Репетиторство 8 класс

Определение и примеры алгебраических дробей

Рациональные выражения делятся на целые и дробные выражения.

Определение. Рациональная дробь – дробное выражение вида  , где   – многочлены.   – числитель,   – знаменатель.

Примеры рациональных выражений:   – дробные выражения;   – целые выражения. В первом выражении, к примеру, в роли числителя выступает  , а знаменателя –  .

Значение алгебраической дроби, как и любого алгебраического выражения, зависит от численного значения тех переменных, которые в него входят. В частности, в первом примере значение дроби зависит от значений переменных   и  , а во втором только от значения переменной  .

Вычисление значения алгебраической дроби и две основные задачи на дроби

Рассмотрим первую типовую задачу: вычисление значения рациональной дроби при различных значениях входящих в нее переменных.

Пример 1. Вычислить значение дроби   при а)  , б)  ,    в) 

Решение. Подставим значения переменных в указанную дробь: а)  , б)  , в)   – не существует (т. к. на ноль делить нельзя).

Ответ: а) 3; б) 1; в) не существует.

Как видим, возникает две типовые задачи для любой дроби: 1) вычисление дроби, 2) нахождение допустимых и недопустимых значений буквенных переменных.

Определение. Допустимые значения переменных – значения переменных, при которых выражение имеет смысл. Множество всех допустимых значений переменных называется ОДЗ или область определения.

Допустимые (ОДЗ) и недопустимые значения переменных в дробях с одной переменной

Значение буквенных переменных может оказаться недопустимым, если знаменатель дроби при этих значениях равен нулю. Во всех остальных случаях значение переменных являются допустимыми, т. к. дробь можно вычислить.

Пример 2. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь  .

Решение. Чтобы данное выражение имело смысл, необходимо и достаточно, чтобы знаменатель дроби не равнялся нулю. Таким образом, недопустимыми будут только те значения переменной, при которых знаменатель будет равняться нулю. Знаменатель дроби  , поэтому решим линейное уравнение:

.

Следовательно, при значении переменной   дробь не имеет смысла.

Ответ: -5.

Из решения примера вытекает правило нахождения недопустимых значений переменных – знаменатель дроби приравнивается к нулю и находятся корни соответствующего уравнения.

Рассмотрим несколько аналогичных примеров.

Пример 3. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь .

Решение.  .

Ответ.  .

Пример 4. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь  .

Решение. .

Встречаются и другие формулировки данной задачи – найти область определения или область допустимых значений выражения (ОДЗ). Это означает – найти все допустимые значения переменных. В нашем примере – это все значения, кроме  . Область определения удобно изображать на числовой оси.

Для этого на ней выколем точку  , как это указано на рисунке:

 

 

Рис. 1

Таким образом, областью определения дроби будут все числа, кроме 3.

Ответ. .

Пример 5. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь  .

Решение. .

Изобразим полученное решение на числовой оси:

Рис. 2

Ответ. .

Графическое представление области допустимых (ОДЗ) и недопустимых значений переменных в дробях

Пример 6. Установить, при каких значениях переменных не имеет смысла дробь  .

Решение. . Мы получили равенство двух переменных, приведем числовые примеры:   или   и т. д.

Изобразим это решение на графике в декартовой системе координат:

 

 

 

Рис. 3. График функции 

Координаты любой точки, лежащей на данном графике, не входят в область допустимых значений дроби.

Ответ.  .

Случай типа "деление на ноль"

В рассмотренных примерах мы сталкивались с ситуацией, когда возникало деление на ноль. Теперь рассмотрим случай, когда возникает более интересная ситуация с делением типа  .

Пример 7. Установить, при каких значениях переменных не имеет смысла дробь  .

Решение. .

Получается, что дробь не имеет смысла при  . Но можно возразить, что это не так, потому что:  .

Может показаться, что если конечное выражение равно 8 при  , то и исходное тоже возможно вычислить, а, следовательно, имеет смысл при  . Однако, если подставить   в исходное выражение, то получим   – не имеет смысла.

Ответ. .

Чтобы подробнее разобраться с этим примером, решим следующую задачу: при каких значениях   указанная дробь равна нулю?

 (дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю)  . Но необходимо решить исходное уравнение с дробью, а она не имеет смысла при  , т. к. при этом значении переменной знаменатель равен нулю. Значит, данное уравнение имеет только один корень  .

Правило нахождения ОДЗ

Таким образом, можем сформулировать точное правило нахождения области допустимых значений дроби: для нахождения ОДЗ дроби необходимо и достаточно приравнять ее знаменатель к нулю и найти корни полученного уравнения.

Мы рассмотрели две основные задачи: вычисление значения дроби при указанных значениях переменных и нахождение области допустимых значений дроби.

Рассмотрим теперь еще несколько задач, которые могут возникнуть при работе с дробями.

Разные задачи и выводы

Пример 8. Докажите, что при любых значениях переменной дробь  .

Доказательство. Числитель – число положительное.  . В итоге, и числитель, и знаменатель – положительные числа, следовательно, и дробь является положительным числом.

Доказано.

Пример 9. Известно, что  , найти  .

Решение. Поделим дробь почленно  . Сокращать на   мы имеем право, с учетом того, что   является недопустимым значением переменной для данной дроби.

Ответ. .

Основное свойство обыкновенной дроби

Вспомним основное свойство обыкновенной дроби: значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель одновременно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число. Напомним, что деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же отличное от нуля число называется сокращением.

Например:  , при этом значение дробей не изменяется. Однако зачастую при применении данного свойства многие допускают стандартные ошибки:

1)   - в приведенном примере допущена ошибка деления только одного слагаемого из числителя на 2, а не всего числителя. Правильная последовательность действий выглядит таким образом:   или  .

2)   - здесь мы видим похожую ошибку, однако, кроме этого еще в результате деления   получен 0, а не 1, что является еще более частой и грубой ошибкой.

Теперь необходимо перейти к рассмотрению алгебраической дроби. Вспомним это понятие из предыдущего урока.

Определение. Рациональная (алгебраическая) дробь – дробное выражение вида  , где   – многочлены.   – числитель,    – знаменатель.

Алгебраические дроби являются, в некотором смысле, обобщением обыкновенных дробей и над ними можно проводить те же операции, что и над обыкновенными дробями.

Основное свойство алгебраической дроби

Основное свойство алгебраической дроби – и числитель, и знаменатель дроби можно умножать и делить на один и тот же многочлен (одночлен) или число, отличное от нуля. Это будет тождественное преобразование алгебраической дроби. Вспомним, что как и ранее, деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же отличное от нуля выражение называется сокращением.

Основное свойство алгебраической дроби позволяет сокращать дроби и приводить их к наименьшему общему знаменателю.

Примеры сокращения обыкновенных дробей

Для сокращения обыкновенных дробей мы прибегали к основной теореме арифметики, разлагали и числитель, и знаменатель на простые множители.

Определение.Простое число – натуральное число, которое делится только на единицу и само себя. Все остальные натуральные числа называются составными. 1 не является ни простым, ни составным числом.

Пример 1. а) , где множители, на которые разложены числители и знаменатели указанных дробей, являются простыми числами.

Ответ. ;  .

Примеры сокращения алгебраических дробей

Следовательно, для сокращения дробей необходимо предварительно разложить на  множители числитель и знаменатель дроби, а затем разделить их на общие множители. Т.е. следует владеть методами разложения многочленов на множители.

Пример 2. Сократить дробь а) , б)  , в)   .

Решение. а)  . Необходимо заметить, что в числителе находится полный квадрат, а в знаменателе разность квадратов. После сокращения необходимо указать, что  , во избежание деления на ноль.

б)  . В знаменателе выносится общий числовой множитель, что полезно делать практически в любом случае, когда это возможно. Аналогично с предыдущим примером указываем, что  .

в)  . В знаменателе выносим за скобки минус (или, формально,  ). Не забываем, что при сокращении  .

Ответ.  ; ;  .

Теперь приведём пример на приведение к общему знаменателю, делается это аналогично с обыкновенными дробями.

Приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю

Пример 3. Привести к общему знаменателю дроби   и  .

Решение. Для нахождения наименьшего общего знаменателя необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) двух знаменателей, т.е. НОК(3;5). Иными словами, найти наименьшее число, которое делится на 3 и на 5 одновременно. Очевидно, что это число 15, записать это можно таким образом: НОК(3;5)=15 – это и будет общий знаменатель указанных дробей.

Чтобы преобразовать знаменатель 3 в 15, его необходимо умножить на 5, а для преобразования 5 в 15, его необходимо умножить на 3. По основному свойству алгебраической дроби следует умножить на те же числа и соответствующие числители указанных дробей.

 и  .

Ответ. ;  .

Пример 4. Привести к общему знаменателю дроби   и  .

Решение. Проведем аналогичные предыдущему примеру действия. Наименьшее общее кратное знаменателей НОК(12;18)=36. Приведем к этому знаменателю обе дроби:

 и  .

Ответ. ;  .

Сокращение сложных обыкновенных дробей

Теперь рассмотрим примеры, демонстрирующие применение техники сокращения дробей для их упрощения в более сложных случаях.

Пример 5. Вычислить значение дроби: а)  , б)  , в)  .

а)  . При сокращении пользуемся правилом деления степеней  .

б)  .

в)  .

Сокращение сложных алгебраических дробей

После того, как мы повторили использование основного свойства обыкновенной дроби, можно перейти к рассмотрению алгебраических дробей.

Пример 6. Упростить дробь  и вычислить при заданных значениях переменных: а)  ;  , б)  ; 

Решение. При подходе к решению возможен следующий вариант – сразу же подставить значения переменных и начать расчет дроби, но в таком случае решение сильно усложняется и необходимое на его решение время увеличивается, не говоря уже об опасности ошибиться в сложных вычислениях. Поэтому удобно сначала упростить выражение в буквенном виде, а затем уже подставить значения переменных.

а)  . При сокращении на множитель   необходимо проверить, не обращается ли он в ноль в указанных значениях переменных. При подстановке получаем   , что дает возможность сокращения на данный множитель.

б)  . В знаменателе выносим минус, как мы это уже делали в примере 2. При сокращении на   снова проверяем не делим ли мы на ноль:  .

Ответ. ;  .

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Пример 7. Привести к общему знаменателю дроби а)   и  , б)   и  , в)   и  .

Решение. а) В данном случае подойдем к решению следующим образом: не будем пользоваться понятием НОК, как во втором примере, а просто умножим знаменатель первой дроби на знаменатель второй и наоборот – это позволит привести дроби к одинаковому знаменателю. Конечно же, не забываем при этом умножать и числители дробей на такие же выражения.

. В числителе раскрыли скобки, а в знаменателе воспользовались формулой разности квадратов.

. Аналогичные действия.

Видно, что такой способ позволяет умножить знаменатель и числитель одной дроби на тот элемент из знаменателя второй дроби, которого не хватает. С другой дробью проводятся аналогичные действия, и знаменатели приводятся к общему.

б) Проделаем аналогичные с предыдущим пунктом действия:

. Умножим числитель и знаменатель на тот элемент знаменателя второй дроби, которого не хватало (в данном случае на весь знаменатель).

. Аналогично.

в)  . В данном случае мы умножили на 3 (множитель который присутствует в знаменателе второй дроби и отсутствует в первой).

.

Ответ. а)   ;  , б)  ;  , в)  ;  .

На данном уроке мы изучили основное свойство алгебраической дроби и рассмотрели основные задачи с его использованием. На следующем уроке мы более подробно разберем приведение дробей к общему знаменателю с использованием формул сокращенного умножения и метода группировки при разложении на множители.