Решение логарифмических уравнений и неравенств

ПРОЕКТ на тему: «Решение логарифмических уравнений и неравенств»





















Яралиева Б.С. преподаватель математики «Дербентского профессионально- -педагогического колледжа»















-2016г.-

Содержание

Введение……………………………………………………………………3 Глава 1. Теоретические основы. 1.1. Основные понятия…………………………………………………….4

1.2. Методы решения логарифмических уравнений и неравенств…......7

Глава 2. Применение методов на практике.

2.1.Решение логарифмических уравнений…………………………..…..10

2.2.Решение логарифмических неравенств……………………………...13

Выводы……………………………………………………………….…….16

Заключение…………………………………………………………….…..17

Список литературы…………………………………………………….….18

Введение

Тема проекта: «Решение логарифмических уравнений и неравенств»

Актуальность: - учащиеся не обладают достаточными знаниями о методах решения логарифмических уравнений и неравенств;

- в материалах ЕГЭ встречаются задания, содержащие логарифмические уравнения и неравенства.

Цель: сформировать у учащихся умение решать различного типа логарифмические уравнения и неравенства для успешной сдачи ЕГЭ.

Задачи: собрать и изучить теоретический материал по способам решения логарифмических уравнений и неравенств; описать различные способы их решений и показать учащимся применение рассмотренных методов на примерах.

Объект исследования:  процесс обучения учащихся решению логарифмических уравнений и неравенств на уроках математики.

Предмет исследования: методы решения логарифмических уравнений и неравенств.
Гипотеза исследования основана на предположении о том, что знание различных методов решения логарифмических уравнений и неравенств может повысить эффективность изучения данной темы и качество подготовки обучающихся к сдаче ЕГЭ.

Методы исследования: изучение специализированной литературы, анализ, сравнение, применение теоретических знаний при решении практических задач.

Выборка исследования: различные методы решений логарифмических уравнений и неравенств.

Глава 1. Теоретические основы. 1.1. Основные понятия.

1. Логарифмы и их свойства

Рассмотрим уравнение , при  . При это уравнение не имеет решений и при имеет единственное решение. Данное решение называют логарифмом по основанию и обозначают .

Логарифмом числа по основанию называется показатель степени, в которую необходимо возвести число, чтобы получилось число:

.

Это равенство называют основным логарифмическим тождеством

Свойства логарифмов

При . и действительном имеют место равенства:

1. ; 

2.;

3. ;

4.;

5..

Формула перехода к новому основанию:

Имеет место тождество

.

Из него следуют следующие равенства:

, .

Так же имеет место равенство

Логарифм, основанием которого является число 10, называют десятичным логарифмом и обозначают . Логарифм, основанием которого является число e, называют натуральным логарифмом и обозначают .

2.Логарифмическая функция

  Определение

Функцию вида , где   называют логарифмической функцией с основанием .

Основные свойства логарифмической функции:

1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных вещественных чисел - R+.

2. Область значения логарифмической функции есть множество вещественных чисел.

3. Если основание логарифмической функции , то функция возрастает на всей области определения. Если же для основания логарифмической функции имеет место неравенство , то логарифмическая функция убывает на всей области определения.

4. График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0).

5. Возрастающая логарифмическая функция положительна при и отрицательна при .

6. Убывающая логарифмическая функция отрицательна при и положительна при .

График возрастающей логарифмической функции - ():

График убывающей логарифмической функции - ():

7. Функция не является четной или нечетной. Логарифмическая функция – функция общего вида.

8. У функции нет точек максимума и минимума.

Графики показательной и логарифмической функций с одинаковыми основаниями симметричны относительно прямой .

1. Логарифмические уравнения и неравенства.

Определение.

Логарифмическим уравнением называется  уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

. Тогда .

Определение.

Логарифмическим неравенством называется  неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании.

1.2. Методы решения логарифмических уравнений и неравенств.

При решении логарифмических уравнений используют различные методы. Выбор метода зависит от вида уравнения. Перечислим некоторые из них:

1. Использование определения логарифма

2. Потенцирование (переход от логарифма данного выражения к самому этому выражению).

3. Приведение к одному основанию.

4. Введение новой переменной.

5. Логарифмирование обеих частей уравнения.

6. Функционально-графический метод.

Для решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

1. Если a  1, то неравенство равносильно системе неравенств

	f(x)  ,
	0.

2. Если 0 a  равносильно системе неравенств

	f(x) ,
	f(x) 0.

3. Неравенство равносильно совокупности систем неравенств

		1,
		f(x)   0,
		0
		0 f(x) .

4. Знак совпадает со знаком в ОДЗ.

5. Знак разности совпадает со знаком произведения в ОДЗ.

В работе использовала следующие источники:

1. И.В. Яковлев Логарифмические уравнения и неравенства. Материалы по математике. MathUs.ru
2. Башмаков М.И. Математика 2012 г.
3. В.Г. Рисберг, И.Ю.Чернилова Решение показательныч и логарифмических уравнений, неравенств и систем уравнений повышенного и высокого уровня сложности. Учебное пособие. 2015 г.
4. Шувалова Э.З., Агафонов Б.Г., Богатырев Г.И. Повторим математику.

5.Эфендиев Э.И.- Практикум по элементарной математике-2015 г.

6. Колмогоров А.Н.- Алгебра и начала анализа.-2013 г. (учебник 10-11кл)

7. https://infourok.ru

В источниках [1], [3] очень хорошо раскрыт метод рационализации, суть которого высказана у нас в утверждениях 4 и 5.

В источниках [4], [5], [6] приведены задания, во всей полноте характеризующие тот или иной метод решения логарифмических уравнений и неравенств.

Из источника [3] взяты задания повышенного уровня.

Проанализировав материал школьных учебников по алгебре и началам математического анализа для 10 – 11 классов, могу сделать вывод о недостаточном освещении изучаемого вопроса в учебно-методической литературе. Это затрудняет работу учителя при изучении данной темы и подготовке к сдаче ЕГЭ.

В источниках [6], [2] при рассмотрении темы «Решение логарифмических уравнении и неравенств» приведены лишь методы решения уравнений с использованием определения логарифма, потенцирования и перехода к одному основанию. А ведь есть и другие методы. Знание различных методов облегчило бы учащимся выполнение заданий с логарифмическими уравнениями. Надо учитывать, что задания в материалах ЕГЭ сложнее заданий в школьных учебниках (задания С). Так же обстоит дело с решением логарифмических неравенств. Метод рационализации намного упростил бы их решение. Он позволяет в определённых случаях упростить неравенство и свести его к рациональному неравенству (которое решается методом интервалов).

Выводы: изучаемая нами тема в различных источниках преподносится в разной последовательности и форме.

Глава 2. Применение методов на практике.

2.1.Решение логарифмических уравнений.

Рассмотрим применение приведенных методов при решении логарифмических уравнений.

1. Используя определение логарифма

Решить уравнения: а)

б)

в)

Решения: а)

Проверка: , является решением.

Ответ: 15.

б)

Сделав проверку, убеждаемся в том, что наше решение.

Ответ:2.

в)

После проверки остается корень .

Ответ:0.

1. Потенцирование (переход от логарифма данного выражения к самому этому выражению).

Решить уравнения: а)

б)

Решения: а) log₃ (x+1)+log₃ (x+3)=log₃3

ОДЗ: x

Используя свойство логарифмов, получаем:

log₃ (x+1)(x+3)=log₃3

(x+1)(x+3)=3

x² +4x+3=3

x² +4x=0

x₁ =0 x₂ =-4

Учитывая ОДЗ, получаем решение x=0.

Ответ:0.

б)

ОДЗ: x

x₁=-3 , x₂=2

С учетом ОДЗ получаем x=2.

Ответ:2.

В общем виде уравнение log_af(x)=log_ag(x) решается переходом к равносильной системе

.

1. Приведение к одному основанию.

Решить уравнение log₂₅x+log₅x=log_0,2

ОДЗ: x0. Перейдем к основанию 5.

log₅²x+log₅x=log₅^-1

log₅x+log₅x=-log₅

log₅x=-log₅2^3/2

log₅x^3/2 =log₅2^-3/2

x=

Ответ: x=.

1. Введение новой переменной.

Решить уравнение log² ₅x-log₅x=2.

ОДЗ: x0. Введем новую переменную y=log₅x , получим квадратное уравнение y² -y -2=0.Оно имеет корни y₁=-1, y₂=2. Вернувшись к замене, получаем простейшие логарифмические уравнения:

log₅x1, x=5^-1=

log₅x=2, x=5²=25.

Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: x=, x=25.

1. Логарифмирование обеих частей уравнения.

Решить уравнение .

ОДЗ: x

После подстановки полученного выражения наше уравнение примет вид:

Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 2, получим:

Входит в ОДЗ.

Ответ:2.

1. Функционально-графический метод.

Если одна из функций у = f(x) возрастает, а другая y = g(x) убывает на промежутке Х, то уравнение f(x)= g(x) имеет не более одного корня на промежутке Х.

Решить уравнение log₅(x+2)=4-x.

ОДЗ: x-2.

Очевидно, что x=3 является решением уравнения. Так как левая часть нашего уравнения есть строго возрастающая функция, а правая – строго убывающая, то других решений уравнение не имеет.

2.2.Решение логарифмических неравенств.

Рассмотрим применение приведенных утверждений при решении логарифмических неравенств.

Решить неравенства:

а)

Согласно утверждению 1 оно равносильно системе

Ответ:

б)

Согласно утверждению 2 оно равносильно системе

Ответ:

в) Решить неравенство .

Представим . Тогда, используя утверждение 3, можем записать:

Решая первую систему совокупности, получаем:

.

Решая вторую систему совокупности, получаем:

.

И решение нашего неравенства примет вид: .

Решим это неравенство используя утверждение 5.

Оно равносильно системе:

Ответ:

Мы видим, что это решение намного проще.

Решим этим же методом следующее неравенство

.

ОДЗ:

Наше неравенство с учетом утв. 5 примет вид

(

,

решением которого является множество .

С учетом ОДЗ получаем решение нашего неравенства: .

Ответ: .

Рассмотрим еще одно неравенство.

Решение

ОДЗ:

т.к. .

Это неравенство равносильно следующей системе:

Отсюда получаем решение: . Ответ:.

Выводы

В результате анализа использованной литературы и проведенного эмпирического исследования пришла к следующим выводам:

- о недостаточном освещении изучаемого вопроса в учебно-методической литературе;

- о необходимости внедрять в учебный процесс изучение методов, облегчающих выполнение заданий по данной теме;

- о необходимости научить учащихся правильному применению

изученных методов на практике.

Полностью согласна со следующим высказыванием Г.Цейтена: «Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах.»

Надеюсь, что результаты моей работы помогут учащимся в решении заданий по данной теме.

Заключение

В школьном курсе математике изучаются логарифмические уравнения и неравенства и способы их решения очень сжато. Потребности учебного процесса требуют от учеников больших знаний и умений.

В материалах ЕГЭ и на олимпиадах часто встречаются задания с логарифмическими уравнениями и неравенствами.

В своей работе мы рассмотрели различные методы решений логарифмических уравнений и неравенств: использования определения логарифма, потенцирования, перехода к одному основанию, логарифмирования, функционально - графический, рационализации, использования свойств логарифмической функции.

Результаты данной работа могут быть использованы при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам, и на факультативных занятиях для расширения математического кругозора учащихся.

В дальнейшем планируя исследовать уравнения в целых числах, способы их решений.

Список литературы

1. Колмогоров А.Н.- Алгебра и начала анализа.-2013 г. (учебник 10-11кл)

2. Рисберг В.Г., Чернилова И.Ю. Решение показательныч и логарифмических уравнений, неравенств и систем уравнений повышенного и высокого уровня сложности. Учебное пособие. 2015 г.
3. Шувалова Э.З., Агафонов Б.Г., Богатырев Г.И. Повторим математику.

4. Эфендиев Э.И. Практикум по элементарной математике-2015 г.

5. Яковлев И.В. Логарифмические уравнения и неравенства. Материалы по математике. MathUs.ru

6. https://infourok.ru