубрики «Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте»

№ 19. Из фигурок, имеющих вид уголка (см. рисунок), сложите квадрат.

Р ешение: Из двух «уголков» можно сложить прямоугольник 2 х 5 (рис. 74). Из 10 таких прямоугольников можно сложить квадрат 10 х 10.

№ 48. Составьте из прямоугольников размерами 1 х 1, 1 х 2, 1 х 3, ..., 1 х 13 прямоугольник, каждая сторона которого больше 1.

Р ешение: Общее количество клеток, которое содержат все данные прямоугольники, равно 1 + 2 + ... + 13 = 91. Число 91 можно единственным способом представить в виде произведения двух множителей, отличных от единицы: 91 = 13 · 7. Теперь ясно, что длина искомого прямоугольника должна составлять 13 клеток, а ширина — 7 клеток. Двенадцать прямоугольников 1 х 1, 1 х 2, 1 х 3, ..., 1 х 12 разобьём на пары: 1 х 1 и 1 х 12, 1 х 2 и 1 х 11, ..., 1 х 6 и 1 х 7. Из каждой пары можно составить полосу 1 х 13. Тогда имеем семь прямоугольников 1 х 13, из которых легко получить прямоугольник 7 х 13.

№ 85. Не отрывая карандаша от бумаги, проведите через девять точек (см. рисунок) четыре отрезка (возвращаться в исходную точку не обязательно).

Решение изображено на рисунке 75.

№ 113. Разделите фигуру, изображенную на рисунке, на шесть частей двумя прямыми.

Решение изображено на рисунке 76.

№ 131. На рисунке прямая пересекает все стороны восьмиугольника. Может ли прямая пересекать все стороны тринадцатиугольника, не проходя ни через одну из его вершин?

Ответ: Не может. Решение. Предположим, что такая прямая существует. Рассмотрим 13 точек её пересечения со сторонами тринадцатиугольника. Они делят прямую на 14 частей — 12 отрезков и 2 луча. Если эти части последовательно пронумеровать, то либо все части с чётными номерами, либо все части с нечётными номерами должны принадлежать тринадцатиугольнику. Однако части с номерами 1 и 14 — лучи, которые очевидно принадлежать многоугольнику не могут.

№ 153. Разрежьте каждую из фигур, изображенных на рисунке, на две равные фигуры (разрезать не обязательно по линиям сетки).

Решение изображено на рисунке 77.

№ 195. Разделите каждую из фигур, изображённых на рисунке, по линиям сетки на четыре равные части так, чтобы в каждой части был ровно один кружок.

Решение изображено на рисунке 78.

№ 231. Нарисуйте шестиугольник, который можно одним разрезом разделить на два треугольника.

Решение изображено на рисунке 79.

№ 251. Разрежьте прямоугольник размером 4 х 9 на две равные части, из которых можно сложить квадрат.

Решение изображено на рисунке 80. Найти решение помогают следующие соображения: площадь прямоугольника равна 36, а значит, сторона квадрата должна быть равной 6.

№ 268. Квадрат разрезали по диагоналям на четыре треугольника (см. рисунок). Сложите из этих треугольников два квадрата.

Решение изображено на рисунке 81.

№ 284. Длины сторон прямоугольника равны 4 и 3 см. найдите сумму длин всех отрезков, расположенных внутри прямоугольника (см. рисунок).

О твет: 14 см. Следует заметить, что сумма длин всех вертикальных отрезков равна удвоенной ширине прямоугольника, а сумма всех горизонтальных отрезков — удвоенной длине прямоугольника.

№ 299. Катя и Женя подошли к квадратному пруду, в середине которого находится квадратный остров (см. рисунок). На берегу они нашли две доски чуть-чуть короче ширины пролива между берегом пруда и островом. Как им всё-таки попасть на остров, используя эти доски?

Р ешение изображено на рисунке 82.

№ 325. Приведите пример, когда общей частью (пересечением) треугольника и четырёхугольника является восьмиугольник.

Решение изображено на рисунке 83.

№ 356. На рисунке изображена осень сложная замкнутая ломаная. Она ограничивает некоторую часть плоскости (многоугольник). Как, отметив на рисунке любую точку, по возможности быстрее определить, принадлежит эта точка многоугольнику или нет?

Р ешение: Достаточно провести луч с началом в исследуемой точке X (рис. 84) и посчитать количество точек пересечения этого луча со сторонами многоугольника. Если это количество является числом чётным, то данная точка многоугольнику не принадлежит, а если нечётным — то принадлежит. Эти выводы следуют из таких соображений. Если перемещаться по лучу от точки A к точке X и последовательно нумеровать точки пересечения луча со сторонами многоугольника, то каждая нечётная по счёту точка означает «вход» в многоугольник, а чётная — «выход» из него.

№ 423. Существует ли шестиугольник, у которого никакие две диагонали не имеют общих точек, отличных от вершин?

О твет: Существует, например, изображённый на рисунке 85.

№ 456. Можно ли замостить плоскость фигурами, изображёнными на рисунке?

Ответ: Можно. На рисунке 86 показано, как из данных фигур можно сложить бесконечную полосу шириной 3 клетки. Ясно, что такими полосами можно замостить плоскость.

№ 475. Разрежьте треугольник на четыре части так, чтобы, перевернув три из них, можно было сложить треугольник, равный данному.

Решение: Отрежьте от данного треугольника три равнобедренных треугольника так, как показано на рисунке 87, и переверните их.

№ 506. На рисунке прямоугольник АВСD составлен из квадратов. Найдите сторону самого большого квадрата, если сторона самого маленького квадрата равна 1.

Решение: Обозначим через a, b, c, d стороны квадратов, как показано на рисунке 88. Получаем: b = a + 1;
c = b + 1, отсюда c = a + 2; d = c + 1, отсюда d = a + 3. Но d + 1 = 2a. Отсюда a + 3 + 1 = 2a; a = 4. Значит, стороны квадратов равны 4, 5, 6 и 7.

№ 539. Установите закономерность форм фигур, изображённых на рисунке. Какую фигуру надо поставить следующей?

Р ешение: Каждая фигура — это стилизованная цифра, отображённая симметрично относительно вертикальной оси, проходящей через её крайнюю правую точку. Последняя из использованных цифр — 7, значит, следующая цифра — 8. Следующая фигура выглядит так, как показано на рисунке 89.

№ 573. В квадрате АВСD вырезали заштрихованную фигуру (см. рисунок). Разделите оставшуюся часть квадрата на четыре равные фигуры.

Решение изображено на рисунке 90.

№ 621. На листе бумаги нарисовали равносторонний треугольник и полностью накрыли его двумя другими равносторонними треугольниками разных размеров. Докажите, что для покрытия хватило бы одного из этих треугольников.

Р ешение: Любой отрезок, содержащийся в равностороннем треугольнике, меньше, чем его сторона. По принципу Дирихле две вершины исходного треугольника лежат в одном из двух треугольников, которые его покрывают. Значит, сторона этого треугольника больше стороны исходного. Таким образом, этого треугольника будет достаточно для покрытия исходного треугольника.

№ 664. Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на три части, не являющиеся квадратами, так, чтобы из этих частей можно было сложить квадрат.

Решение изображено на рисунке 91.