СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Решение тригонометрических уравнений

Категория: Алгебра

Нажмите, чтобы узнать подробности

Решение тригонометрических уравнений.

Просмотр содержимого документа
«Решение тригонометрических уравнений»


Урок по теме: «Решение тригонометрических уравнений вида

a sin x + b cos x = c» (10 класс)


Учитель математики:

Холецкая Марина Анатольевна


Решение тригонометрических уравнений вида

a sin x + b cos x = c.


Цели урока:

  1. Развивающая

  • Развитие устной математической речи

  • Обеспечение условий для развития умения решить тригонометрические уравнения, совершенствовать мыслительные умения старшеклассников; сравнивать, анализировать и обобщать, навыков обработки информации

  1. Образовательная

  • Создание условий для осознанного усвоения решения тригонометрических уравнений вида a sin x + b cos x = c

  • Формирование навыков самоконтроля и взаимоконтроля, алгоритмической культуры учащихся.

  1. Воспитательная

  • Развитие коммуникативных умений делового общения сверстников

  • Воспитание аккуратности


Тип урока: урок объяснения нового материала (получение новых знаний) с применением ИКТ.


Методы: словесные, наглядные, информационно-коммуникативные.


Формы организации: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная.


Оценки выставляются по ходу ведения урока (от участия)

sin (α+β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α-β) = sin α cos β - sin β cos α


Ход урока:

Здравствуйте, садитесь.

Известны истины, за которые сгорали на костре, сознательно обрекали себя на смерть, заражались во время опытов. Мы в своей жизни познаём эти истины. Сегодня на уроке мы с вами познаем одну из истин, истину, касающуюся методов решения тригонометрических уравнений вида

a sin x + b cos x = c.


1)Организационный момент.

Приветствие. Проверка отсутствующих и выполнение домашнего задания


sin7x – sin x =cos4x


Решение

sin7x – sin x =cos4x,

2sin3x cos4x - cos4x =0,

сos4x ( 2sin3x – 1 )=0,

сos4x=0 или 2cos3x -1 =0

сos4x=0

4x =П/2+Пn, n € Z; cos3x =1/2,

X=П/8 +Пn/4, n € Z, 3x =±аrccos1/2 +2Пn, n

3x =±П/3 +2Пn, n € Z,

X =±П/9 + 2/3Пn, n € Z.

Ответ: X=П/8 +Пn/4, X =±П/9 = 2/3Пn, n € Z


4sin²x - cos²x = cos4x

Решение

sin²x-cos²x =cos4x ,

- (cos² - sin²x )=cos4x ,

-cos2x = cos²2x - sin²2x,

-cos2x = cos²2x – ( 1 - cos²2x),

-cos2x - cos²2x +1 - cos²2x = 0,

-2cos²2x – cos2x +1 = 0,

2cos²2x + cos2x -1 = 0.

Заменим сos2x на У , где |У|£1

Тогда 2 у² +у -1 = 0,

D =1 - 4•2•(-1) =9,

У =1/ 2, у = -1.

Выполним обратную замену


сos2x =1/ 2 , cos2x = -1,

2x = П+2Пn, n € Z,

2x =±arccos1/2 =2Пn , n € Z, x=П/2+Пn, n € Z.

2x ±П/3 +2Пn. n € Z,

X =±П/6+Пn, n € Z.


Ответ: X =±П/6+Пn, x=П/2+Пn, n € Z.


3) №628 (1,3)

1) (tgx- )(2sin +1)=0


tgx- =0 или 2sin +1=0

tgx= sin =-

x=arctg +Пk, k Z =(-1)karcsin +Пк, k Z

x= +Пк, к Z x=(-1)k+12П+12Пк, к Z


Ответ: +Пк, к Z; (-1)k+12П+12Пк, к Z

(2)


2 sin x cos x = cos x

2 sin x cos x – cos x = 0

cos x (2sin x – 1) = 0

cos x = 0 или 2sin x – 1 = 0

x = +πn;n Z. 2sin x = 1

sin x =

x = (-1)narcsin +πn;n Z.

x = (-1)n +πn;n Z.

Ответ: x = +πn;n Z; x = (-1)n +πn;n Z.

(3)

(2sin(x+ П/6)-1)(2tgx+1)=0

Чтобы произведение равнялось нулю, нужно чтобы хотя бы один из множителей равнялся нулю, а другой множитель при этих значениях имел смысл.


Первый случай: Второй случай:

2sin(x+П/6)-1=0 2tgx+1=0

2sin(x+П/6) =1 2tgx=-1

sinx (x+П/6) =1/2 tgx=-1/2

x+ П/6= (-1)karcsin1/2+ПK; KЄZ x=-arctg1/2+ПK; KЄZ

x= (-1)kП/6 - П/6+ПK; KЄZ


Ответ:x=(-1)кП/6-П/6+ПK; KЄZ

x=-artg1/2+ПK; KЄZ

2) Актуализация изученных ранее тем по решению тригонометрических уравнений (с помощью слайдов).

  • COS X = a, где|a|£1

  • x = ± arccos a + 2pn,

nÎZ

  • arccos (– a) = p - arccos a


  • sin X = a, где|a|£1

  • x=(–1)narcsin a + pn,

n ÎZ

  • arcsin (– a) = – arcsin a


  • tg x = a, где a Î R

  • x = arctg a + pn,

n ÎZ

  • arctg (– a) = – arctg a


  • c os x = 0

  • x= +pn, nÎZ


cos x = 1

  • x = p +2pn, nÎZ


  • cos x = -1

  • x = p +2pn, nÎZ


  • sin x=0

  • x = p n, nÎZ


  • s in x=1

  • x = +2pn, nÎZ


  • s in x = -1

  • x =- +2pn, nÎZ

3) Решить уравнение (под копирку).

4sin²x – 4sinx – 3 = 0 2cos²x – sinx – 1 = 0

Решение:

4sin²x - 4 sinx – 3 = 0 2 сos²x – sin x – 1 = 0

х=( -1)n+1 П/6 +Пn, n Î Z. х= ±П/6 +Пn; х= -П/2+2Пn, n Î Z.


Устная работа.

Предложите способ решения уравнений.

а )


б)


4) Объяснение нового материала.

(с помощью слайдов).

Решите уравнение вида a sin x + b cos x = c.

е сли с=0


У равнение

П оделив уравнение на cos x, где cos x 0, получим , ,


П ри решении этой задачи обе части уравнения были поделены на , где cos x 0

Н апомним, что при делении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли корни уравнения корнями данного уравнения. Если , то из уравнения

следует, что Однако и не могут одновременно равняться нулю, так как они связаны равенством Следовательно, при делении уравнения , где на (или ) получаем уравнение, равносильное данному.


У равнение

Используя формулы sin x = 2 sin cos , cos x = cos 2 - sin2 и



з аписывая правую часть уравнения в виде получаем


Поделив это уравнение на , получим равносильное уравнение

Обозначая получаем откуда


1)


2)




Данное уравнение является уравнением вида , где

которое можно решить другим способом. Разделим обе части этого уравнения на





В ведем вспомогательный элемент , такой что,


Такое число существует, так как





Таким образом, уравнение можно записать в виде


Последнее уравнение является простейшим тригонометрическим уравнением.

Решить уравнение

Р ешение:

Здесь


Поделим обе части уравнения на 5:




Введем вспомогательный аргумент такой, что


Откуда

Ответ:


Закрепление № 629(3); 664 (1)

Итог урока: Оценки. Замечания по выполнению упражнений. Пояснения к домашнему заданию.


Домашнее задание: стр. 184-185

упр. 629(1;4)

661 (1) «3»


№668(1) «4»


№670(1) «5»







Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!