Решение квадратных уравнений

Урок алгебры (8 класс).

Обобщающий урок по теме:

«Квадратные уравнения» 

Из опыта работы учителя

математики МБОУ

«Гимназия№11»

Гусейновой А.Г.

Задачи урока:

1 . Контроль знаний с помощью тестирования.

2. Решение задач на применение прямой и обратной теорем Виета.

3. Изучение нового свойства квадратных уравнений.

4.Повторение пройденного материала

II. Устная работа

1)- Какое же уравнение называется квадратным уравнением?

(ах2+ в х + с =0)

- Как называются числа а, в и с в квадратном уравнении? (старший коэффициент, второй коэффициент, свободный член)

- Какое квадратное уравнение называется приведенным?

-Как называются квадратные уравнения, у которых хотя бы один из коэффициентов в или с =0 (неполное)

- Что необходимо найти, чтобы определить количество корней уравнения ? (

дискриминант).

Чему равна сумма корней уравнения х 2 - 5х + 6 =0?

Чему равна произведение корней этого уравнения ?

Найдите корни этого уравнения.

Игра «Найди лишнее».

1) x 2  –3 x = 0 2) x 2  – 16 = 0 3) 5x 2  = 0 4) 5x 2  –3 x – 6= 0

1) x 2  – 5x + 6 = 0 2) 5x 2  – 6x +1 = 0 3) x 2  + 8x – 2 = 0, 2 4) x 2 + 2x + 16 = 0, 8

1) 3x 2  – 4x + 1 = 0 2) 7x 2  – x + 9 = 0 3) x 2 – 3x – 1 = 0 4) 8 x 2 + 10x – 2 = 0

Тест 1 вариант

Уравнения

полное

    x 2 + 16х+7=0

неполное

8 x 2 +25= 0

приведённое

x 2  – 2х = 0

Неприведённое

-x 2  + 5х + 1= 0

3 x 2 + 6х  +7 = 0

Тест 1 вариант

Уравнения

    x 2 + 16х+7=0

полное

8 x 2 +25= 0

неполное

+

x 2  – 2х = 0

приведённое

-x 2  + 5х + 1= 0

+

+

Неприведённое

+

+

3 x 2 + 6х  +7 = 0

+

+

+

+

+

Тест 2 вариант

Уравнения

полное

    x 2 + 3х=0

неполное

5 x 2 +4х-7= 0

приведённое

x 2 - 3х + 15= 0

Неприведённое

-x 2  - 3х + 14= 0

5 x 2 - 2х  = 0

Тест 2 вариант

Уравнения

полное

    x 2 + 3х=0

неполное

5 x 2 +4х-7= 0

+

x 2 - 3х + 15= 0

+

приведённое

-x 2  - 3х + 14= 0

+

+

Неприведённое

+

5 x 2 - 2х  = 0

+

+

+

+

+

Каждому уравнению из левого столбца поставьте в соответствие число решений из правого столбца:

Уравнения

Количество решений:

• 2х 2  + 4х = 0

1) 1 корень

2) 2 корня

• х 2  – 6х + 9 = 0

3) Нет решений

4) 2 корня

• х 2  – 9 = 0

• х 2  + 25 = 0

Викторина. «Дальше, дальше…»

• Уравнение второй степени.
• Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D больше 0?
• Равенство с переменной?
• От чего зависит количество корней квадратного уравнения?
• Как называется квадратное уравнение, у которого первый коэффициент — 1?
• Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант меньше 0?
• Что значит решить уравнение?
• Есть у любого слова, у растения и может быть у уравнения?

Найти ошибки:

1) х 2  - 5х - 14 = 0,

a = 1, b = - 5, c = 14.

D = b 2  - 4ac = (- 5) 2  - 4 * 1 * 14 = 25 -56 = -31

Ответ: нет решений.

2) х 2  - 16 = 0,

х 2  = 16

х= 4

Ответ: 4

Группы получают карточки для решения уравнений, чтобы расшифровать выражения, записанные на доске по принципу “Поле чудес”.

1. x 2  – 5x +6 = 0 2. x 2  – 7x + 10 = 0 3. x 2  – 6x+ 8 = 0 4. x 2  – 10x + 21 = 0  5. x 2  +7x – 8 = 0 6. x 2  –  4x +3 = 0 7. x 2 + 5x + 6 = 0 8. x 2  – 8x + 12 = 0 9. x 2 - 5x + 4 = 0 10. x 2  – 5x – 6 = 0 11. x 2  – 6х +5 = 0 12. x 2 + 6x + 5 = 0

Работа в группах. Таблица ответов

В

-5; -1

Р

Н

2; 4

2; 5

А

3; 7

Т

2; 6

Е

– 1; 6

И

Ю

2 3

О

3; 1

Ь

-8; 1

-2; -3

К

Д

0; 10

4; 1

Решить уравнения . Букву, соответствующую вашему ответу, внесите в таблицы соответственно номеру вашего уравнения

1 Группа решает 12, 1, 10, 8 уравнения

2 Группа решает 2, 7, 6, 5 , 8 уравнения

3 Группа решает 11, 9, 10, 4, 3. 8 уравнения

Букву, соответствующую вашему ответу, внесите в таблицы соответственно номеру вашего уравнения.

.

12

1

10

8

2

7

6

8

5

2

2

7

6

8

5

2

11

10

9

4

3

8

Букву, соответствующую вашему ответу, внесите в таблицы соответственно номеру вашего уравнения.

.

12

1

  В

10

  И

8

  Е

  Т

(Ответ: Виет).

2

Н

7

  Ь

6

  Ю

8

  Т

5

2

  О

  Н

2

7

6

8

5

2

(Ответ: Ньютон).

11

10

9

4

3

8

(Ответ: Декарт).

Из истории математики

- Ребята, вы знаете, что математика – очень древняя наука. Но, наверное, вы не знаете, когда появились первые квадратные уравнения? Их решали в Вавилоне еще до нашей эры. Но в Европе квадратные уравнения стали известны только в 1202 году, когда итальянский ученый Леонард Фибоначи изложил формулы для решения квадратных уравнений. Правда, только в17 веке, благодаря Исааку Ньютону и Рене Декарту, формулы приняли современный вид.

Из истории математики

Задание.

В уравнении х 2 + рх + 56 = 0 один из корней равен 7.

Найди другой корень и коэффициент р.

Физкультминутка:

Итак, сейчас все встанем и поиграем игру «На внимание». Объясняю правило: если я говорю «Внимание». то команда выполняет, если я не говорю «Внимание», то команда не выполняет. Давайте попробуем:

Внимание, поднимите левую руку вверх. Внимание, опустите руку вниз.

Поднимите правую руку вверх (не поднимают).

Внимание, поднимите правую руку вверх. Опустите руку. Внимание, опустите руку.

Внимание, руки перед собой. Внимание, опустите голову вниз. Внимание, голову

назад. Внимание, опустили руки, внимание выпрямились, внимание сели.

Проблема: 

Решить уравнение

2019х 2 -2018х+1=0

Прежде чем решить это уравнение, проверим домашнее задание и сделаем вывод.

Проверка домашнего задания.

• х 2 + 3х – 4 = 0
• х 2 + 5х – 6 = 0
• х 2 – 6х + 5 = 0
• 2 х 2 + 6х - 8 = 0

Проверка домашнего задания.

• х 2 + 3х – 4 = 0 х 1 = 1; х 2 = -4
• х 2 + 5х – 6 = 0 х 1 = 1; х 2 = -6
• х 2 – 6х + 5 = 0 х 1 = 1; х 2 = 5

4) 2 х 2 + 6х - 8 = 0 х 1 = 1; х 2 = 8

Вывод:

1 свойство:

Если a + b + c = 0,

то x 1 = 1;

x 2 = с/а.

Решить уравнение

2019х 2 -2018х+1=0

x 1 = 1;

x 2 = 1/2019.

2 свойство:

Если a - b + c = 0, или а + с=в,то x 1 =- 1;

x 2 =- с/а.

Решить уравнение

7х 2 +10х+3=0.

Так как 7+3=10, то по свойству 2 получим:

x 1 =- 1;

x 2 =- 3 / 7.

10 способов решения квадратных уравнений.

• Способы решения квадратных уравнений, изучаемые в школе:
• Разложение левой части на множители
• Метод выделения полного квадрата
• С применением формул корней квадратного уравнения
• С применением теоремы Виета
• Графический способ

• Продвинутые способы решения квадратных уравнений:
• Способ переброски
• По свойству коэффициентов
• С помощью циркуля и линейки
• С помощью номограммы
• Геометрический

Ребята, обратите внимание на уравнения, которые были решены в начале урока, и решите их новым способом:

1) 5 x 2  + 3x - 8 = 0 2) 2x 2  – 9x + 7 = 0 3) 4x 2  + 5x + 1 = 0

5 + 3 – 8 = 0 2 – 9 + 7 = 0 4 + 1 = 5

x 1 =- 1; x 2 =- 8 / 5. x 1 =- 1; x 2 =- 7 / 2. x 1 =- 1; x 2 =- 1 / 4.

Самостоятельная работа.

Решить уравнения, используя свойства коэффициентов:

Вариант 1. Вариант 2.

1) х 2 + 125х –126 = 0 1) х 2 + 11х -12 = 0;

2) 4х 2 + 3х – 7 = 0 2) 6х 2 + 2х -8 = 0;

3) 8х 2 - 2х - 6 = 0 3) 2х 2 - 5х + 3 = 0;

4) 3 х 2 + 5х + 2 = 0. 4) 3 х 2 + 7х + 4 = 0.

Домашнее задание

Придумать и решить 6 уравнений на свойства коэффициентов квадратного уравнения

Оцените урок и результат своей деятельности. Выберите один из вариантов:

На уроке я работал активно / пассивно.

Своей работой на уроке я доволен / недоволен.

Урок для меня показался коротким / длинным

За урок я устал / не устал

Материал урока мне был понятен / не понятен

интересен / скучен

За урок я оставлю себе оценку -----------------------------

Спасибо за урок !

Молодцы!