Решение уравнений с модулем методом интервалов

СОВРЕМЕННЫЙ УЧИТЕЛЬСКИЙ ПОРТАЛ http://easyen.ru

• Автор дает согласие использовать данный ресурс только для ознакомления и проведения уроков.

• Нельзя присваивать себе авторство данного ресурса, даже если будут внесены изменения.

• Нельзя публиковать данный ресурс без согласия автора.

• В случае частичного использования ресурса, ссылка на источник обязательна.

Уравнения с модулем, метод интервалов

Решение уравнений с модулем методом интервалов.

Подготовила

учитель математики МКОУ «Хотьковская СОШ»

Думиничского района Калужской области

Наталья Николаевна Коломина

2017

Определение модуля

Модулем (абсолютной величиной) числа называется неотрицательное число:

х ∈ R

Свойства модуля

0 Меняем знаки -х + 2 = 3 Не меняем знаки -1 ∈ (-∞ ; 2] х – 2 = 3 -х = 1 х = -1 х = 5 5 ∈ (2 ; + ∞) -1 – корень уравнения 5 – корень уравнения. | х-2 |= 3 Посмотреть решение х – 2 = 0 х = 2 Ответ: -1; 5." width="640"

Уравнения вида | х |= а

2

х ∈ (-∞ ; 2]

х ∈ (2 ; + ∞)

х – 2 ≤ 0

х – 2 0

Меняем знаки

-х + 2 = 3

Не меняем знаки

-1 ∈ (-∞ ; 2]

х – 2 = 3

-х = 1

х = -1

х = 5

5 ∈ (2 ; + ∞)

-1 – корень уравнения

5 – корень уравнения.

| х-2 |= 3

Посмотреть решение

х – 2 = 0

х = 2

Ответ: -1; 5.

Уравнения вида | х |= а

2,5

х ∈ (-∞ ; 2,5]

х ∈ (2,5 ; + ∞)

5 – 2х ≥ 0

5 – 2х

Не меняем знаки

Меняем знаки

5 – 2х = 4

-5 + 2х = 4

-2х = 4 – 5

0,5 ∈ (-∞ ; 2,5]

-2х = -1

0,5 – корень уравнения

4,5 ∈ (2,5 ; + ∞)

2х = 4 + 5

4,5 – корень уравнения.

2х = 9

х = 0,5

х = 4,5

| 5 – 2х |= 4

Посмотреть решение

5 – 2х = 0

-2х = -5

х = 2,5

Ответ: 0,5; 4,5.

Уравнения вида | х |= а

-8/3

х ∈ (-∞ ; -8/3]

3х + 8 ≥ 0

х ∈ (-8/3 ; + ∞)

3х + 8

Не меняем знаки

Меняем знаки

3х + 8 = 7

-1/3 ∉ (-∞ ; -8/3]

3х = 7 – 8

-3х – 8 = 7

-1/3 – не корень уравнения

3х = -1

-5 ∉ (-8/3 ; + ∞)

-3х = 7 + 8

-5 – не корень уравнения.

х = -1/3

-3х = 15

х = -5

7 = | 3х + 8 |

Посмотреть решение

3х + 8= 0

3х = -8

х = -8/3

Ответ: корней нет

0 + -х + 2х = 1 + 1 х + 1 = -2х + 1 2х – 1 ≤ 0 - х + 1 0 + 2 ∉ (-∞ ; -1] 3х = 0 2х – 1 0 + х = 2 2 – не корень уравнения х + 1 = 2х – 1 0 ∈ (-1 ; 0,5] 0,5 – корень уравнения х = 0 х – 2х = -1 – 1 2 ∈ (0,5 ; + ∞) -х = -2 2 – корень уравнения. х = 2 Посмотреть решение х + 1= 0 х = -1 2х - 1= 0 2х = 1 х = 0,5 Ответ: 0,5; 2." width="640"

Уравнения вида | х |=| у |

0,5

-1

| х + 1 |=| 2х -1 |

х ∈ (-∞ ; -1]

х ∈ (-1 ; 0,5]

х + 1 ≤ 0 -

2х – 1 -

-х – 1 = -2х + 1

х ∈ (0,5 ; + ∞)

х + 1 0 +

-х + 2х = 1 + 1

х + 1 = -2х + 1

2х – 1 ≤ 0 -

х + 1 0 +

2 ∉ (-∞ ; -1]

3х = 0

2х – 1 0 +

х = 2

2 – не корень уравнения

х + 1 = 2х – 1

0 ∈ (-1 ; 0,5]

0,5 – корень уравнения

х = 0

х – 2х = -1 – 1

2 ∈ (0,5 ; + ∞)

-х = -2

2 – корень уравнения.

х = 2

Посмотреть решение

х + 1= 0

х = -1

2х - 1= 0

2х = 1

х = 0,5

Ответ: 0,5; 2.

0 + -2х – х = -3 – 9 3 – х - -х = -6 2х – 9 = -3 + х 6 – не корень уравнения 4 ∈ (3 ; 4,5] 4 – корень уравнения 2х – х = -3 + 9 х = 6 -3х = -12 6 ∈ (4,5 ; + ∞) х = 4 х = 6 6 – корень уравнения. Посмотреть решение 2х - 9= 0 2х = 9 х = 4,5 3 - х= 0 -х = -3 х = 3 Ответ: 4; 6." width="640"

Уравнения вида | х |=| у |

3

4,5

|2 х - 9 |=| 3 - х |

х ∈ (-∞ ; 3]

х ∈ (3 ; 4,5]

2х - 9 -

2х - 9 ≤ 0 -

3 – х ≥ 0 +

х ∈ (4,5 ; + ∞)

-2х + 9 = 3 – х

-2х + 9 = -3 + х

3 – х -

-2х + х = 3 – 9

6 ∉ (-∞ ; 3]

2х - 9 0 +

-2х – х = -3 – 9

3 – х -

-х = -6

2х – 9 = -3 + х

6 – не корень уравнения

4 ∈ (3 ; 4,5]

4 – корень уравнения

2х – х = -3 + 9

х = 6

-3х = -12

6 ∈ (4,5 ; + ∞)

х = 4

х = 6

6 – корень уравнения.

Посмотреть решение

2х - 9= 0

2х = 9

х = 4,5

3 - х= 0

-х = -3

х = 3

Ответ: 4; 6.

0 + 3(-х – 1) = 1 – 2х х ∈ (0,5 ; + ∞) х + 1 0 + 3(х + 1) = 1 – 2х 1 – 2х ≥ 0 + -3х – 3 = 1 – 2х -4 ∈ (-∞ ; -1] х + 1 0 + 3х + 3 = 1 – 2х 1 – 2х - -х = 4 -4 – корень уравнения 3(х+1) = -1 + 2х -0,4 ∈ (-1 ; 0,5] -0,4 – корень уравнения х = -4 3х+3=2х-1 5х = -2 -4 ∉ (0,5 ; + ∞) Х = -0,4 х = -4 -4 – не корень уравнения. Посмотреть решение х + 1= 0 х = -1 1 - 2х= 0 -2х = -1 х = 0,5 Ответ: -4; -0,4." width="640"

Уравнения вида | х |=| у |

-1

0,5

3| х + 1|=| 1 - 2х |

х ∈ (-∞ ; -1]

х ∈ ( -1 ; 0,5]

х + 1 ≤ 0 -

1 – 2х 0 +

3(-х – 1) = 1 – 2х

х ∈ (0,5 ; + ∞)

х + 1 0 +

3(х + 1) = 1 – 2х

1 – 2х ≥ 0 +

-3х – 3 = 1 – 2х

-4 ∈ (-∞ ; -1]

х + 1 0 +

3х + 3 = 1 – 2х

1 – 2х -

-х = 4

-4 – корень уравнения

3(х+1) = -1 + 2х

-0,4 ∈ (-1 ; 0,5]

-0,4 – корень уравнения

х = -4

3х+3=2х-1

5х = -2

-4 ∉ (0,5 ; + ∞)

Х = -0,4

х = -4

-4 – не корень уравнения.

Посмотреть решение

х + 1= 0

х = -1

1 - 2х= 0

-2х = -1

х = 0,5

Ответ: -4; -0,4.

0 Меняем знаки Не меняем знаки -х - 1 = 1 – 2х х = 2 2 ∉ (-∞ ; -1] х + 1 = 1 – 2х 0 ∈ (-1 ; 0,5 ] 3х = 0 2 – не корень уравнения х = 0 0 – корень уравнения. Посмотреть решение х + 1= 0 х = -1 1 – 2х ≥ 0 -2х ≥ -1 х ≤ 0,5 Ответ: 0." width="640"

Уравнения вида | х |= у

Отличие от уравнений 1 вида в том, что в правой части тоже переменная.

-1

| х+1 |= 1-2х

х ∈ (-∞ ; -1]

х + 1 ≤ 0

х ∈ (-1 ; 0,5 ]

х + 1 0

Меняем знаки

Не меняем знаки

-х - 1 = 1 – 2х

х = 2

2 ∉ (-∞ ; -1]

х + 1 = 1 – 2х

0 ∈ (-1 ; 0,5 ]

3х = 0

2 – не корень уравнения

х = 0

0 – корень уравнения.

Посмотреть решение

х + 1= 0

х = -1

1 – 2х ≥ 0

-2х ≥ -1

х ≤ 0,5

Ответ: 0.

0 Меняем знаки Не меняем знаки -2х - 1 = 3 – х 2х + 1 = 3 – х -4 ∈ (-∞ ; -0,5] -х = 4 2/3 ∈ (-0,5 ; 3 ] 3х = 2 -4 – корень уравнения х = -4 х = 2/3 2/3 – корень уравнения. Посмотреть решение 2х + 1= 0 2х = -1 х = -0,5 3 - х ≥ 0 -х ≥ -3 х ≤ 3 Ответ: -4; 2/3." width="640"

Уравнения вида | х |= у

Отличие от уравнений 1 вида в том, что в правой части тоже переменная.

-0,5

|2 х+1 | = 3-х

х ∈ (-∞ ; -0,5]

х ∈ (-0,5 ; 3 ]

2х + 1 ≤ 0

2х + 1 0

Меняем знаки

Не меняем знаки

-2х - 1 = 3 – х

2х + 1 = 3 – х

-4 ∈ (-∞ ; -0,5]

-х = 4

2/3 ∈ (-0,5 ; 3 ]

3х = 2

-4 – корень уравнения

х = -4

х = 2/3

2/3 – корень уравнения.

Посмотреть решение

2х + 1= 0

2х = -1

х = -0,5

3 - х ≥ 0

-х ≥ -3

х ≤ 3

Ответ: -4; 2/3.

0 Меняем знаки Не меняем знаки -2(-х – 4) = 3 – х -2(х + 4) = 3 – х -5/3 ∉ (-∞ ; -4] 2х + 8 = 3 – х -2х – 8 = 3 – х -11 ∉ (-4 ; + ∞) -5 – не корень уравнения 3х = -5 -12 – не корень уравнения. х = -5/3 -х = 11 х = -11 Посмотреть решение х + 4 = 0 х = -4 3 - х ≥ 0 -х ≥ -3 х ≤ 3 Ответ: корней нет." width="640"

Уравнения вида | х |= у

Отличие от уравнений 1 вида в том, что в правой части тоже переменная.

- 4

-2| х+4 | = 3-х

х ∈ (-∞ ; -4]

х + 4 ≤ 0

х ∈ (-4 ; + ∞)

х + 4 0

Меняем знаки

Не меняем знаки

-2(-х – 4) = 3 – х

-2(х + 4) = 3 – х

-5/3 ∉ (-∞ ; -4]

2х + 8 = 3 – х

-2х – 8 = 3 – х

-11 ∉ (-4 ; + ∞)

-5 – не корень уравнения

3х = -5

-12 – не корень уравнения.

х = -5/3

-х = 11

х = -11

Посмотреть решение

х + 4 = 0

х = -4

3 - х ≥ 0

-х ≥ -3

х ≤ 3

Ответ: корней нет.

0 + х+3 + (2х–1) = 1 х = 5 2х - 1 ≤ 0 - х + 3 0 + 5 ∉ (-∞ ; -3] х+3+2х-1=1 2х - 1 0 + х+3-2х+1 = 1 5 – не корень уравнения -1/3 ∈ (-3 ; 0,5] -1/3 – корень уравнения 3х = -1 -х = -3 3 ∈ (0,5 ; + ∞) х = -1/3 х = 3 3 – корень уравнения. х + 3= 0 х = -3 2х – 1 = 0 2х = 1 х = 0,5 Ответ: -1/3; 3." width="640"

| х + 3|-| 2х - 1 | = 1

Посмотреть решение

-3

0,5

х ∈ (-∞ ; -3]

х ∈ ( -3 ; 0,5]

х + 3 ≤ 0 -

-х – 3 + 2х – 1 = 1

х ∈ (0,5 ; + ∞)

2х - 1 -

х + 3 0 +

х+3 + (2х–1) = 1

х = 5

2х - 1 ≤ 0 -

х + 3 0 +

5 ∉ (-∞ ; -3]

х+3+2х-1=1

2х - 1 0 +

х+3-2х+1 = 1

5 – не корень уравнения

-1/3 ∈ (-3 ; 0,5]

-1/3 – корень уравнения

3х = -1

-х = -3

3 ∈ (0,5 ; + ∞)

х = -1/3

х = 3

3 – корень уравнения.

х + 3= 0

х = -3

2х – 1 = 0

2х = 1

х = 0,5

Ответ: -1/3; 3.

0 + х ∈ (5/3 ; + ∞) 4/3 ∉(-∞ ; -1,5] х + 1 – 3х – 5 ≤ 0 – х = -10 -10 ∉ (-1,5 ; -1] 3х – 5 0 + 3 + 2х 0 + х + 1 ≤ 0 – х = 2 4/3 – не корень уравнения 3 + 2х 0 + х = 4/3 х + 1 0 + -10 – не корень уравнения 2 ∉ (-1 ; 5/3 ] 4/3∉ (5/3 ; + ∞) х + 1 0 + 2 – не корень уравнения. 4/3 – не корень уравнения. 3 + 2х = 0 2х = -3 х = -1,5 х + 1 = 0 х = -1 Ответ: корней нет." width="640"

|3 х - 5|+|3 + 2х | = 2|х + 1|

5/3

Посмотреть решение

-1

-1,5

3х – 5 = 0

Зх = 5

х = 5/3

х ∈ (-∞ ; -1,5]

х ∈ ( -1,5 ; -1]

3х – 5 –

3 + 2х ≤ 0 –

3х – 5 –

х = 4/3

х ∈ (-1 ; 5/3 ]

3 + 2х 0 +

х ∈ (5/3 ; + ∞)

4/3 ∉(-∞ ; -1,5]

х + 1 –

3х – 5 ≤ 0 –

х = -10

-10 ∉ (-1,5 ; -1]

3х – 5 0 +

3 + 2х 0 +

х + 1 ≤ 0 –

х = 2

4/3 – не корень уравнения

3 + 2х 0 +

х = 4/3

х + 1 0 +

-10 – не корень уравнения

2 ∉ (-1 ; 5/3 ]

4/3∉ (5/3 ; + ∞)

х + 1 0 +

2 – не корень уравнения.

4/3 – не корень уравнения.

3 + 2х = 0

2х = -3

х = -1,5

х + 1 = 0

х = -1

Ответ: корней нет.

Ссылки на изображения:

http://mediaryazan.ru/upload/iblock/fba/ ЕГЭ. png

Интернет - источники:

http://youclever.org/book/uravneniya-s-modulem-2

http://ru.solverbook.com/primery-reshenij/primery-resheniya-uravnenij-s-modulem/

http:// mathus.ru/math/modul.pdf

http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/algebraicheskie-uravneniia-i-neravenstva-funktcii-logarifmy/19-uravneniia-s-modulem