Развитие геометрии и вклад учёных в науку

Развитие геометрии

и вклад учёных в науку

Задачи :

• выяснить периоды развития геометрии
• изучить постулаты Евклидовой геометрии
• изучить аксиомы геометрии Лобачевского
• выяснить какой вклад принесли учёные в науку

Краткое содержание:

• Что такое геометрия?
• История геометрии:

Египет и Греция

Геометрия на Руси

• Учёные

Что такое геометрия?

ГЕОМЕ́ТРИЯ (ОТ ГРЕЧ. ΓΗ — ЗЕМЛЯ И ΜΕΤΡΕΩ — МЕРА, ИЗМЕРЕНИЕ) — РАЗДЕЛ МАТЕМАТИКИ, ИЗУЧАЮЩИЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ОТНОШЕНИЯ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ. В ГЕОМЕТРИИ МОЖНО УСЛОВНО ВЫДЕЛИТЬ СЛЕДУЮЩИЕ РАЗДЕЛЫ: КЛАССИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — ГЕОМЕТРИЯ ТОЧЕК, ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ, А ТАКЖЕ ФИГУР НА ПЛОСКОСТИ И ТЕЛ В ПРОСТРАНСТВЕ. ВКЛЮЧАЕТ В СЕБЯ ПЛАНИМЕТРИЮ, СТЕРЕОМЕТРИЮ.И.Т.Д.. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — ГЕОМЕТРИЯ КООРДИНАТНОГО МЕТОДА. ИЗУЧАЕТ ЛИНИИ, ВЕКТОРЫ, ФИГУРЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, КОТОРЫЕ ЗАДАЮТСЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ В АФФИННЫХ ИЛИ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ, МЕТОДАМИ АЛГЕБРЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ИЗУЧАЕТ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ, ЗАДАЮЩИЕСЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ ФУНКЦИЯМИ, А ТАКЖЕ ИХ ОТОБРАЖЕНИЯ. ТОПОЛОГИЯ — НАУКА О ПОНЯТИИ НЕПРЕРЫВНОСТИ В САМОМ ОБЩЕМ ВИДЕ .

История геометрии

     Слово геометрия греческого происхождения. В буквальном смысле оно означает «землемерие». Возникла геометрия в Египте более 4000 лет назад. Вот что пишет о зарождении геометрии греческий историк Геродот, живший около 2500 лет назад: «Сезострит, египетский царь, произвел деление земель, отмерив каждому египтянину участок по жребию, сообразно этим участкам с их владельцев ежегодно взимал налоги.

   Если Нил заливал чей-нибудь участок, то пострадавший обращался к царю и докладывал о случившимся. Тогда царь посылал землемеров(геометров), они измеряли на сколько уменьшился участок и сообразно этому понижали налог . Вот откуда пришла геометрия и перешла из этой страны в Грецию».

   Об этом же пишет и другой греческий ученый Евцем Родовский (4в до н.э.) : «Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлива реки Нил, постоянно смывавшего границы. Нет ничего удивительного в том, что эта наука, как и другие,  возникла из потребностей человека. Всякое возникающее знание   из несовершенного состояния  переходит в совершенное».

    Нельзя думать, что не будь Нила с его мощными разливами – не было бы геометрии. Людям нужно было определять расстояние между точками, площади участков и объемы тел (употребляемых, например, при постройке жилищ) и они создали бы геометрию не в Египте, так в Индии, не и Индии, так в Китае. Да оно так и было. Потребности жизни заставляли находить людей способы измерения площадей и объемов в разных странах и в разное время.

Египет и Греция

В течение многих веков постепенно накапливали древние египтяне различные научные знания, в том числе знания по геометрии. Они сумели довольно  точно определять площади фигур, объемы некоторых тел, решать некоторые другие геометрические задачи.

Но геометрии, как науки, у них не было. У них было много различных правил- рецептов, не соединенных между собой общей идеей, не приведенных в единую стройную систему. Этими рецептами владели чаще всего жрецы храмов, которые держали их в секрете.

Цари древнего Египта постоянно вели долгие изнурительные войны, которые ослабляли экономическую мощь страны. Были периоды, когда Египет завоевывался разными другими народами – это были периоды жестокой эксплуатации страны – наука и искусство пришли в упадок.

К северу от Египта, уже зародилось новое государство – Греция. Греческие купцы посещали Египет и, возвращаясь, много рассказывали об этой чудесной стране. Вместе с купцами Египет стали посещать ученые. И достижения египетской науки постепенно стали известны древним грекам.

Но Греки не просто усвоили достижения египтян. Они исправили их ошибки и развивали геометрию дальше. Именно в древней Греции около 2500 лет назад геометрия стала математической наукой.

В VII веке до н.э . центром математического творчества становится так называемая пифагорийская школа в южной Италии . Здесь были открыты несоизмеримые отрезки, создано учение о подобии, найдены способы построения некоторых правильных многоугольников и многогранников, доказана теорема Пифагора и т.д.

К 300-м годам до н.э. геометрия становится самостоятельной математической наукой. К этому времени ученый Евклид написал книгу, называемую им «Начала», написание которой относится к 325-300 годам до н.э.

Евклид собрал почти все, что было создано до него, по геометрии и привел в стройную единую систему. Он  взял за основу некоторые положения, так называемые аксиомы, и из них путем последовательных  рассуждений сумел вывести все теоремы геометрии. «Начала» Евклида более полутора тысяч лет переписывались от руки в Греции, Италии, Египте, Индии, Средней Азии и других странах. С возникновением книгопечатания «Начала» сотни раз перепечатывались на всех языках мира. Это одна из наиболее распространенных на земном шаре книг.

ЕВКЛИД ( III ВЕК ДО Н . Э . ) ДРЕВНЕГРЕЧЕСКИЙ МАТЕМАТИК, АВТОР ПЕРВОГО ТРАКТАТА ПО ГЕОМЕТРИИ «НАЧАЛА» (В 13 КНИГАХ).

• В основе всей геометрии греческого математика Евклида лежало несколько простых первоначальных утверждений ( аксиом ), которые принимались за истинные без доказательств. Из аксиом путем доказательств выводились более сложные утверждения, из тех выводились еще более сложные.
• Особый интерес математиков всегда вызывала пятая аксиома о параллельных прямых. В отличие от остальных аксиом элементарной геометрии, аксиома параллельных не обладает свойством непосредственной очевидности . Поэтому на всем протяжении истории геометрии имели место попытки доказать аксиому параллельных, то есть вывести ее из остальных аксиом геометрии.

ФАЛЕС МИЛЕТСКИЙ (625 ДО Н.Э. - 548 ДО Н.Э.)

Фалес Милетский имел титул одного из семи мудрецов Греции, он был поистине первым философом, первым математиком, астрономом и, вообще, первым по всем наукам в Греции. Он был то же для Греции, что Ломоносов для России.

Фалесу Милетскому приписывают простой способ определения высоты пирамиды. В солнечный день он поставил свой посох там, где оканчивалась тень от пирамиды. Затем он показал, что как длина одной тени относится к длине другой тени, так и высота пирамиды относится к высоте посоха.

ПИФАГОР (РОДИЛСЯ ОК. 580 Г. И УМЕР ОК. 500 Г. ДО Н.Э.)

Он первый заметил, что сила и единство науки основаны на работе с ИДЕАЛЬНЫМИ ОБЪЕКТАМИ. Например, прямая линия - это не тетива натянутого лука и не луч света: ведь они имеют небольшую толщину, а линия толщины не имеет. Несовершенные природные тела являются лишь грубоватым подобием идеальных математических сущностей

«Числа правят миром через свойства геометрических фигур».

Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

АРХИМЕД ИЗ СИРАКУЗ (287 Г. ДО Н.Э. – 212 Г. ДО Н.Э.)

Основные работы Архимеда касались различных практических приложений математики (геометрии), физики, гидростатики и механики. В сочинении "Параболы квадратуры" Архимед обосновал метод расчета площади параболического сегмента, причем сделал это за две тысячи лет до открытия интегрального исчисления. В труде "Об измерении круга" Архимед впервые вычислил число "пи" - отношение длины окружности к диаметру - и доказал, что оно одинаково для любого круга.

ЭРАТОСФЕН КИРЕНСКИЙ (ОК. 275-194 ДО Н.Э.)

Его научные таланты удостоились высокой оценки современника Эратосфена, Архимеда, который посвятил ему свою книгу Эфодик (т.е. Метод). Сочинения Эратосфена не сохранились, мы имеем от них лишь фрагменты. Трактаты Эратосфена Удвоение куба и О среднем были посвящены решению геометрических и арифметических задач, в Платонике он обращается к математическим и музыкальным основам платоновской философии. Самым знаменитым математическим открытием Эратосфена стало т.н. "решето Эратосфена", с помощью которого находятся простые числа.

Геометрия на Руси

На Руси самое древнее сочинение по арифметике, сохранившееся до нас, написано в 1196 году новгородским монахом Кириком. Самое древнее сочинение, сохранившееся до наших дней и содержащее геометрические сведения, написано в начале XVII века (вероятно, в 1607 году), оно называлось «Устав ратных дел». В этом сочинении содержатся правила (рецепты)  для решения задач на определение расстояния до предметов. Никаких теорем или доказательств верности не приводится.

В других рукописях  («Книга и письма» и другие) даются правила изменения площадей, нахождения расстояний, определение объемов тел. В этих правилах много ошибок и совсем не приводится доказательств.

Распространению на Руси геометрических знаний препятствовала церковь. Попы боялись, что вместе с книгами с запада в Россию будет проникать католическая религия, поэтому вводили жестокие меры против тех, кто занимался математикой. В одном древнерусском поучении говорится: «богомерзостен перед богом всякий, кто любит геометрию».

В 18 веке геометрия получила большое распространение. В России была открыты Академия наук , в Москве был открыт университет, во многих городах открывались школы и гимназии, появились учебники геометрии, как отечественные, так и переводные.

НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСКИЙ (1792 – 1856 ГГ .)

Все! Перечеркнуты “Начала”.

Довольно мысль на них скучала,

Хоть прав почти во всем Евклид,

Но быть не вечно постоянству:

И плоскость свернута в пространство,

И мир

Иной имеет вид...

ВЫВОД: Заменив V постулат евклидовой геометрии на аксиому,

Лобачевский пришел к выводу, что можно построить другую геометрию, отличную от евклидовой.

Геометрия XX века

Истекшие годы первой четверти XX в. не только подводили итоги всему этому обширному циклу идей, но дали новое их развитие, новые применения, которые довели их до расцвета. Прежде всего XX век принес новую ветвь геометрии. Нельзя сказать, чтобы она в этом веке возникла. Но подобно тому, как проективная геометрия создалась из разрозненных материалов, скоплявшихся с Дезарга в течение двух веков, так из многообразных отрывочных идей, рассеянных по всей истории геометрии, в XX в. складывается особая дисциплина — топология

К началу XX века относится зарождение векторно-моторного метода в начертательной геометрии, применяющегося в строительной механике, машиностроении. Этот метод разработан Б. Майором и Р. Мизесом, Б.Н. Горбуновым.

Геометрия Эйнштейна — Минковского

Геометрическая сторона построенной Эйнштейном теории относительности, особенно оттененная Минковским, заключается в том, что мироздание, не в его статическом состоянии в определенный момент, а во всей его извечной динамике, Эйнштейн и Минковский рассматривают как многообразие, элемент которого определяется четырьмя координатами.

Руководясь тем, что гравитационные силы в мире действуют всегда, тогда как другие силы (электрические, магнитные) в каждом месте то появляются, то исчезают, Эйнштейн поставил себе целью построить риманову геометрию этого четырехмерного многообразия так, чтобы охватить одной общей схемой как пространственные, так и гравитационные соотношения, царящие в мироздании. Задача заключалась, следовательно, в таком выборе основной дифференциальной формы, при которой система правильно отображает эти соотношения в бесконечно малом элементе мира и в порядке интегрирования дает возможность выразить процессы конечные во времени и пространстве.

Роль геометрии в естествознании достигла в этом замысле своего кульминационного пункта. Был поставлен вопрос о геометризации физики. Самая, возможность такой постановки вопроса достаточно показательна. Более того, возможность и тех достижений, которые Эйнштейну удалось получить, основана, если можно так выразиться, на геометризации самой римановой геометрии.

Неевклидова геометрия сыграла огромную роль во всей современной математике, и фактически в теории геометризованной гравитации марселя Гросмана-Гильберта-Эйнштейна(1913-1915). Довольно неожиданно, еще раньше была установлена связь кинематики Лоренца-Пуанкаре с геометрией Лобачевского. В 1909 году Зоммерфельд показал, что закон сложения скоростей данной кинематики связан с геометрией сферы мнимого радиуса (подобное соотношение уже отмечали Лобачевский и Бояйи). В 1910 году Варичак указал на аналогию данного закона сложения скоростей и сложения отрезков на плоскости Лобачевского.

Предположение Лобачевского, что реальные геометрические отношения зависят от физической структуры материи, нашло подтверждение не только в космических масштабах. Современная теория квант все с большей настоятельностью выдвигает необходимость применения геометрии, отличной от евклидовой, к проблемам микромира.

Геометрия претендует в качестве наиболее мощного орудия точного естествознания на овладение механикой и физикой, она стоит у вершины человеческого знания. Удастся ля ей действительно выполнить этот замысел, сохранит ли она это доминирующее место или в порядке иного преодоления разрастающихся противоречий она должна будет его уступить, — это вопрос будущего, быть может, не столь далекого.

Геометрия изучает формы, размеры, взаимное расположение предметов независимо от их других свойств: массы, цвета и так далее. Геометрия не только дает представление о фигурах. их свойствах. взаимном расположении, но и учит рассуждать, ставить вопросы, анализировать, делать выводы, то есть логически мыслить.

Список использованных информационных ресурсов

http://ru.wikipedia.org/wiki/

http://timinva.narod.ru/

http://www.yandex.ru/

http://www.neuch.ru/referat/68253.html

ВЫВОД: Заменив V постулат евклидовой геометрии на аксиому,

Лобачевский пришел к выводу, что можно построить другую геометрию, отличную от евклидовой.