Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий

Решение задач

на применение аксиом стереометрии

и их следствий.

Дано: куб АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1

Найдите:

• Несколько точек, которые лежат в плоскости α;
• Несколько точек, которые не лежат в плоскости α;
• Несколько прямых, которые лежат в плоскости α;
• Несколько прямых, которые не лежат в плоскости α;
• Несколько прямых которые пересекают прямую ВС;
• Несколько прямых, которые не пересекают прямую ВС.

Задача 1.

Д 1

С 1

А 1

В 1

Д

С

В

А

α

b

Задача 2.

А

М

а

В

c

α

Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение:

Дано: куб АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1

т.М лежит на ребре ВВ 1 , т.N лежит на ребре СС 1 и точка К лежит на ребре ДД 1

Задача 3

а) назовите плоскости, в которых лежат точки М; N.

б) найдите т.F-точку пересечения прямых МN и ВС. Каким свойством обладает точка F?

В 1

С 1

в) найдите точку пересечения прямой КN и плоскости АВС

М

г) найдите линию пересечения плоскостей МNК и АВС

Д 1

А 1

N

F

В

С

К

Д

А

О

Дан тетраэдр МАВС, каждое ребро которого равно 6 см.

Задача №4

М

• Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости: а) МАВ и МFС; б) МСF и АВС.
• Найдите длину СF и S АВС
• Как построить точку пересечения прямой ДЕ с плоскостью АВС?

Р

Е

С

Д

А

F

В

С

В

А

F

Задача №5

• Как построить точку пересечения плоскости АВС с прямой Д 1 Р?
• Как построить линию пересечения плоскости АД 1 Р и АВВ 1 ?
• Вычислите длину отрезков АР и АД 1 , если АВ = а

Д 1

С 1

А 1

В 1

Р

Д

С

В

А

К

Задача №6

А

М

Р

К

В

С

α

Дано : Точки А, В, С не лежат на одной прямой.

Докажите , что точка Р лежит в плоскости АВС.

Задача №7

а

В

с

Плоскости и пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости и пересекает плоскость . Пересекаются ли прямые а и с? Почему?

Задача 8

Докажите , что все вершины четырехугольника АВСД лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и ВД пересекаются.

Вычислите площадь четырехугольника, если АС ┴ВД, АС = 10см, ВД = 12см.

В

О

С

А

Д

α

Доказательство:

1. (АС ∩ ВД) =α АС α, ВД α, (А, В, С, Д ) α

2. S АВСД = АС · ВД · sin90º = 10 · 12 = 120 (см 2 )

Ответ : 120 см 2

Задача №9

С

В

60 º

О

Д

А

Дан прямоугольник АВСД, О – точка пересечения его диагоналей. Известно, что точки А, В, О лежат в плоскости . Докажите , что точки С и Д также лежат в плоскости . Вычислите площадь прямоугольника, если АС = 8 см, угол АОВ = 60 º

Домашнее задание: пункты 1-3 прочитать.

Решить задачи:

• Прямые а и b пересекаются в точке О, А а, В b, Р АВ. Докажите, что прямые а и b и точка Р лежат в одной плоскости.
• На данном рисунке плоскость содержит точки А, В, С, Д, но не содержит точку М. Постройте точку К – точку пересечения прямой АВ и плоскости МСД. Лежит ли точка К в плоскости .

М

С

В

А

Д