Урок по теме: «Решение тригонометрических уравнений вида
a sin x + b cos x = c» (10 класс)
Учитель математики:
Холецкая Марина Анатольевна
Решение тригонометрических уравнений вида
a sin x + b cos x = c.
Цели урока:
Развивающая
Развитие устной математической речи
Обеспечение условий для развития умения решить тригонометрические уравнения, совершенствовать мыслительные умения старшеклассников; сравнивать, анализировать и обобщать, навыков обработки информации
Образовательная
Создание условий для осознанного усвоения решения тригонометрических уравнений вида a sin x + b cos x = c
Формирование навыков самоконтроля и взаимоконтроля, алгоритмической культуры учащихся.
Воспитательная
Тип урока: урок объяснения нового материала (получение новых знаний) с применением ИКТ.
Методы: словесные, наглядные, информационно-коммуникативные.
Формы организации: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная.
Оценки выставляются по ходу ведения урока (от участия)
sin (α+β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α-β) = sin α cos β - sin β cos α
Ход урока:
Здравствуйте, садитесь.
Известны истины, за которые сгорали на костре, сознательно обрекали себя на смерть, заражались во время опытов. Мы в своей жизни познаём эти истины. Сегодня на уроке мы с вами познаем одну из истин, истину, касающуюся методов решения тригонометрических уравнений вида
a sin x + b cos x = c.
1)Организационный момент.
Приветствие. Проверка отсутствующих и выполнение домашнего задания
sin7x – sin x =cos4x
Решение
sin7x – sin x =cos4x,
2sin3x cos4x - cos4x =0,
сos4x ( 2sin3x – 1 )=0,
сos4x=0 или 2cos3x -1 =0
сos4x=0
4x =П/2+Пn, n € Z; cos3x =1/2,
X=П/8 +Пn/4, n € Z, 3x =±аrccos1/2 +2Пn, n
3x =±П/3 +2Пn, n € Z,
X =±П/9 + 2/3Пn, n € Z.
Ответ: X=П/8 +Пn/4, X =±П/9 = 2/3Пn, n € Z
4sin²x - cos²x = cos4x
Решение
sin²x-cos²x =cos4x ,
- (cos² - sin²x )=cos4x ,
-cos2x = cos²2x - sin²2x,
-cos2x = cos²2x – ( 1 - cos²2x),
-cos2x - cos²2x +1 - cos²2x = 0,
-2cos²2x – cos2x +1 = 0,
2cos²2x + cos2x -1 = 0.
Заменим сos2x на У , где |У|£1
Тогда 2 у² +у -1 = 0,
D =1 - 4•2•(-1) =9,
У =1/ 2, у = -1.
Выполним обратную замену
сos2x =1/ 2 , cos2x = -1,
2x = П+2Пn, n € Z,
2x =±arccos1/2 =2Пn , n € Z, x=П/2+Пn, n € Z.
2x ±П/3 +2Пn. n € Z,
X =±П/6+Пn, n € Z.
Ответ: X =±П/6+Пn, x=П/2+Пn, n € Z.
3) №628 (1,3)
1) (tgx- )(2sin +1)=0
tgx- =0 или 2sin +1=0
tgx= sin =-
x=arctg +Пk, k Z =(-1)karcsin +Пк, k Z
x= +Пк, к Z x=(-1)k+12П+12Пк, к Z
Ответ: +Пк, к Z; (-1)k+12П+12Пк, к Z
(2)
2 sin x cos x = cos x
2 sin x cos x – cos x = 0
cos x (2sin x – 1) = 0
cos x = 0 или 2sin x – 1 = 0
x = +πn;n Z. 2sin x = 1
sin x =
x = (-1)narcsin +πn;n Z.
x = (-1)n +πn;n Z.
Ответ: x = +πn;n Z; x = (-1)n +πn;n Z.
(3)
(2sin(x+ П/6)-1)(2tgx+1)=0
Чтобы произведение равнялось нулю, нужно чтобы хотя бы один из множителей равнялся нулю, а другой множитель при этих значениях имел смысл.
Первый случай: Второй случай:
2sin(x+П/6)-1=0 2tgx+1=0
2sin(x+П/6) =1 2tgx=-1
sinx (x+П/6) =1/2 tgx=-1/2
x+ П/6= (-1)karcsin1/2+ПK; KЄZ x=-arctg1/2+ПK; KЄZ
x= (-1)kП/6 - П/6+ПK; KЄZ
Ответ:x=(-1)кП/6-П/6+ПK; KЄZ
x=-artg1/2+ПK; KЄZ
2) Актуализация изученных ранее тем по решению тригонометрических уравнений (с помощью слайдов).
COS X = a, где|a|£1
x = ± arccos a + 2pn,
nÎZ
sin X = a, где|a|£1
x=(–1)narcsin a + pn,
n ÎZ
tg x = a, где a Î R
x = arctg a + pn,
n ÎZ
c os x = 0
x= +pn, nÎZ
cos x = 1
cos x = -1
x = p +2pn, nÎZ
s in x=1
x = +2pn, nÎZ
s in x = -1
x =- +2pn, nÎZ
3) Решить уравнение (под копирку).
4sin²x – 4sinx – 3 = 0 2cos²x – sinx – 1 = 0
Решение:
4sin²x - 4 sinx – 3 = 0 2 сos²x – sin x – 1 = 0
х=( -1)n+1 П/6 +Пn, n Î Z. х= ±П/6 +Пn; х= -П/2+2Пn, n Î Z.
Устная работа.
Предложите способ решения уравнений.
а )
б)
4) Объяснение нового материала.
(с помощью слайдов).
Решите уравнение вида a sin x + b cos x = c.
е сли с=0
У равнение
П оделив уравнение на cos x, где cos x 0, получим , ,
П ри решении этой задачи обе части уравнения были поделены на , где cos x 0
Н апомним, что при делении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли корни уравнения корнями данного уравнения. Если , то из уравнения
следует, что Однако и не могут одновременно равняться нулю, так как они связаны равенством Следовательно, при делении уравнения , где на (или ) получаем уравнение, равносильное данному.
У равнение
Используя формулы sin x = 2 sin cos , cos x = cos 2 - sin2 и
з аписывая правую часть уравнения в виде получаем
Поделив это уравнение на , получим равносильное уравнение
Обозначая получаем откуда
1)
2)
Данное уравнение является уравнением вида , где
которое можно решить другим способом. Разделим обе части этого уравнения на
В ведем вспомогательный элемент , такой что,
Такое число существует, так как
Таким образом, уравнение можно записать в виде
Последнее уравнение является простейшим тригонометрическим уравнением.
Решить уравнение
Р ешение:
Здесь
Поделим обе части уравнения на 5:
Введем вспомогательный аргумент такой, что
Откуда
Ответ:
Закрепление № 629(3); 664 (1)
Итог урока: Оценки. Замечания по выполнению упражнений. Пояснения к домашнему заданию.
Домашнее задание: стр. 184-185
упр. 629(1;4)
661 (1) «3»
№668(1) «4»
№670(1) «5»