Решение неравенства 4 в степени х

Задание №14 ЕГЭ по профильной математике

Решить неравенство: (1)

Решение:

Чтобы решить это неравенство, сделаем подстановку: ,

тогда

И мы получаем: ₍₂₎

Сначала рассмотрим знаменатели: первый: ,

, значит, и

Второй знаменатель

Как мы знаем, квадратичный трёхчлен можно разложить по формуле:

.

Полученное разложение подставим в неравенство (2):

.

А теперь приведём к общему знаменателю:

Упрощаем левую часть, а правую часть выносим налево:

Рассмотрим отдельно числитель:

Мы не умеем решать уравнения третьей степени. Тут четыре слагаемых и их невозможно сгруппировать по 2, чтобы вынести за скобки общий множитель. В таких случаях поступают следующим образом: некоторых из слагаемых самих разлагают на слагаемые. Давайте попробуем такое разложение:

.

Тогда у нас получится сумма из шести слагаемых, и можно будет их сгруппировать по три.

Трёхчлен 15/ так же можно разложить на множители. Для этого найдём дискриминант и корни.

Теперь то, что у нас получилось, можно поставить в неравенство (2):

Отсюда у равен 4 и 7, но не равен 2 и 5. На координатной прямой отмечаем эти точки и определяем знаки на промежутках:

На промежутке (-∞;2) возьмём цифру 1 и подставляем:

На промежутке (2;4) возьмём 3:

На (4;7) – число 5:

На (7;∞)- число 10:

-∞____-__2___+___4_-_5_-___7__+____∞

у ≤ 2 4 ≤ у

Мы сейчас нашли только у, а нужно найти х. Поэтому сделаем обратную подстановку:

4≤у

5

-∞___-___2___+___4___-_____5_____-______7___+___∞

x ≤ 1≤x

Ответ можно написать таким образом, а можно и так:

(-∞; ) ; (1; ; ( ;