Развитие идеи суммирования в школьном курсе математики

РАЗВИТИЕ ИДЕИ СУММИРОВАНИЯ
В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

В работе анализируется развитие идеи суммирования чисел в школьном курсе математики на примере предметной линии учебников, разработанных авторскими коллективами под руководством А.Г. Мордковича.

Знак «плюс», глагол «прибавить», термин «сумма» возникают в школьной математике уже в 1 классе. «Первое арифметическое действие – это сложение. Знак сложения – плюс (+). Число, полученное в результате сложения, называется суммой» [2, стр. 74]. Интуитивное же представление о суммировании формируется намного раньше, ещё в младшем дошкольном возрасте.

В математике 5-го класса операция сложения необходимо возникает при изучении натуральных чисел, «которые могут быть получены в результате счета предметов – 1, 2, 3, 4, 5 и т.д.» [3, стр. 5]. Если прибавить к натуральному числу единицу, то получится следующее за ним число. Сложить числа 5 и 3 – значит прибавить к числу 5 три раза единицу. Здесь же формулируются свойства сложения. «…От перемены мест слагаемых сумма не меняется. Это свойство – переместительный закон сложения. Если к сумме двух слагаемых прибавить третье слагаемое, то получится то же число, что и от прибавления к первому слагаемому суммы второго и третьего слагаемых. Это свойство – сочетательный закон сложения» [3, стр. 64].

Так же в 5 классе изучаются различные виды дробей и их сложение. «Частное от деления натуральных чисел m и n можно записать в виде дроби , где числитель m – делимое, а знаменатель n – делитель» [3, стр. 88]. «Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения» [3, стр. 118]. «…Для того чтобы выполнить сложение дробей с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю …» [3, стр. 122]. «Если в десятичной записи числа использована запятая (или точка), то говорят, что число записано в виде десятичной дроби» [3, стр. 182]. «…Сложение десятичных дробей, так же как и сложение натуральных чисел, выполняется поразрядно. Если вычисления трудно выполнить устно, слагаемые записывают в столбик таким образом, чтобы цифры, стоящие в одноимённых разрядах, оказались друг под другом; при этом запятая должна оказаться под запятой» [3, стр. 195].

В математике 6-го класса «действие вычитания привело к необходимости записать результат в виде числа, перед которым стоит знак «-». В таких случаях числа называют отрицательными. А такие числа, как 10 или +10 называют положительными» [3, стр. 16]. Теперь, операция сложения естественным образом распространяется и на эти числа, причём, «если слагаемые имеют одинаковые знаки, то сумма имеет тот же знак, что и слагаемые, а модуль суммы равен сумме модулей слагаемых. Если слагаемые имеют разные знаки, то сумма имеет тот же знак, что и слагаемое с большим модулем, а модуль суммы равен разности модулей слагаемых при условии, что из большего модуля вычитается меньший» [3, стр. 58-59].

Выстроенная «линия сложения» полностью укладывается в арифметический материал. Дальнейшее изучение суммирования чисел переводит обучающихся в область алгебры, когда количество слагаемых хотя и конечно, но неизвестно и обозначено буквой n. При этом известна зависимость между номером слагаемого и им самим. То есть речь идёт о вычислении сумм членов последовательностей, а точнее их частных случаев – арифметической и геометрической прогрессий.

Известно, что выдающийся немецкий математик К. Гаусс (1777-1855 гг.), когда был ещё ребёнком, сложил за 1 минуту все числа от 1 до 100, увидев присущую им закономерность. Формула общего члена арифметической прогрессии была впервые доказана древнегреческим ученым Диофантом в III в. н. э. Правило, которое позволяет отыскивать сумму первых членов произвольной арифметической прогрессии, имеется в «Книге Абака» (1202 г.) Леонардо Пизанского (Фибоначчи). Несистематизированные сведения о прогрессиях встречаются много раньше. Прогрессии присутствуют и в клинописных табличках вавилонян, и в египетских папирусах, датируемых II тысячелетием до н. э. Вот, пример вавилонской задачи, содержащей арифметическую прогрессию: «10 братьев,  мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимается, не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом – на сколько он выше?» [1, стр. 54].

В современном курсе школьной алгебры первое знакомство с последовательностями и их частными случаями прогрессиями происходит в 9 классе. Формулируются определения прогрессий, приводятся формулы их общих членов и рассматриваются формулы сумм первых n слагаемых. Арифметической прогрессией называют «числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d . При этом число d называют разностью прогрессии» [5, стр. 145].  сумма первых n членов арифметической прогрессии с первым членом , разностью , и n-м членом , Геометрической прогрессией называют «числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и тоже число q . При этом число q называют знаменателем прогрессии» [5, стр. 157].  сумма первых n членов геометрической прогрессии с первым членом , разностью , и n-м членом ,

Последовательности, являясь функциями натурального аргумента, образуют множества с бесконечным числом элементов, которые на языке теории множеств называются счётными. Изучение таких множеств создаёт потребность в вычислении бесконечных сумм, когда множество слагаемых счётное и является ограниченным или неограниченным. Известно, что значение таких сумм определяется далеко не всегда [9, стр. 29]. Для определения нового объекта – суммы слагаемых, множество которых бесконечное и счетное – необходимо перейти в новый раздел математики  математический анализ.

В 10 классе в курсе начал анализа вводится определение предела числовой последовательности. «Число b называют пределом последовательности , если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера» [6, стр. 326]. Это понятие создаёт фундамент для вычисления суммы бесконечной геометрической прогрессии, когда под суммой счетного множества слагаемых понимается предел последовательности конечных (частичных) сумм . «Если последовательность сходится к пределу S, то число S называют суммой геометрической прогрессии (обратите внимание: не суммой n членов геометрической прогрессии, а суммой геометрической прогрессии). Если же последовательность расходится, то о сумме геометрической прогрессии не говорят, хотя о сумме n членов геометрической прогрессии можно, разумеется, говорить и в этом случае» [6, стр. 334].

Здесь можно сделать несколько замечаний об используемых в тексте учебника обозначениях. Например, по мнению авторов, для записи последовательности более удобно обозначение , нежели . Ведь именно фигурные скобки принято использовать для описания дискретных множеств, каковыми и являются множества элементов последовательностей. Одинаковое обозначение через и n-го члена последовательности, и самой последовательности конечных сумм первых n членов геометрической прогрессии может создавать дополнительные затруднения при освоении и без того нетривиальной конструкции вычисления суммы с бесконечным множеством слагаемых.

Любая последовательность – это функция, функция натурального аргумента. И нахождение суммы членов арифметической и геометрической прогрессий по существу является вычислением суммы значений функции. Множество значений функции может быть конечным. Примером такой ситуации служит вычисление суммы первых n членов прогрессии. Бесконечным, а именно счётным является множество значений функции при вычислении суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Естественное продолжение этой линии – вычисление сумм значений функции – происходит в 11 классе при изучении темы «Определенный интеграл». К понятию определённого интеграла приводят несколько задач: о вычислении площади криволинейной трапеции, о вычислении массы стержня, о перемещении точки [7, стр. 165-168]. Математическая модель по решению каждой задачи содержит допущение о том, что некая переменная величина (высота столбика, вписанного в трапецию; плотность стержня; скорость движения точки) изменяется не непрерывно, а скачками (дискретно), оставаясь постоянной на каждом из частичных промежутков, на которые разбит интервал значений аргумента (основание трапеции, длина стержня, диапазона времени). Приближенноё значение искомой величины даётся значением суммы вида , которая носит название интегральной суммы Римана [8, стр. 323]. Здесь, в зависимости от контекста, обозначает непрерывно изменяющуюся величину: высоту прямоугольников, образующих ступенчатую фигуру, которой при построении модели заменяют криволинейную трапецию; плотность неоднородного стержня; скорость движения точки при неравномерном движении.  это длина отрезка  одного из частичных отрезков, на которые разбит интервал : основание трапеции; длина стержня или время движения точки. Для получения точного значения величины (площади, массы, скорости) нужно вычислить предел последовательности интегральных сумм . Таким образом, вычисление определённого интеграла  это вычисление суммы значений функции, когда аргумент изменяется не дискретно, а непрерывно, и, следовательно, множество значений функции тоже обладает свойством непрерывности. Здесь множество значений функции всегда ограничено и, являясь бесконечным, имеет мощность континуума [7, стр. 166], а сама сумма понимается как предел последовательности интегральных сумм.

За пределами школьного курса математики остаётся вычисление сумм значений функции, для которой множество значений счетное, но не обязательно образует прогрессию – это суммирование произвольных числовых рядов. Кроме того в школьную программу не вошло вычисление сумм значений функции, когда множество значений континуальное, но неограниченное – это вычисление несобственных интегралов. Однако стоит отметить, что основная конструкция для нахождения таких сумм – предельный переход в последовательности частичных сумм или интегральных сумм уже построена в школьном курсе математики.

Литература

1. Глейзер Г.И. История математики в школе VII-VIII класс. Пособие для учителей. – М. : Просвещение, 1982. – 240 с.

2. Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н. Математика. 1 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. Ч.1/ Г.В. Дорофеев, Т.Н. Миракова. – М. : Просвещение, 2011. – 128 с.

3. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 5 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. – М. : Мнемозина, 2013. – 270 с.

4. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. – М. : Мнемозина, 2009. – 264 с.

5. Мордкович А.Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, П.В. Семёнов. – М. : Мнемозина, 2010. – 224 с.

6. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций (базовый и углублённый уровни) / А.Г. Мордкович., П.В. Семенов. – М. : Мнемозина, 2015. – 463 с.

7. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций (базовый и углублённый уровни) / А.Г. Мордкович., П.В. Семенов. – М. : Мнемозина, 2016. – 311 с.

8. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа: Учебник. Часть 1. – СПб. : Издательство «Лань», 2008. – 448 с.

9. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа: Учебник. Часть 2. – СПб. : Издательство «Лань», 2008. – 464 с.